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二次函数


二次函数
在数学中,二次函数最高次必须为二次, 二次函数(quadratic function)表示形式为 y=ax? +bx+c(a≠0)的多项式函数。二次函数的图像是一条对称轴平行于 y 轴的抛物线。 二次函数表达式 y=ax? +bx+c 的定义是一个二次多项式,因为 x 的最高次数是 2。 如果令二次函数的值等于零, 则可得一个二次方程。 该方程的解称为方程的根

或函数的 零点。

基本定义
一般地,把形如 y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 是常数,a≠0,b,c 可以为 0)的函数叫 做二次函数(quadratic function),其中 a 称为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项。

x 为自变量,y 为因变量。等号右边自变量的最高次数是 2。,顶点坐标 交点式为



(仅限于与 x 轴有交点的抛物线),与 x 轴的交点坐标是





注意:“变量”不同于“自变量”,不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函 数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在实数范围内任意取 值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还 是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的 是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别,如同函数不等于函数的关 系。

函数性质
1.二次函数是抛物线,但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二 次函数。抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形。对称轴为直线 x=0)。 。对称轴与抛

物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线

2.抛物线有一个顶点 P,坐标为 P Δ =b^2-4ac=0 时,P 在 x 轴上。

。当-b/2a=0 时,P 在 y 轴上;当

3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。|a|越小,则抛物线的开口越大。 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时 (即 ab>0) , 对称轴在 y 轴左;当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴在 y 轴右。 (可巧记为:同左异右) 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于(0, c) 6.抛物线与 x 轴交点个数: =b^2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。当 点。 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。Δ 时,抛物线与 x 轴没有交

当 a>0 时,函数在

处取得最小值

;在 x|x<-b/2a} 上是

减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相 反不变; 当 b=0 时, 抛物线的对称轴是 y 轴, 这时, 函数是偶函数, 解析式变形为 y=ax^2+c(a≠0). 7.定义域:R

值域:当 a>0 时,值域是

;当 a<0 时,值域是



奇偶性:当 b=0 时,此函数是偶函数;当 b 不等于 0 时,此函数是非奇非偶函数。 周期性:无 解析式: ①一般式:y=ax^2+bx+c ⑴a≠0 ⑵若 a>0,则抛物线开口朝上;若 a<0,则抛物线开口朝下;

⑶顶点: ⑷若 Δ>0,则函数图像与 x 轴交于两点:([-b+√Δ]/2a,0)和([-b-√Δ]/2a,0); 若 Δ=0,则函数图像与 x 轴切于一点:(-b/2a,0); 若 Δ<0,函数图像与 x 轴无公共点; ②顶点式: 此时顶点为(h,t)

③交点式:

, 函数图像与 x 轴交于 (x1,0)和(x2,0)两点。

表达式
顶点式
y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k 为常数),顶点坐标为(h,k)[4] ,对称轴为直线 x=h,顶点的位 置特征和图像的开口方向与函数 y=ax? 的图像相同, 当 x=h 时, y 最小值=k.有时题目会指出 让你用配方法把一般式化成顶点式。 例:已知二次函数 y 的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求 y 的解析式。 解:设 y=a(x-1)? +2,把(3,10)代入上式,解得 y=2(x-1)? +2。 注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0 时,h 越大,图像的对称轴离 y 轴越远,且在 x 轴正方向上,不能因 h 前是负号就简单地认为是 向左平移。[2]

具体可分为下面几种情况:
当 h>0 时,y=a(x-h)? 的图像可由抛物线 y=ax? 向右平行移动 h 个单位得到; 当 h<0 时,y=a(x-h)? 的图像可由抛物线 y=ax? 向左平行移动|h|个单位得到; 当 h>0,k>0 时,将抛物线 y=ax? 向右平行移动 h 个单位,再向上移动 k 个单位,就可 以得到 y=a(x-h)? +k 的图象; 当 h>0,k<0 时,将抛物线 y=ax? 向右平行移动 h 个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)? +k 的图象;

当 h<0,k>0 时,将抛物线 y=ax? 向左平行移动|h|个单位,再向上移动 k 个单位可得到 y=a(x-h)? +k 的图象; 当 h<0,k<0 时,将抛物线 y=ax? 向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)? +k 的图象。

交点式
[仅限于与 x 轴即 y=0 有交点时的抛物线,即 b2-4ac≥0] . 已知抛物线与 x 轴即 y=0 有交点 A(x1, 0)和 B(x2, 0),我们可设 y=a(x-x1)(x-x2) ,然后把第三点代入 x、y 中便可求出 a。

由一般式变为交点式的步骤:
∵x1+x2=-b/a, x1· x2=c/a(由韦达定理得),

重要概念:a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向。a>0 时,开口方向向上; a<0 时,开口方向向下。a 的绝对值可以决定开口大小。a 的绝对值越大开口就越小,a 的 绝对值越小开口就越大。 f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由 此可引导出交点式的系数 (y 为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

欧拉交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 若 ax? +bx+c=0 有两个实根 x1,x2,则 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 此抛物线的对称轴为直 线 。

三点式(已知三点求一般式)

方法 1: 已知二次函数上三个点,(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三个点分别代入函数解析式 y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k 为常数),有: 一次方程组,就能解出 a、b、c 的值。 方法 2: 已知二次函数上三个点,(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3) 利用拉格朗日插值法,可以求出该二次函数的解析式为: 得出一个三元

与 X 轴交点的情况: 当 时,函数图像与 x 轴有两个交点,分别是(x1, 0)和(x2, 0)。



时,函数图像与 x 轴只有一个切点,即(-b/2a,0)。



时,抛物线与 x 轴没有公共交点。x 的取值范围是虚数





函数图象
基本图象
在平面直角坐标系中作出二次函数 y=ax2+bx+c 的图像,可以看出,在没有特定定义域 的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将 是由 平移得到的。

轴对称

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点 P。 特别地,当 b=0 时,二次函数图像的对称轴是 y 轴(即直线 x=0)。是顶点的横坐标 (即 x=?)。 a,b 同号,对称轴在 y 轴左侧; a,b 异号,对称轴在 y 轴右侧。

顶点
二次函数图像有一个顶点 P,坐标为 P(h,k)。 当 h=0 时, P 在 y 轴上; 当 k=0 时, P 在 x 轴上。 即可表示为顶点式 y=a(x-h)2+k (x≠0) h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。

开口
二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大小。 当 a>0 时,二次函数图象向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。 |a|越大,则二次函数图像的开口越小。

决定位置的因素
一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a>0,与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于 0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a 要大于 0,所以 a、b 要同号 当 a>0,与 b 异号时(即 ab<0),对称轴在 y 轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于 0,也就是- b/2a>0, 所以 b/2a 要小于 0,所以 a、b 要异号 可简单记忆为左同右异,即当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左;当 a 与 b 异号时(即 ab<0 ),对称轴在 y 轴右。 事实上,b 有其自身的几何意义:二次函数图象与 y 轴的交点处的该二次函数图像切线 的函数解析式(一次函数)的斜率 k 的值。可通过对二次函数求导得到。

决定交点的因素
常数项 c 决定二次函数图像与 y 轴交点。 二次函数图像与 y 轴交于(0,C)点 注意:顶点坐标为(h,k), 与 y 轴交于(0,C)。

与 x 轴交点个数
a<0;k>0 或 a>0;k<0 时,二次函数图像与 x 轴有 2 个交点。 k=0 时,二次函数图像与 x 轴只有 1 个交点。 质疑点:a<0;k<0 或 a>0,k>0 时,二次函数图像与 x 轴无交点。 当 a>0 时,函数在 x=h 处取得最小值 =k,在 x<h 范围内是减函数,在 x>h 范围

内是增函数(即 y 随 x 的变大而变大),二次函数图像的开口向上,函数的值域是 y>k 当 a<0 时,函数在 x=h 处取得最大值 ymax=k,在 x<h 范围内是增函数,在 x>h 范围 内是减函数(即 y 随 x 的变大而变小),二次函数图像的开口向下,函数的值域是 y<k 当 h=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴,这时,函数是偶函数

对称关系
对于一般式: ①y=ax2+bx+c 与 y=ax2-bx+c 两图像关于 y 轴对称 ②y=ax2+bx+c 与 y=-ax2-bx-c 两图像关于 x 轴对称

③y=ax2+bx+c 与

关于顶点对称

④y=ax2+bx+c 与 y=-ax2+bx-c 关于原点中心对称。 (即绕原点旋转 180 度后得到的图 形) 对于顶点式: ①y=a(x-h)2+k 与 y=a(x+h)2+k 两图像关于 y 轴对称,即顶点(h, k)和(-h, k)关于 y 轴对 称,横坐标相反、纵坐标相同。

②y=a(x-h)2+k 与 y=-a(x-h)2-k 两图像关于 x 轴对称,即顶点(h, k)和(h, -k)关于 x 轴对 称,横坐标相同、纵坐标相反。 ③y=a(x-h)2+k 与 y=-a(x-h)2+k 关于顶点对称,即顶点(h, k)和(h, k)相同,开口方向相 反。 ④y=a(x-h)2+k 与 y=-a(x+h)2-k 关于原点对称,即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称,横 坐标、纵坐标都相反。 (其实①③④就是对 f(x)来说 f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)

方程关系
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c , 当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程),即 ax2+bx+c=0 此时,函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数 y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形 状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: y=ax2(0,0) x=0 再向上移动 k 个单位,就可得到 y=a(x+h)2+k(h<0,k>0)的图像 当 h<0,k<0 时,将抛物线 y=ax2 向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可 得到 y=a(x+h)2+k(h<0,k<0)的图像 在向上或向下。向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。 因此,研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,通过配方,将一般式化为 y=a(x-h)2+k 的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图像提供了方 便。 2.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像:当 a>0 时,开口向上,当 a<0 时开口向下,对称 轴是直线 x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b? ]/4a)。 3. 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0), 若 a>0, 当 x ≤ -b/2a 时, y 随 x 的增大而减小; 当 x ≥ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大。若 a<0,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x ≥ -b/2a 时, y 随 x 的增大而减小。

4.抛物线 y=ax2+bx+c 的图像与坐标轴的交点: (1)图像与 y 轴一定相交,交点坐标为(0, c); (2)当 时,图像与 x 轴交于两点 A(x1, 0)和 B(x2, 0),其中的 x1,x2 是

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离 AB=|x1-x2| =√△ /∣a∣

另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由 (A 为其中一点的横坐标) 当 时,图像与 x 轴只有一个切点;



时,图像与 x 轴没有公共点。当 a>0 时,图像落在 x 轴的上方,x

为任何实数时,都有 y>0;当 a<0 时,图像落在 x 轴的下方,x 为任何实数时,都有 y<0。

5.抛物线 y=ax2+bx+c 的最值:如果 a>0,则当 如果 a<0,则当 时, 。

时,

=(4ac-b2)/4a。 ;

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、 y 的三对对应值时, 可设解析式 (表 达式)为一般形式: (a≠0)

(2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点 式:y=a(x-h)2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图像与 x 轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式: y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

学习方法
知识要点

1.要理解函数的意义。 2.要记住函数的几个表达形式,注意区分。 3.一般式,顶点式,交点式,等,区分对称轴,顶点,图像,y 随着 x 的增大而减小(增 大)(增减值)等的差异性。 4.联系实际对函数图象的理解。 5.计算时,看图像时切记取值范围。 6.随图象理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题 二次函数知识很容易与其他知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次 函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现。

误区提醒
(1)对二次函数概念理解有误,漏掉二次项系数不为 0 这一限制条件; (2)对二次函数图像和性质存在思维误区; (3)忽略二次函数自变量取值范围; (4)平移抛物线时,弄反方向。

定义与表达式
一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: y=ax? +bx+c (a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时, 开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.) 则称 y 为 x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

三种表达式
一般式:y=ax? +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)

顶点式:y=a(x-h)? +k[抛物线的顶点 P(h, k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与 x 轴有交点 A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注:在 3 种形式的互相转化中,有如下关系:

k=(4ac-b? )/4ax

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。



特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0)

2.抛物线有一个顶点 P,坐标为



时,P 在 y 轴上;当

时,P 在 x 轴上。

3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线开口大小。 当 a>0 时,抛物线开口向上;当 a<0 时,抛物线开口向下 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 有 1 个交点。 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于(0,c)

抛物线与 x 轴交点个数
Δ=b?-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ=b?-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。 Δ=b?-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点。

练习题
已知函数:y=x? -4x+3 (1)画出函数的图像(用五点法) (2)观察图像,当 X 取那些值时,函数值为 0? 抛物线 y=4x? -1 与 y 轴的交点坐标是?与 x 轴的交点坐标是? 答案: (0,-1); (1/2, 0) 抛物线 y=-4x? ,当 x0 时 y 随 x 的增大而减小。


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