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江西省南昌三中2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题 Word版含答案

时间:


南昌三中 2014—2015 学年度上学期期中考试 高二数学(文)试卷
命题:刘明和
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.抛物线 x2 ? ay 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为( A. ? 8 B .8 C. ) D. ? ) D. 2 3

审题:周平

1 8

1 8

2.直线 x ? 3 y ? 0 截圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 所得弦长是( A.1 B.2 C.
3

x2 ? y2 ? 1 3. 双曲线 4 的一条渐近线方程为(
y?
A. 4.双曲线



x 2

B.

y?x

C. y ? 2 x

D. y ? 4 x )

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( a 2 b2
(B) 2 (C) 3 (D)
3 2

A.2

5.抛物线 y 2 ? ?2 px? p ? 0?的焦点恰好与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点重合,则 p ? ( 9 5



A.1
6.已知双曲线 C : 方程为( )

B.2

C.4

D.8

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为错误!未找到引用源。,则 C 的渐近线 a 2 b2

A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

7.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线,交椭圆于 P , F2 为右焦点,若 a 2 b2


?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为(
A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2
-1-

D.

1 3

8.在同一坐标系中,方程 a2 x2 ? b2 y 2 ? 1 与 ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是(



9.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,两曲线的 a 2 b2


一个公共点为 P ,且 | PF |? 5 ,则双曲线的离心率为(

A.

5 2

B.

5

C. 2

D.

2 3 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 10.过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B , ?x ? y ? 2 ? 0 ?
记 ?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos ? 的值为( )

95 A. 10

19 B. 20

9 C. 10

1 D. 2

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 椭圆

x2 y2 ? ? 1(m ? 4) 的焦距为 2, 则 m 的值等于________ m 4



12.已知点 ?3,1? 和 ?? 4,6? 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是 13.以 F (?3,0) 为焦点的抛物线的标准方程为 ;



14. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) B (x2,y2) 两点, 如果 x1 ? x 2 =10, 那么

AB





y
A

15.如图, 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分 a 2 b2

别为 F1 , F2 , F1 F2 ? 4 ,P 是双曲线右支上的一点, F2 P与y 轴
Q

P

交于点 A, ?APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q,若 PQ ? 1 , 则双曲线的离心率是 三、解答题(共 6 小题, ,共 75 分)
-2-

F1

O x

O x

F2

x



16. (本小题满分 12 分)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) 。求以 F1 、 F2 为焦点 且过点 P 的椭圆的标准方程;

17.(本小题满分 12 分) 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0. (1)将圆 C 的方程化为标准方程,并指出圆心坐标和半径; (2)求直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 被圆 C 所截得的弦长。

18. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ,A 是抛物线上横坐标为 4、

OB 且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5, 过 A 作 AB 垂直于 y 轴, 垂足为 B ,
的中点为 M . (1) 求抛物线方程; (2) 过 M 作 MN ⊥FA ,垂足为 N ,求直线 MN 的方程.

19. (本小题满分 12 分) )双曲线 C 与椭圆 条渐近线.求双曲线 C 的方程.

x2 y2 ? =1 有相同的焦点,直线 y= 3 x 为 C 的一 8 4

20.(本小题满分 13 分)直线 l : y ? ax ? 1 与双曲线 C : 3x ? y ? 1 相交于不同的两点 A, B 。
2 2

(1)当 a=2 时,求 AB 的长度; (2)是否存在实数 a,使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由。

21. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心 a 2 b2
-3-

率e ?

1 A 、 B 两点,点 A 在 x 轴上方,且 ?ABF2 的周长为 8. .过 F 1 的直线交椭圆于 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点

P , 且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 试探究 :在坐标平面内是否
存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点

M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说
明理由.

南昌三中 2014—2015 学年度上学期期中考试
班级

高二数学(文)答卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 号 答 案 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 14. 12. 15. 13. 8 9

姓名

10

考场号

三、解答题(共 6 小题, ,共 75 分)

座位号

16. (本小题满分 12 分)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) 。求以 F1 、
F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程;

17.(本小题满分 12 分) 已知圆 C : x ? y ? 4 y ? 21 ? 0.
2 2

-4-

(1)将圆 C 的方程化为标准方程,并指出圆心坐标和半径; (2)求直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 被圆 C 所截得的弦长。

18. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ,A 是抛物线上横坐标为 4、

OB 且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5, 过 A 作 AB 垂直于 y 轴, 垂足为 B ,
的中点为 M . (1) 求抛物线方程; (2) 过 M 作 MN ⊥FA ,垂足为 N ,求直线 MN 的方程.

19. (本小题满分 12 分) )双曲线 C 与椭圆 条渐近线.求双曲线 C 的方程.

x2 y2 ? =1 有相同的焦点,直线 y= 3 x 为 C 的一 8 4

-5-

20.(本小题满分 13 分)直线 l : y ? ax ? 1 与双曲线 C : 3x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 A, B 。 (1)当 a=2 时,求 AB 的长度; (2)是否存在实数 a,使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由。

姓名

班级

学号

21.(本小题满分 14 分) 如图,椭圆 E : 为 F2 ,离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点 a 2 b2

1 A 、B 两点,点 A 在 x 轴上方,且 ?ABF2 .过 F 1 的直线交椭圆于 2
-6-

的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q .试 探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出点 M 的 坐标;若不存在,说明理由.

南昌三中高二上学期期中考试数学试卷(文)
一、ADABC CBDCC 14、12; 15、2 二、11、5; 12、 ? 24 ? a ? 7 ; 13、 y 2 ? ?12x ; 三、16.解:设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 。 + a 2 b2
∴ a?3 5,

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ,
2 2 2

x2 y2 ? 1; b ? a ? c ? 45 ? 36 ? 9 ,故所求椭圆的标准方程为 + 45 9
17、解:(1) x + ( y + 2) = 25. 故圆心的坐标是 (0, ?2) ,半径 r ? 5.
2 2

-7-

(2)弦心距 d ?

| 2 ? 0 ? ( ?2) ? 3 | 1 ?2
2 2

? 5.
2

? r 2 ? d 2 ? 52 ? ( 5) 2 ? 2 5.

故直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2 r ? d ? 4 5.
2

18、解: (1) y 2 ? 4 x ; (2) F (1, 0) , A(4, 4) , B(0, 4) , M (0, 2) , k AF ? 所以直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ?

4 3 , k MN ? ? , 3 4

3 ( x ? 0) ,即 3x ? 4 y ? 8 ? 0 . 4

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,求得两焦点为 19、解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,由椭圆 a b 8 4
(-2,0),(2,0), ∴ 对于双曲线 C:c=2. 又 y ? ∴

3 x 为双曲线 C 的一条渐近线,

b y2 ? 3 , 解得 a 2 ? 1, b2 ? 3 ,∴双曲线 C 的方程为 x 2 ? ? 1. a 3

20 解:(1)2 10 ;

21、解: (1)因为 | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 ,即 | AF 1 |?| F 1B | ? | AF 2 | ? | BF 2 |? 8 而 | AF1 | ? | AF2 |?| F1B | ? | BF2 |? 2a ,所以 4a ? 8 ? a ? 2 ,而 e ?

c 1 1 ? ? c ? a ? 1 ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3 a 2 2

x2 y 2 ? ?1 所求椭圆方程为 4 3
? y ? kx ? m ? (2)由 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 x y2 ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ? 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0
? 4km 4k 3 4k 3 ? y ? kx ? m ? ? , y ? ? P ( ? , ) ? Q(4, 4k ? m) , , 由 ? 0 4k 2 ? 3 m m m m x ? 4 ? ? 16k 4kx1 12k ? ? 4 x1 ? x12 ? ?3? 0 设存在 M ( x1 ,0) ,则由 MP ? MQ ? 0 可得 ? m m m
x0 ?
-8-

? (4 x1 ? 4)

k ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,由于对任意 m, k 恒成立,所以联立解得 x1 ? 1 . m

故存在定点 M (1, 0) ,符合题意.

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-9-


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