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1.2.2函数的表示法(二)课件


§1.2.2函数的表示法

函数是两个非空数集间的一种确定的对 应关系.若将数集扩展到任意的集合时,会 得到什么结论?

§1.2.2函数的表示法



椅 座位



对应是两个集合的元素之间的一种关系,对 应关系可用图示的方法或文字描述等来表示.一

个对应由两个集合和对应关系三部分组成.

§1.2.2函数的表示法

1)对于任何一个实数a,数轴上有唯一的点P P 和它对应. O a 2)对于坐标平面内的任何一点A,都有唯一的 一个有序实数对(x, y)和它对应; y A (x,y) 3)对于任何一个三角形,都有 o x 唯一的面积和它对应; 4)本班每一个学生和教室内的座位对应; 5)本班每一个学生和班主任对应; 6)某人和他的书对应.

§1.2.2函数的表示法

A ?? ?? B
求正弦

30

0 0 0 0

1 2
2 2

45 60 90

3 2

一 对 一

1

§1.2.2函数的表示法

A? ?? ?B
开平方

9
4

3 ?3 2 ?2 1 ?1

一 对 多

1

§1.2.2函数的表示法

A? ?? ?B
求平方

3 ?3 2 ?2 1 ?1

9
4
多 对 一

1

§1.2.2函数的表示法

A ??? ?B
乘以2

1
2

2
4

3

5 6

一 对 一

§1.2.2函数的表示法

观察图(1)、(3)、(4),想一想这三个对应 有什么共同的特点?
A ?求正弦 ? ?? B
30 0
1 2
2 2

求平方 A? ?? ?B

450 600 900

3 ?3 2 ?2 1 ?1

9
4

乘以2 A ??? ?B

1
2

2
4

3 2

1

1

3

5 6

对于左边集合A中的任何一个元素,在右边 集合B中都有唯一的元素和它对应.

§1.2.2函数的表示法

设A,B是两个非空的集合,如果按某一个 确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一 个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应,那么就称对应 f :A→B为从集合A到 集合B的一个映射(mapping).
映射是从集合A到集合B的一种对应关系, 函数是从非空数集A到非空数集B的映射.由此 可知,映射是函数的推广,函数是一种特殊 的映射.

§1.2.2函数的表示法

(1)映射三要素
对应(2)为什么不是映射? 根据映射的定义可知: 映射不能一对多,只能一对 一或多对一. 集合A
开平方 A? ?? ?B

9
4

3 ?3 2 ?2 1 ?1

1

映射三要素

集合B

A到B的对应关系 f

§1.2.2函数的表示法

(4)映射概念小结 ?集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元 素与之相对应,并且是唯一的.
?集合B中的每一个元素不一定在集合A 中都有元素与之对应;如有也不一定唯一.
乘以2 A ??? ?B

1
2

2
4

3

5 6

?A,B 必须是非空集合 , 它可以是有限集 , 也可以 是无限集,可以是数集,也可以是点集或其它集合 . A到B的映射与B到A的映射是不同的; ?集合A,B与对应法则f是一个整体,一个系统,对 应关系f 可以用文字叙述,也可用一个式子或其他 形式来表示.

§1.2.2函数的表示法

例1.下面7个对应,其中哪些是集合A到B的映射? 不是 不是 a1 a b
a1 a3 a2 a4 b1 b2 b3 a3 a2 a4


(2)

b1 b2 b3 b4

a3 a2 a4
(3)

1

b2 b3 b4

1

(1) 2 4 -1 0 4 8 -2 0


(4)

0 1 -1 2 -2



(5)

0 1 2 3

§1.2.2函数的表示法

f : 内角和 B A
三角形 四边形 五边形 六边形

f : 教科书



180 ? 360 ? 540 ? 720 ?

张三

李四
不是

语文书 数学书 英语书 物理书 化学书



(6 )



A
中 俄 美 日

f:首都

B
北京 莫斯科 华盛顿 东京 伦敦

(7)

( 8)



§1.2.2函数的表示法

例2.下列对应是不是A到B的映射? (1) A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}, f :乘2加1. (2) A=N+,B={0,1}, f : x 除以2得的余数. (3) A={x|x>0},B=R,f :求平方根. (4) A={x|0≤ x<1},B={y|y≥1}, f :取倒数. 解(1) 是 ( 2) 是 (3)不是.B中有两个元素与A中一个元素对应 (4) 不是.A中元素0在B中无元素与之对应

§1.2.2函数的表示法

例3.判断下列对应是否为从集合A到B的映射: (1) A=R,B={y|y>0},对应关系f:平方. (2) A=N,B=N,对应关系f:乘2减1. (3) A={1,2,3,4},B=R,对应关系f:平方. 解:(1)0∈A,在对应关系f 的作用下,02=0?B, 故不是. (2)0∈A,在对应关系f的作用下,2×0-1=1?N,故不是. (3)对于任意x∈A,依对应关系f都有x2∈B, 故是映射.

§1.2.2函数的表示法

例3.判断下列对应是否为从集合A到B的映射:

(5)设A={x|x>0},B=R,对应关系是“求算术 是 平方根”; (6)设A={三角形},B=R,对应关系是“求面积”; 是 (7)设A={x|x>0},B={y|y>0},对应关系是 f:x→y =x2,x∈A,y∈B. 是

§1.2.2函数的表示法

【1】已知集合 M ? { x 0 ≤ x ≤ 6}, P ? ? y 0 ≤ y ≤ 3? 下列对应中,不能看成是M到P的映射的是( C ).

1 A. f : x ? y ? x 2

1 B. f : x ? y ? x 3

C. f : x ? y ? x

D. f : x ? y ? 1 x 6

§1.2.2函数的表示法

【2】下面的对应,不是从M到N的映射的是( B ).

A. M ? ?1,3,4,6,7? , N ? ?1, ?1? , f : x ? y ? ? ?1? .
x

B. M ? Z, N ? R,
C . M ? ?2,3,4? , N ? ?4,6,8? ,
D. M ? ? x x ≥ 0? , N ? ? y y ≥ 0? ,

f : x ? y ? x.

f : x ? y ? 2 x.

f :x? y? x .
2

§1.2.2函数的表示法

例4.以下给出的对应是不是从集合A到B的映射? (1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应 关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;是 (2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集 合B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角 坐标系中的点与它的坐标对应; 是 (3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}, 对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; 是

(4) 集合 A = {x|x 是新华中学的班级 }, 集合 B = {x|x是新华中学的学生 },对应关系 f:每一个班 级都对应班里的学生; 不是

§1.2.2函数的表示法

例5.(1)A={a,b},B={e,f},由集合A到集合B可以构 成多少个不同的映射? (2)A={a,b},B={c,d,e},由集合A到集合B可以构成 多少个不同的映射?

a b a b c a d b e

c d e c d e a b

a b c d e

c d e a b c d e a b

a b

c d e c d e

c a d b e

§1.2.2函数的表示法

3.函数与映射的关系 函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个映 射f:A→B,其中A,B都是非空的数集,对于自变 量在定义域内的任何一个值 x, 在集合 B 中都有 唯一的函数值和它对应;自变量的值是原象,和 它对应的函数值是象;原象的集合A就是函数的 定义域,象的集合C就是函数的值域,很显 然,C?B.所以A中元素有唯一的象,但B中元素 不一定都有原象。

§1.2.2函数的表示法

1.映射的定义、表示方法、象及原象的概念; 2.判断映射的方法 映射由三个部分组成:两个集合和一个 对应关系;映射的记号是: f : A ? B ①映射有三个要素:两个集合、一个对应关 系,三者缺一不可. ②A中每个元素在B中必有唯一的元素和它 对应. ③A中元素与B中元素的对应关系,可以是: 一对一,多对一,但不能一对多.


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