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排列组合二项定理知识要点

时间:2014-01-16


排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解

决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可 以有 重复 元素 的排列. . .. .. .. 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第 一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素可 重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: m n 种) 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中 ...... 取出 m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列, 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. m 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示. ?排列数公式:
A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! (m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!
m m ?1 An ? nAn ?1

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!
0 规定 C n ?C n n?1

规定 0! = 1

m m m m ?1 m m ?1 An? 1 ? A n ? A m ?C n ? A n ? mA n

2. 含有可重元素 的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数为 n1、 n2……nk,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n ?
1!2!

n! . n1!n2 !...nk !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个数?其排 列个数 n ? 3! ? 1 . 3! 三、组合. 1. ?组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合. Am n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! n ?组合数公式: C m ? ? Cm n n?
Am m m! m!(n ? m)!

?两个公式:① ② ①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素, 因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的 方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法,分二类, m ?1 m 一类是含红球选法有 C m?n1 ?C1 1 ?C n 一类是不含红球的选法有 C n )
1

n?m Cm n ?C n;

1 m C m ?n ?C m n ?C n ?1

②根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对于某一元素,只 1 存在取与不取两种可能, 如果取这一元素, 则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素, 所以有 C m ?n , 如果不取这一元素,则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素,所以共有 C m n 种,依分类原理有 m ?1 m m C n ?C n ?C n ?1 . ?排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式
0 1 2 n Cn ?C n ?C n ? ?? n n ?2

0 2 4 1 3 5 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ?C n ? ? ?2 n ?1 m m m m ?1 Cm n ?C m ?1 ?C m ? 2 ?C m ? n ?C m ? n ?1 k ?1 kCk n ? nC n ?1

1 1 ?1 Ck Ck n? n ?1 k ?1 n ?1

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 (利用 ? ? ?? ? 1? ? ? ) 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)! n! (n ? 1)! n!

ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. m m ?1 m 3 3 3 4 v. 递推法(即用 C n ?C n ?C n?1 递推)如: C 3 3 ?C 4 ?C 5 ? ?C n ?C n ?1 . 0 2 1 2 2 n vi. 构造二项式. 如: (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n n ) ?C 2 n 证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x n 的系数,左边为 0 1 n ?1 2 n?2 n 0 0 2 1 2 n 2 ,而右边 ?C 2 n Cn ?C n n n ?C n ?C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) 四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它 们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中 ? m?1 m n ? m ?1 m 某 m(m ? n) 个元素必相邻的排列有 A n n ? m?1 ? A m 个.其中 A n ? m ?1 是一个“整体排列”,而 A m 则是“局部排列”. 2 2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 A n . ? A n ?1 1 ?A2
?1 2. ②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 A n n ?1 ? A 2 2 ?1 ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 A n . ?An n ?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A 22 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同商品任取的 2 个,有不确定性. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决 “元素不相邻问题”. ?m m 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少? A n (插空法) , n ? m ? A n ? m ?1 当 n – m+1≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
2

⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位 置的特殊性上讲, 对问题中的特殊位置应优先考虑, 然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般” 的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有 A n n 种, m m(m ? n) 个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法, 可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,共有 列方法.
2

An n Am m

种排

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? m 解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2)…n = n!/ m! ;解法二: (比例分配法) A n n / Am . ⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有
n n C kn ?C ( k ?1)n n ?C n

Ak k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C2 4 ? 3 (平均分组就用不 2!

着管组与组之间的顺序问题了) 又例如将 200 名运动员平均分成两组, 其中两名种子选手必在一组 的概率是多少? (P?
8 2 C18 C2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少 ?m m m 种排法?有 A n ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义. n ? m ? A n ? m ?1 / A m
2

⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如:x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列, 在它们之 间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 ,故( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解 ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) , 对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式 (如图所示) 故方程的解和插板的方法一一对应. 即 3 方程的解的组数等于插隔板的方法数 C 11 . x1 x2 x3 x4 注意:若为非负数解的 x 个数,即用 a1 , a 2 ,...a n 中 a i 等于 xi ? 1 ,有 x ? x ? x ... ? x ? A ? a ? 1 ? a ? 1 ? ...a ? 1 ? A ,进 n ?1 而转化为求 a 的正整数解的个数为 C A ?n . ⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内,并且都 ?r 排在某 r 个指定位置则有 A rr A k n?r . 例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在) 某一位置上,共有多少种排法? m ?1 m ?1 ?1 ;不在某一位置上: 固定在某一位置上: A m 或 A n?m1 ? A m?1 (一类是不取出特殊元素 a,有 Am 1 ? A n ?1 n ? A n ?1 n ?1
1 2 3 n 1 2 n

m ,一类是取特殊元素 A n? 1

a,有从 m-1 个位置取一个位置,然后再从 n-1 个元素中取 m-1,这与用插

空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都包含在内 。先 ?r k r k ?r A C C C 后 A 策略,排列 C rr C nk? ;组合 . r k r n?r ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都不包含在内。先 k k k C 后 A 策略,排列 C n ?r A k ;组合 C n?r . iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定每个排列(或组合)都只包含 s k ?s k ?s 某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C r C n ? r A k ;组合 C rsC k n?r . II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略; ②合理分类与准确分步策略; ③排列、 组合混合问题先选后排的策略 (处 理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空 处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团” 排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数相等,不管是否 分尽,其分法种数为 A / A r (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有 K 组均匀分组应再除 r 以 Ak . k
3

2 4 4 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C 10 .若分成六组,各组 C 8 C 4 / A2 2 ? 1575 2 4 人数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 C 101C 91C 82C 62C 42C 2 2 / A2 ? A4

②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种 数为 A ? A m m
2 3 3 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为: C 10 种. ?C 8 ?C 5 5 ? A3 2 3 4 3 若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有 C 10 C 8 C 5 ? A3 种

③均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种 数为 A / A rr ? A m . m 例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为 C 10 C 8 C 4 ? A3 3
A
2 2 2 4 4

④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相同,且不考虑各 mk m2 1 组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为 A ? C m n C n - m1 … C n - (m1 ? m 2 ?...? m k -1 ) 例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C 102C 83C 5 若从 10 人中选出 6 人分 5 ? 2520 成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 101C 92C 73 ? 12600. 五、二项式定理. 0 n 0 1 n ?1 r n?r r n 0 n 1. ?二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n a b . 展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ?1 项; 0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n n; ③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ?二项展开式的通项. r n?r r (a ? b) n 展开式中的第 r ?1 项为: T r ?1?C n a b (0 ? r ? n, r ? Z ) . ?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数 最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 ③系数和:
0 1 n Cn ?C n ? ? ?C n n ?2 0 2 4 1 3 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n ?1

n 2

n

n ?1 n ?1 项和第 ? 1 项,它们的二项式系数 C 2 2

n ?1 n ?1 2 ?C 2 n n

最大.

附: 一般来说 (ax ? by) n (a, b 为常数) 在求系数最大的项或最小的项 时均可直接根据性质二求解. 当 a ? 1或 b ? 1 ........... 时,一般采用解不等式组 ?
? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? ( A k 为T k ?1 的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

?如何来求 (a ? b ? c) n 展开式中含 a p b q c r 的系数呢?其中 p, q, r ? N , 且 p ? q ? r ? n 把 r (a ? b ? c) n ? [(a ? b) ? c] n 视为二项式, (a ? b) n?r C r , 先找出含有 C r 的项 C n 另一方面在 (a ? b) n ?r 中含有 b q 的 r q p q r n p q r q n?r ?q q q p q 项为 C n?r a b ?C n?r a b ,故在 (a ? b ? c) 中含 a b c 的项为 C n C n ? r a b c .其系数为
r Cn C n ?q r?

(n ? r )! n! n! p q r ? ? ?C n C n? p Cr . r! (n ? r )! q! (n ? r ? q)! r! q! p!

2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 ? a) n ? 1 ? na ,因为这时展开式的后面部分 2 2 3 3 n n Cn a ?C n a ? ? ?C n a 很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a) n ? 1 ? na 但使用这两个公式时应注意 a 的 条件,以及对计算精确度的要求.
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