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巧解一道全国联赛试题

时间:2015-09-27


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第 3 朝 

高中数学教 与学  

道 路 网 走 法 的 一 般 解 法 
陈  钢  
( 山东省 章丘 市第 二 中学 , 2 5 0 2 1 5 )  

题目   图1 是某城 市 道路 网的局 部 , 横  向?

V / 个 格子 , 纵向   个格子 , 若 只允许 向东或 
向北走 , 则从 A 处到 B处有多少种 不同走法?  

法均为 向东 走 了 T V / 步, 向北走 了  步 , 这样 ,   当从 T V / +   个位 置 中选 出/ 7 " / 个 位置作为 向东 

走的各种情形 , 有  +  种选法 , 剩余  个位 置 
为 向北走 . 所有不 同走法有  +  种 . 也可 以这  样 计算 : 从 T V / +   个位 置 中选 个作为 向北 走 

东 

的各种情形 , 剩余  个位置 为 向东走 . 故所 求  不 同走法有  +  种 .  
例  图 2 是 6×5  

m 个 辂 于 

图 1  

本题在 很 多 资料 中都 能见 到 , 其 解 法是  把道路网简 化 成较 少 格 子 后 分 步求 , 或 猜想  出一般性结论 , 而 没有 证 明 . 下 面用组 合 知识  给出其一般性 的推导过程及结论 .   从 A 处到B 处走每个格子 的一边 作为一  步, 则对于 T V / ×   的网格共走 T V / +   步, 我们 

的网格线 图, 只允 许  走 网线 , 则从 A经过 C  
到 B处 的最 短路线 有  多少条 ?  

田c  
图2  

解  最 短路 线 的走 法 只 能 向 上 或 向 右  走, 从 A处 到 c处有 c 2 + 2=   =1 5条 . 从 C   处 到 B处有  + 3 =   =1 0 条, 故满足题设 的 

把这 T V / +   步看作 T V / +   个位置 . 由于每种走 

最短路线有 1 5×1 0= 1 5 0条 .  

巧解 一道 全 国联 赛试 题 
武增明  
( 云南 省易 门县第 一 中学 , 6 5 1 1 0 0 )  

众 所周知 , 若 a≥ b 且 a≤ b , 则 
a = b.  



f( . 3 2+5 )一 . 3 2—4  

≥ f(  ) + 5一   一4  


利用这一结论 常能解决一些 数学问题 .   下 面是一 道 2 0 0 2年全 国联赛试题 :  
已知 f (  ) 是定 义在 R上 的函数 , f ( 1 ) =   1 , 且对任意  ∈ R都有 
f (   +5 ) ≥ f( z) +5 ,   f (   +1 ) ≤ f( z) +1 .  

f (   )+ 1 一   =g (  ) ,  
f(   +1 )一  

g(   +1 )= f(   +1 )+ 1一   一1  


≤f (  )+ 1 一   =g (  ) .   g ( - 丁 ) ≤ g (   +5 ) ≤ g ( , 7 C+4 )   ≤ g (   +3 ) ≤ g ( , 7 C+2 )   ≤ g (   +1 ) ,  
‘ .


若g (  )=f ( x ) +1一  , 贝 0  
g( 2   0 0 2 )= — — .  

g(   +1 )= g(  ) .  

解  由 g ( x )= f ( x )+1 一  , 得 
g (   +5 )= f (   +5 ) + 1一   一5  







g(  ) 是以 1 为一个周期 的周 期 函数 ,  

又 g ( 1 )= 1 , 故 g ( 2   0 0 2 )= 1 .  
?

4 9 ?