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2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题


2013 年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、填空题(每题 8 分)

1、若 2013 的每个质因子都是某个正整数等差数列 ?an ? 中的项,则 a2013 的最大值是
1 2 3 2 、若 a, b, c ? 0 , ? ? ? 1 ,则 a ? 2b ? 3c 的最小值为 a b c ?1 2 3 ? n ? 1? ,则 S201

3 ? 3 、若 Sn ? n !? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)! ? ? 2! 3! 4!
. .



如果一个正方体 X 与一个正四面体 Y 的表面面积 (各面面积之和) 相等, 则其体积之比 4、

Vx ? Vy



5 、若椭圆中心到焦点,到长、短轴端点,以及到准线距离皆为正整数,则这四个距离之和的最小值
是 . .

6 、函数 f ( x) ? 3x ? 6 ? 3 ? x 的值域是
的个数是 .

,则这种“山寨质数” 7 、设合数 k 满足:1 ? k ? 100 ,而 k 的数字和为质数,就称合数 k 为“山寨质数”

8 、将集合 ?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? 中的元素作全排列,使得除了最左端的一个数之外,对于其余的每个数 n ,
在 n 的左边某个位置上总有一个数与 n 之差的绝对值为 1 ,那么,满足条件的排列个数为 二、解答题 .

2 (20 分)设直线 x ? y ? 1 与抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 相交于点 A, B ,若 OA ? OB ,求抛物线方程以 9、 及 ?OAB 的面积.

(20 分)如图,四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AD, BC 的中点, 10 、 P 是对角线 BD 上的一点;直线 EP, PF 分别交 AB, DC 的延长 线于 M , N .证明:线段 MN 被直线 EF 所平分.

A

E D

P B F N M C

(20 分)在非钝角三角形 ABC 中,证明: sin A ? sin B ? sin C ? 2 . 11、

a2013 ? 2013 , (26 分) 试确定, 是否存在这样的正整数数列 ? an ? , 满足: 且对每个 k ? ?2,3,? , 2013? , 12 、
皆有 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ;而其各项 a1 , a2 ,? , a2013 的值恰好构成 1, 2,?, 2013 的一个排列?证明你 的结论.

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