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2008年广州市高三一模数学试题(理科)


秘密★启用前

2008 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数 学(理科)
2008.3 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选

出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再将答案填写在 对应题号的横线上。漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? . 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次 的概率 Pn ? k ? ? C n p ?1 ? p ?
k k n?k



一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x ?2 ? x ? 2 , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ?
2

?

?

?

?

A. ? 0, 2 ?

B. ? 0, 2 ?

C. ? 0, 2 ?

D. ? 0, 2 ?

2.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比 甲 赛得分的情况用如图 1 所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员 6 9 8 0 的中位数分别为 5 7 9 1 3 4 6 2 A.19、13 B.13、19 2 3 C.20、18 D.18、20 1 4 图1

7 1 2 1 0

乙 8 5 13 0 0

3.已知函数 f ( x) ? ? A. ?1

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
B. 2
2 2
x

x ? 0.

若 f (a) ?

1 ,则 a ? 2
D.1 或 ? 2

C. ?1 或 2

4.直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x ? y ? 9 的位置关系是 A.相离 B.相交
2

C.相切
2

D.不确定

5.在区间 ? 0,1? 上任取两个数 a, b ,方程 x ? ax ? b ? 0 的两根均为实数的概率为 A.

1 8

B.

1 4
2

C.

1 2

D.

3 4

6.已知 a ?R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.抽气机每次抽出容器内空气的 60% ,要使容器内剩下的空气少于原来的 0.1% ,则至 少要抽(参考数据: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 ) A.15 次 B.14 次 C.9 次 D.8 次

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 8.在 ?ABC 所在的平面上有一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则 ?PBC 与 ?ABC 的
面积之比是 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题 分为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12 题是必做题,每道试题考生都必 须做答. 9.若复数 z ? m ? 5m ? 6 ? ? m ? 3? i 是实数,则
2

开始 输入 x

?

?

实数 m ? 10.已知 cos ? ?

k ?0
x ? 2x ? 1




3 ,则 cos 2? ? 5



11.根据定积分的几何意义,计算

?

1

0

4 ? x2 dx ?

k ? k ?1
x ? 115?
是 输出 x,k 结束 图2

12.按如图 2 所示的程序框图运算. 若输入 x ? 8 ,则输出 k ? ; 若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是 . (注:“ A ? 1”也可写成“ A :? 1 ”或“ A ? 1 ” ,均表示赋值 语句)



(二)选做题:第 13、14、15 题是选做题,考生只能选做二题,三题全答的,只计算前两 题的得分. 13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 ? 2 2, 则切线的极坐标方程是 .
2 2 2

? ?

??

? 作圆 ? ? 4sin ? 的切线, 4?

14. (不等式选讲选做题)若 a 、 b 、 c ?R ,且 a ? 2b ? 3c ? 6 ,则 a ? b ? c 的最小值 是 . 15. (几何证明选讲选做题)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,且 AE : EB ? 1: 2 ,

DE 与 AC 交于点 F ,若 ?AEF 的面积为 6 cm2 ,则 ?ABC 的面积为

cm2 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ? (1)求实数 a 和 b 的值; (2)当 x 为何值时, f ( x) 取得最大值.

?? ? ?? ? , 0 ? 和 ? ,1? . ?3 ? ?2 ?

17. (本小题满分 12 分) 某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数 N ? n1 n2 n3 n4 n5 n6 , 其中 N 的各位数中, n1 ? n6 ? 1 , nk ( k ? 2,3,4,5)出现 0 的概率为 的概率为

2 ,出现 1 3

1 ,记 ? ? n1 ? n2 ? n3 ? n4 ? n5 ? n6 ,当该计算机程序运行一次时,求随机变 3

量 ? 的分布列和数学期望(即均值) .

18. (本小题满分 14 分) 如图 3 所示,在边长为 12 的正方形

A1

B1

C1

A1?

B1 A1

C1

AA?A1?A1 中, B, C 在线段 AA? 上, 点


AB ? 3 , BC ? 4 , 作
Q Q

BB1 ? AA1 ,分别交 A1 A1? 、 AA1? 于
点 B1 、 P ,作 CC1 ?

AA1 ,分别交
A

P P B B
图3

A1 A1? 、 AA1? 于点 C1 、Q ,将该正方

C

A?

C

A

图4

CC 形沿 BB1 、 1 折叠, 使得 A?A1? 与 AA1 重合, 构成如图 4 所示的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 .
(1)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,求证: AB ? 平面 BCC1 B1 ; (2)求平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1 B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比; (3)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,求直线 AP 与直线 AQ 所成角的余弦值. 1

19. (本小题满分 14 分)
* 已知数列 {a n } 中, a1 ? 5 且 an ? 2an ?1 ? 2 ? 1 ( n ? 2 且 n ?N ) .
n

(1)若数列 ?

? an ? ? ? ? 为等差数列,求实数 ? 的值; n ? 2 ?

(2)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n .

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? x ( e 为自然对数的底数) .
x

(1)求函数 f ( x) 的最小值;

e ?1? ?2? ? n ?1? ? n ? (2)若 n ?N ,证明: ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? ?? ? ? e ?1 ?n? ?n? ? n ? ?n?
n n n n

*

21. (本小题满分 14 分)
2

已知抛物线 L : x ? 2 py 和点 M ? 2, 2? ,若抛物线 L 上存在不同两点 A 、 B 满足

???? ???? ? ? AM ? BM ? 0 .
(1)求实数 p 的取值范围; (2)当 p ? 2 时,抛物线 L 上是否存在异于 A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三 点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线,若存在,求出点 C 的坐标,若不存在,请 说明理由.

2008 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C A P

8.由 PA ? PB ? PC ? AB ,得 PA ? PB ? BA ? PC ? 0 , 即 PC ? 2 AP ,所以点 P 是 CA 边上的第二个三等分 点,如图所示.故

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

S?PBC BC ? PC 2 ? ? . S?ABC BC ? AC 3

B

C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中第 12 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 9.3 13. ? cos ? ? 2 10. ?

7 25

11.

?
3

?

3 2

12.4; ? 28,57 ?

14. ? 11

15.72

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识,考查运算求解能力) 解: (1)∵函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ?

?? ? ?? ? , 0 ? 和 ? ,1? , ?3 ? ?2 ?

? ? ? ?a sin 3 ? b cos 3 ? 0, ? 3 a ? 1 b ? 0, ? ? ∴? 即? 2 2 ?a sin ? ? b cos ? ? 1. ?a ? 1. ? ? ? 2 2

解得 ?

?a ? 1, ? . ?b ? ? 3. ?

(2)由(1)得 f ( x) ? sin x ? 3 cos x

?1 ? 3 ? 2 ? sin x ? cos x ? ?2 ? 2 ? ?

?? ? ? 2sin ? x ? ? . 3? ?
∴当 sin ? x ? 即 x ? 2 k? ?

? ?

??

? ? 1 ,即 x ? ? 2k? ? , 3? 3 2

?

?

5? (k ? Z) 时, f ( x) 取得最大值 2. 6

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力等) 解: ? 的可能取值是 2,3,4,5,6. ∵ n1 ? n6 ? 1 ,

? 2 ? 16 ∴ P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? , ? 3 ? 81
0 4

4

1 ? 2 ? 32 P ?? ? 3? ? C ? ? ? ? , 3 ? 3 ? 81
1 4

3

?1? P ?? ? 4 ? ? C ? ? ?3?
2 4 4 4 4

2

8 ?2? ?? ? ? , 27 ?3?

2

?1? 2 8 P ?? ? 5 ? ? C ? ? ? ? , ? 3 ? 3 81
3 4

3

1 ?1? P ?? ? 6 ? ? C ? ? ? . ? 3 ? 81
∴ ? 的分布列为

?
P

2

3

4

5

6

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

∴ ? 的数学期望为 E? ? 2 ?

16 32 24 8 1 10 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? . 81 81 81 81 81 3

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系,面积与体积,空间向量等基础知识,考 查空间想象能力和运算求解能力)

? (1)证明:在正方形 AA?A1 A1 中,∵ A?C ? AA? ? AB ? BC ? 5 ,
∴三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面三角形 ABC 的边 AC ? 5 . ∵ AB ? 3 , BC ? 4 ,∴ AB ? BC ? AC ,则 AB ? BC .
2 2 2

? ∵四边形 AA?A1 A1 为正方形, AA1 ? BB1 ,
∴ AB ? BB1 ,而 BC ? BB1 ? B , ∴ AB ? 平面 BCC1 B1 . (2)解:∵ AB ? 平面 BCC1 B1 , ∴ AB 为四棱锥 A ? BCQP 的高. ∵四边形 BCQP 为直角梯形,且 BP ? AB ? 3 , CQ ? AB ? BC ? 7 ,

1 ? BP ? CQ ? ? BC ? 20 , 2 1 ∴四棱锥 A ? BCQP 的体积 VA? BCQP ? S BCPQ ? AB ? 20 , 3
∴梯形 BCQP 的面积为 S BCQP ? 由(1)知 B1B ? AB , B1B ? BC ,且 AB ? BC ? B , ∴ B1 B ? 平面 ABC . ∴三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直棱柱, ∴三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 VABC ? A1B1C1 ? S?ABC ? BB1 ? 72 . 故平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1 B1C1 分成上、下两部分的体积

z
B1 A1 C1

72 ? 20 13 之比为 ? . 20 5
(3)解:由(1)(2)可知, AB , BC , BB1 两两互相垂直. 、 以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz , 则 A ? 3, 0, 0 ? , A1 ? 3, 0,12 ? , P ? 0, 0,3? , Q ? 0, 4, 7 ? ,

Q

P B
C y

x

A

∴ AP ? (?3, 0,3) , A1Q ? (?3, 4, ?5) ,

??? ?

????

??? ???? ? ??? ???? ? AP ? A1Q 1 ∴ cos ? AP, A1Q ?? ??? ???? ? ? , ? 5 AP A1Q
∵异面直线所成角的范围为 ? 0,

? ?? , ? 2? ?

∴直线 AP 与 AQ 所成角的余弦值为 1

1 . 5

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识,考查综合运用知识分析问题和解决问 题的能力) 解: (1)方法 1:∵ a1 ? 5 , ∴ a2 ? 2a1 ? 2 ? 1 ? 13 , a3 ? 2a2 ? 2 ? 1 ? 33 .
2 3

设 bn ?

an ? ? ,由 {bn } 为等差数列,则有 2b2 ? b1 ? b3 . 2n a ? ? a ? ? a3 ? ? ∴ 2? 2 2 ? 1 . ? 2 2 23 13 ? ? 5 ? ? 33 ? ? ∴ . ? ? 2 2 8 解得 ? ? ?1 . a 1 ?1 a ?1 1 事实上, bn ?1 ? bn ? n ?n ?1 ? n n ? n ?1 ?? an ?1 ? 2an ? ? 1? ? 2 2 2 ? 1 ? n ?1 ?? 2n ?1 ? 1? ? 1? ? 1 , ? 2 ?
综上可知,当 ? ? ?1 时,数列 ?

? an ? ? ? ? 为首项是 2 、公差是 1 的等差数列. n ? 2 ?

方法 2:∵数列 ? 设 bn ?

? an ? ? ? ? 为等差数列, n ? 2 ?

an ? ? * ,由 {bn } 为等差数列,则有 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ( n ?N ) . n 2 a ?? a ?? a ?? ∴ 2 ? n ?1n ?1 ? n n ? n ? 2 ? 2 . 2 2 2n
∴ ? ? 4an ?1 ? 4an ? an ? 2 ? 2 ? an ?1 ? 2an ? ? ? an ? 2 ? 2an ?1 ?

? 2 ? 2n ?1 ? 1? ? ? 2n ? 2 ? 1? ? ?1 .

综上可知,当 ? ? ?1 时,数列 ? (2)由(1)知,

? an ? ? ? ? 为首项是 2 、公差是 1 的等差数列. n ? 2 ?

an ? 1 a1 ? 1 ? ? ? n ? 1? ?1 , 2n 2
n

∴ an ? ? n ? 1? ? 2 ? 1 . ∴ Sn ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? ? ? n ? 2
1 2

?

? ?
2

?

?

n ?1

? 1? ? ?? n ? 1? ? 2n ? 1? . ? ?

即 Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
1

n ?1

? ? n ? 1? ? 2n ? n . ? ? n ? 1? ? 2n ,
n ?1

令 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
1 2 2 3

n ?1

① ②
n ?1

则 2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n



②-①,得 Tn ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 3

?

n

? ? ? n ? 1? ? 2

? n ? 2n?1 .
∴ Sn ? n ? 2
n ?1

? n ? n ? ? 2n ?1 ? 1? .

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识,考查分析问题和解决问题的 能力、以及创新意识) (1)解:∵ f ( x) ? e ? x ,∴ f ?( x) ? e ? 1 .
x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . ∴当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . ∴函数 f ( x) ? e ? x 在区间 ? ??, 0 ? 上单调递减,在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增.
x

∴当 x ? 0 时, f ( x) 有最小值 1. (2)证明:由(1)知,对任意实数 x 均有 e ? x ? 1 ,即 1 ? x ? e .
x x
k ? k k * 令 x ? ? ( n ? N , k ? 1, 2,?, n ? 1 ) ,则 0 ? 1 ? ? e n , n n

k ? k ? ? ?n ? ∴ ?1 ? ? ? ? e ? ? e? k (k ? 1, 2,?, n ? 1) . ? n? ? ? n

n

即?

?n?k ? ?k ? ? e (k ? 1, 2,? , n ? 1) . ? n ?
n n

?n? ∵ ? ? ? 1, ?n? ?1? ?2? ? n ?1 ? ? n ? ? ( n ?1) ? e? ( n ? 2) ? ? ? e?2 ? e?1 ? 1 . ∴ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? e n? ?n? n ? ?n? ? ?
n n n n

∵e

? ( n ?1)

?e

? ( n ? 2)

1 ? e? n 1 e , ??? e ? e ?1 ? ? ? ?1 ?1 1? e 1? e e ?1
?2 ?1
n n

∴ ?

e ?1? ?2? ? n ?1? ? n ? . ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? e ?1 ?n? ?n? ? n ? ?n?
n n

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识,考查数形结合的数学思想方法,以及推理 论证能力、运算求解能力) 解法 1: (1)不妨设 A ? x1 ,

? ?

? x12 ? x2 ? ,B ? x2 , 2 ? ,且 x1 ? x2 , ? 2p ? ? 2p ?
? ? x12 ? ? x2? ? ? 2 ? x2 , 2 ? 2 ? ? 0 . ? 2p ? ? 2p ?

∵ AM ? BM ? 0 ,∴ ? 2 ? x1 , 2 ? ∴ x1 ? x2 ? 4 , x1 ? x2 ? 8 p .
2 2

???? ???? ? ?

∵x ?x
2 1

2 2

?x ? x ? ? 1 2
2

2

( x1 ? x2 ) ,即 8 p ? 8 ,

∴ p ? 1 ,即 p 的取值范围为 ?1, ?? ? . (2)当 p ? 2 时,由(1)求得 A 、 B 的坐标分别为 ? 0, 0 ? 、 ? 4, 4 ? . 假设抛物线 L 上存在点 C ? t ,

? t2 ? ,使得经过 A 、 B 、C 三点的圆和抛 ?( t ? 0 且 t ? 4 ) ? 4?

物线 L 在点 C 处有相同的切线. 设经过 A 、 B 、 C 三点的圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2 2

? F ? 0, ? 则 ?4 D ? 4 E ? F ? ?32, ?16tD ? 4t 2 E ? 16 F ? ?t 4 ? 16t 2 . ?
整理得 t ? 4 ? E ? 4 ? t ? 16 ? E ? 8 ? ? 0 .
3



∵函数 y ?

x2 x 的导数为 y? ? , 4 2
? t2 ? t ? 处的切线的斜率为 , 2 ? 4?
? t2 ? t ? 处的切线斜率为 . 2 ? 4?

∴抛物线 L 在点 C ? t ,

∴经过 A 、 B 、 C 三点的圆 N 在点 C ? t , ∵ t ? 0 ,∴直线 NC 的斜率存在. ∵圆心 N 的坐标为 ? ?

? D E? ,? ?, 2? ? 2

t2 E ? 4 2 ? t ? ?1 ,即 t 3 ? 2 ? E ? 4 ? t ? 4 ? E ? 8? ? 0 . ∴ D 2 t? 2
∵ t ? 0 ,由①、②消去 E ,得 t ? 6t ? 32 ? 0 .
3 2



即 ?t ? 4?

2

?t ? 2? ? 0 .

∵ t ? 4 ,∴ t ? ?2 . 故满足题设的点 C 存在,其坐标为 ? ?2,1? . 解法 2: (1)设 A , B 两点的坐标为 A( x1 ? y1 )? B( x2 ? y2 ) ,且 x1 ? x2 。 ∵ AM ? BM ? 0 ,可得 M 为 AB 的中点,即 x1 ? x2 ? 4 . 显然直线 AB 与 x 轴不垂直, 设直线 AB 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) , y ? kx ? 2 ? 2k , 即 将 y ? kx ? 2 ? 2k 代入 x ? 2 py 中,
2

???? ???? ? ?

得 x ? 2 pkx ? 4(k ? 1) p ? 0 .
2

?? ? 4 p 2 k 2 ? 16(k ? 1) p ? 0, ∴? ? x1 ? x2 ? 2 pk ? 4.
∴ p ? 1. 故 p 的取值范围为 (1? ? ?) . (2)当 p ? 2 时,由(1)求得 A , B 的坐标分别为 A ? 0? 0 ? ? B ? 4? 4 ? .

? t2 ? 假设抛物线 L ? x ? 4 y 上存在点 C ? t ? ? ( t ? 0 且 t ? 4 ) ,使得经过 A 、 B 、 C 三 ? 4?
2

点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线. 设圆的圆心坐标为 N (a , b) ,

∵?

? NA ? NB , ? ? NA ? NC . ?

? a 2 ? b 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 , ? ? 2 ∴? ? t2 ? 2 2 2 ? a ? b ? ?a ? t ? ? ?b ? ? . 4? ? ? ?
?a ? b ? 4, ? 即? 1 3 ?4a ? tb ? 2t ? 8 t . ?

? t 2 ? 4t ?a ? ? 8 , ? 解得 ? 2 ?b ? t ? 4t ? 32 . ? 8 ?
∵抛物线 L 在点 C 处切线的斜率为 k ? y? |x ?t ?

t ,而 t ? 0 ,且该切线与 NC 垂直, 2

t2 4 ? t ? ?1 . ∴ a ?t 2 1 3 即 2a ? bt ? 2t ? t ? 0 . 4 b?
将a ? ?

t 2 ? 4t t 2 ? 4t ? 32 3 2 ,b ? 代入上式,得 t ? 2t ? 8t ? 0 . 8 8

即 t (t ? 4)(t ? 2) ? 0 . ∵ t ? 0 且 t ? 4 ,∴ t ? ?2 . 故满足题设的点 C 存在,其坐标为

? ?2,1? .


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