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31届物理竞赛题和解答


第 g=届 全国部分地区大学生物理竞赛试卷与解答
2014.12,07

1,将 地 球 半 径 R 、 自转周期 r、 地面重 力加速度 g取 为 已知量 ,则 人造地球 同步卫星 的轨道 半径 =

2R)]JR,
[gr2/(4万

1

1

2阝 叉

轨道 溷 蚤 目 丿 芟本 扌 ~苇 一宇 宦 i速 鏖 E甘 洵比值 =[4万

/(r2g)]亏



2,如 图所示 ,水 平桌面上静放着质量 为 /lf,内 半径为 R的 半球面形薄瓷碗 ,碗 的底
座与桌面 间无摩擦 。将质量为 朔 的小滑块在 图示 的碗边位置从静止 释放 ,随 后将会无摩 擦 地 沿 碗 的 内 表 面 滑 下 。 小 滑 块 到 达 最 低 位 置 时 ,它 相 对 桌 面 的 速 度 大 小 为 √刀吼//lⅣ +″ ),它 对碗底 的正压 力大小为

3〃 +2昭

g。 阴

3如 图所示 ,长

Γ乃


轻细杆两端连 接质量相 同的小球 彳、 B,开 始时细杆处于竖直方位

一 %

0‘

,

`的 下端 B球 距 水 平 地 面 高 度 记 为 乃 。 某 时 刻 让

B球 具 有 水 平 朝 右 初 速 度 %(其

F

大小

B

取 的最 小值 ‰ 而 =(万
`虍
'r— 0D_0∠

vO<万 √g7冖 ),其 上 方 爿球 具 有水平 朝右初 速度 2J0。 假 设而后 /、 B同 时着 地 ,则 乃可 2gZ-4v:)`/(:v:),取
烁 h时

,B从 开 始运 动 到着 地过 程 中其水平位 移 s



4,两 个测量者 /和 B,各 自携带频率 同为 1O0α姒 的声波波源 。设 Z静 止 ,B以 10m/s的 速度朝着 爿 运 动 ,己 知声速为 340m/s,不 考虑人体 的反射 ,则 Ⅱ接收到 的拍频
v彳

落地 前各 自球 心 的 一 段 运 动 轨道 。 (球 可不受 图 1所 示位 置 限制 。 )

2`0





(请 保 留 2位 有效数字 )。

`

`0

@



`

拍=32比

(请 保 留 2位 有效数字 ),B接 收到的拍频
`:拍

=29IIz

5,如 图 1所 示 ,3个 相同的匀
质球体 以相 同的水平初速度 凡平 抛出去。其 中球 1抛 出时无 自转 球 2、 球 3抛 出时有 自转 ,自 转方 向已
,

在 图 1中 示 出 ,自 转角速度值 吼 相 同且

g2 悟

1抛 出后 ,落 地前球心 的一段 运动轨道如 图 2长 方形 内一 段 曲线所示
较大 。球 试在该长方形 区域 内定性画出球
2、 2、

,

球3
,

球 3球 心在 图 2中 的初始位置

6.如 图所示 ,在 一个绝热的竖直 气缸里存有 一定量 的理想气体 ,开 始时绝热 的活塞
是固定的。现拆去销钉 (图 中未画出),气 体因膨胀而将活 (空 塞和重物举高 ,则 此过程中气体的压强减小,温 度堕低 。 〃 ″ ″ ″ 〃 ″ 〃 ″ 白处可填 增大 、 减小 、 升高 、 降低 。 ) 7.某 气体经历的循环过程如图所示 ,气 体分子的热运 动平均 自由程 兄和气体温度 Γ都会随过程而变。 将 历的最大值和最小值分别记 为 丸 ax和 丸 in,则 气 ax∶ 气 in〓 旦 。 将 r的 最大值和最小值分别记为 ‰拟和 飞in,

则该气体 在 ‰ Ⅸ热 源 和 %in热 源 之 间形成 的卡 诺循 环 过程效 率

怀

=75%°

(空 自处 只可填 数值 。 )

8,在 图中用实线代表 的 3根 首尾相接 的等长绝缘细棒上 的 电荷分布 ,与
绝缘棒都 换成等长细 导体棒且处于 静 电平衡时的电荷分布完全相 同 。已测得

图 中Ⅱ、B两 点电 势 分别为Cp。r:,今 将绝缘 D取 走,设 这不影响 棒曰 绝
Dc的 电荷 分布 ,则 此 时 /点 电势 V1=:乙丿 9:点 电势 乙 〓
:彳

缘 棒 ryc、

r∶

t丿

÷

+:已%。 彳

示 所 ?
,咖



愀贴 机 咻量 口

卜匚 ⊥ —

9,双 缝 干
条纹 ,设 图
1

幕 屏



@睽

,→ → → 龙





叫L

一 一

@

,D~







、 ‘ 9 ′





屏幕

置 ,直 角挡板 的两个侧面 分 别有对称 的透 光细缝 /、 B。 屏幕与挡板 的一 个侧面平

图 1

行 ,屏 幕 @处 可 出现亮条纹 。 设 图 2标 出的参量均为 己知量 ,则 屏幕 t, 处附近相 邻两条亮条纹 的间距可表述 为 洫 图2
,

=Ⅱ塾 兄。
I/



10,铝 的逸 出功是 4.2eV,

铝的红限波长九 =3× ly nm。 若用

波长为 200nm的 光 照射铝 表面 则光 电效应 的遏止 电压 U0=旦 V 。(普 朗克常量 乃=6.63× 1σ 34J? s,如 上结果保 留一 位有效数字 即可 )

11,(15分

)

净质量 Ⅳ 0的 喷水车 ,存 水质量 P9r0,在 平直道路上 以匀速度 v行 驶 的向时 ,朝 左 、右两侧绿化 带水平 横 向喷水 ,喷 出去 的水相对车身速 度大小为常量 〃,单 位时间喷水质量 为常量 r。 己知 车在行驶过程 中受

正面空气阻力大小为α v,其 中a为 正的常量;受 地面阻力大小为

,其 中 正的常数 ,Ⅳ 为地面所 受正压力。 不计其它能耗因素,试 求车装满水启动达匀速v并 开始喷水后,直 'Ⅳ '为 到水喷净为止 ,车 内作功装置 的作功量〃 。
解 :为 喷水提供作功总量

=:√ 吖
r=o, x=o9f女 台 计 时 、 计程 ,
∫ )0日寸 亥 刂


z,


x=vr
牵引力

iV=丿 V0+P9z0-r王
/丨

艿 ν ←

厂=α v+∥氵 嗨

(5分 )

蚝`

g ' +

抑 蒯

+

ˉˉ



ˉ ∫



'

~r 吼

艿=0到 九 =z唣

ν



ο ~

巾㈨ 腓 咄 ? 卜
F
「—
1_2
lIlL



△l

`丶

豸 一ν Κ 一

瑰刮

ˉˉˉˉ




所求为

+



〃 =吖 +吧

一 一 〓

l l l

`/

~K 卵
ηI
`丶
/丨

(6分 )

L

~K 印

2 一 吼

ˉˉˉˉ

(2分 )





+

+

+

g

ˉ l\

α





ν



— ——

`'

L

12,(15分

)

如 图所示 ,半 径为 R的 长直 圆柱形几何空 间区域 内 ,有 轴 向的匀强磁场 ,磁 感 应强度 B的 方 向垂直于 图平面朝里 ,其 大小 随 r变 化 ,且 有 庀,式 中 虍为 正 劈巧萨 的常景 。圆柱形空 间区域外没有磁场 。 在 圆柱形空间区域 内的一个 正 截面 内 ,有 一 个

B段 、BC段 和 C1亻 段 的电阻分 用金属丝连接而成 的圆内接 正三 角形 光Ⅸγ ,其 中 Ⅱ
别记丿 ,巧 、 圪和 乇。

(1)试 求 ⅡB段 从 /到 B方 向的电动势 ε 彳 :; (2)设 h=殇 =乇 ,试 求Ⅱ B段 从Z到 B的 电 压¢ 4:; (3)改 设 h=%、 勹 =2%`乇 =3%,再 求 /B段 从 Ⅱ到 B的 电压 己 彡 :。
解 :(1)回 路 电动势为 ε 彳 :cγ =一
因对称 ,即 得



=-岳 (-:?

迮∥ %:=Ι %:m=两
乙 1:α =0

1

:?

:卫

? JR)=至 三刀酽 亻

(6分

)

(2)回 路 电压
囚对 称 ,有

%:=y召c=吼 切→ %:=0 (3分 (3)将 巧=%、 勹=2%`勹 =3气 代入电流公式
:

)

-i丿匕 J=F彳 :c4 =ε 彳 R2/(6%) :□ /(‘ +勹 +乇 )=2±


继而得

J=√ Ld2/(8%)

已 1:=-‰ :+化

_£ ∥
8

(6分 )

13(15分 )
理想 气体 多方过程可表述为
`/″ (1)已 知 巧 和气体 的摩尔数

=刍

ll=民 (常 量 )或 Γ /’
;

(常 量 )

',求 炀

-2)已 知 多方指数 刀和 气体 的等体摩尔热容量 q刀 /,试 依据过程摩尔热容量定义式 %=畋 γ (%″ ),

3

导出该多方过程 的摩尔热容量 C沏 。


解 :(1)

=巧
`/″

`/=/RΓ (2)%=朔 /← 〃)=(`〃 +'%/刁 T)/('拶 )= 望竺+%/

ˉ 2〃 //ll=炀 /Γ → (刀 -l)〃 Γ =-幻 歹 /尸




=训

(`/=/RΓ )=◇ (″ -1)钅 竿 =-/Rc/r/(、 /) =-iT∫ Γ



? →Γ /刀 =巧 /(vR) → =饩 /('`) 乌

(5分

L

)





竿

=-乌 J「 /r⒉ =-饩 吲

/R7记

)


`歹

/=-yRt石 o/(/F-l)
(10分
一1 刀
)

C1=(1⒈

另角 军 ″l=r, 「 Γ
:



y″ 丬

+(刀 一1)/″

2r〃

/辶 0

tf/
'「



1 1冫 '

l 'R
-1 刀 P
`

-1Γ 刀




O登 冫 、

C″ =L珏 /+箬

=c沏

,J-1

14(15分

)

l平 面上有场强为 E平 行于 x轴 方 向的匀强 电场 ,还 如 图所示 ,在 @-△ˉ 有垂直于 O-v平 面朝里 的磁场 ,磁 感应强度 B的 值仅随 x变 化。 在 丙=曰 、

`纠

y=夕 处 ,质 量为 〃 、 电量 g>0的 质点 P具 有速度 凡 ,使 得 P的 而后运动
轨道恰好是在 r,-v平 面上 以 r,为 圆心 的圆周 。已知 P在 运动过 程 中速度 达最小值 (不 为零 )时 ,所 受磁场力为零 。(过 程 中不考虑重力的影响 。 )

(1)试 求速度 凡的方向和大小

;

(2)将 圆半径记为 R,试 在 R≥ 豸 >-R范 围内确定 B随 丌 变化的函数。 解 :(1)P的 初始位置到 @的 距 离 即为圆半径 ,故 有

R=沥 夕
磁 场 力不作 功 ,电 场 力作 功 ,P的 动 能最 小 (即 速 度 最 小 )位 置 必 是 在题解 图 1中 艿=-R、

y=0

处 。 P在 该位 置 处 不 受磁 场 力 ,表 明


题解 图 1

刀 (豸 =-R)=0
P作 圆周运动所 需 向心力 即为 电场力 ,可 得

=gE→ 噶 in=gⅡ 笺 抨
P在 初始 豸=曰
:〃
故有 吕 卩 得

2

/阴

,R=顶 σ

、 y=夕 处时的动能为
7v:=:P99v廴

σ n+gE(R+曰 ), R=√ Ξ
^+1)t?
I

+ v:=v鼠 Ⅱ

2gE(v饣

=σ E(3而 +2)夕

/,99

姒ν 冖
o岍



解 图 1所 示 的切线方 向

gE(3顶

,负

+2)舀



(7分

? ? 咽

)(

、 正 襁 带 %

引勖

题 考 参

里 旦 参 入

则自

2

题解 图 2


{」

吻 ⑹ 咖

糯Ⅲ

象 同 不 与 ° 囗 万 艮





`

中c

15、

(20分 )
B、

用某种导电材料制成如图 1所 示的匀质正方形电阻薄平板,4个 微微朝外突出的 顶端记为 /、
C、

D。 将 爿、C两 端间的等效电阻记为 风 ,/、

D两 端间的等

效电阻记为 凡 。

(1)设 电流 r从 /端 流入,C端 流出,请 定性画出平板中电流线的分布,而 后

5

试导出凡 、 R2、 2凡 之间的大小排序关系 。

(2)如 图 2所 示 ,用 理想导线连接 B、 D端 ,试 求此时 Ⅱ、 C两 端间的等

,答 案用 凡 、 凡 表示 。 效电阻 R彳 卩
不焊接且不接触 ,构 成一个中空且露缝的〃 正方体″ ,试 求图中两个相对顶端 C、 间的等效电阻 凡沼 `,答 案用 Rl、 R2表 示 。 解 :(1)设 电流 r从 Ⅱ端流入 ,C端 流出,板 中电流的定性分布图如题解图

(3)如 图 3所 示 ,将 6块 这样的电阻薄平板通过顶端间的焊接 ,棱 边间均

Z

1所 示 。将 C端 电势记为 0,爿 端电势记为ε,则 有
风 =子

(1)

再将 B端 电势记为 σ:,贝 刂 必有

%<ε
若将 D点 电势记为 I/D,贝 刂 囚电流分布的对称性 必有
,

[/:

-%=C亻 叱冫

-%→

吼,=ε -%

B

叉因σ :>%,,与 上式联立,便 得
(0%)已 %=ε -L%=>2匚丿 :>ε =>¤ ∶ :>:ε
)

-% ε
题解 图 1

D

己 1>:ε

ˉ ε )%)÷ ε 即 佝 (2)
以题解图 1电 流分布为样本,构 建题解图 2中 的电流分布,此 分布便可给出题来中的R2为
(a)、

(b) 两种 电流分布 ,它 们叠加成题解 图

2中

(c)

=V:+已1)=争 ⑶ 凡
J一



(3)、

(1)式 ,得

%







ε



2

扭 1>:凡 >:f氏
2夕

代入

(2)式 ,可 得

f

%
B

~乙厂
:

即得 所 求 大 小 关 系 为

l)R2)RI
此 处

(4)
可 得

(7分 )

,还

r

-% ε
(b)
题解 图 2
(c)

D

Efp=:凡
ε ~2 〓

=:景
土风


5
2口

→ rr:

(2)设 电流 r从 题 图 2的 Ⅱ端流入 C端 流 出,电 流 的定性分布如题解 图 3中 (a)所 示 ,并 将 Ⅱ、B、
,

、D端 电 势分别记为 σ )、 %(rrJ1 ⒄ )、 %(‘ 丁 彳
C丿

L严

(曰 彳 )

(丿

1:(曰 )

(a)中 左侧 σ D(刀 )。 图
正 方 形 平 板 中 的 电流 分 布 ,Ul分 解为题解 图 3中

(b)和 (c)中 未画 出的 电流分布 的叠加 。(b)中
电流 和 电势 分 布 与 题 解 图 1完 全相 同 。(c)中 电 流 r从 D端 流 入 ,B端 流 出 ,参 照题解 图 1的 结构 ′ 应 为 ε -y玉 。
,

tj∶

D(曰 )

(b) 题解 图 3

可设 B端 电势 为 0,D端 电 势记为待 定 的 ε


,

C^端 电势记为 E/;,Ⅱ 端 电势便

(a)中


B、

D问 的理想导线使 B、
丿 ,(臼 ),

F,等 势 ,结 合叠加关联 ,掏

U:(〃 )=σ

厂 r:, r「 乙 :(曰 )=己 ∫ ,(曰 )=ε

-σ :+ε




ε
y喁

~得

⒃ ~凡⑾ 凡
)丶
fk与

⑿ 川 磁 叫湘 姒喻
,
, .. ..

∫ 丶 亠 ∫ 入 ⑻ ≡ 屮 №冖 凡 旒 ψ 细 ∵ 〓 班 ε毗 瑚

将 〓
r、



)
` _.

(

(

5 0`ε

c) >



衄 叨 争〓 有


由ˉ

的 成 形

联 关 构 同 有 应 间 之

%

即可 引入 两个 比例

ε

`

“ 里 旦 常 得 即
(

+

;%

R

0

%丁

将 应 刈
(a

ω
)

ε


(

'㈦



啷 码 ㈩

勹抖 Ⅳ 抖



(





ε





/





应 〃

求 所



ˉ

r^F

D、

t

/∫

υ 一 凡



(9) (6分




得 卩





ˉⅠ

' '故 Rˇ



_

其 中 几E将 等 分 给 从

,即 有 的凡 右
=几 右 ’ %正 =几 叫 几 ⊥ :+%右 最终从 Z端 流 出的总 电流也为 J。 如果让 电流 f从 Z端 反 向 流入 ,则
f:上

的 △正或 △止同构 ,故 必有
几正

结 合 (10)式 ,得


据 此 可 得题解 图

电流 J从 输 入端 C到 输 出端 Z形 成 的总 电压 为
Ef了

从上板面 B端 到 卩端的电压 [九:`(上 ),可 等效为从正板面 爿端到 CI端 的电压的负值,即 等效为从正板面 C端 到 /端 的电压 σ ,即 有 c切
[%:`(上 )=%切 (正 )→
(正 ) (12) 吼 =%:(正 )+吼 切
J⒎

题解 图 6中

端点的电势依据题解 图 1、
l~⒓

ˉ 「


3
(醐

2

?
4 ( 厶


c>溉 有 骊 ‰黼 〓 ?姗 ?纵 谛 蜘ˉ
一 一


)

k

R 耐 _3 ^ 2 c 正 流 端 流 鼬了 ,电 u .> η 有 .腼 2

" 己图
4,咖

据 蛹 獭


)



? 0

解 ⑽ 柳


Π ⑶ .

’ 一



均分 到 正 板面 、


+△


了 r

__

厂 彳 Ⅰ F+厂 D正

、 /B右 也将 大小不变地反流 ,它 们将与题解 图 4中 ?

=F彳 正

珏 cΒ D

有 应

丁 炽卩 流 电





D正

+fB正 =£C9正 =:J

B端 流 入 上 板 面 的 几 L和 流 入 右 板 面
题解 图 4





,


/C′

(10)

?

%f

=2几

:J’

厂 Z正

^亻

ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ

丿 :f

(11)

' a⒎

5所 示 的 电流 分布

=吼 r:(正 )+已l龆 (L)
题解图 5

(a)、

(b)、

(c)的 电流分布 ,可 叠加成 (d)所 示 的正板面 电流分布 。(a)、 2给 出,叠 加成 (d)中 相应点的电势 ((d)中 未标 出 ):

(b)、

(c)中 各

、 0





-rj1) 0

B
+

`廴
12

% 去
(a)

⊥∫
0、义 2

(c)

题解 图 6

8

弦 斋 砂 ψ艹 刊刊 油 即 刳⑶ 出
%
一 一 一
G f

1一
3 % %

%

3

中 其 入 代 求 所

,蜘

6

16(20分

)

阻尼振动 的微分方程为

攵 +2∥ i+@:x=0
(1)∥ =低 为临界阻尼,方 程通解为
=(C临 1+G临 凶 临
2′

)0 ∥

)c^肛

设 r=0时

,蝙

=xl临 0’
1、

茂 0都 带有正负号。 临 临 Ⅵ 临=vl临 0,其 中西
0′

(11)试 求 c临
(2)∥

c恤 。

(12)若 巩 =0位 置 。 0取 哪些值 ,使 振子都不能经有限时间降到 凶 临 0>0,试 通过分析 ,确 定Ⅱ 临 临
>rf,O为 过阻尼,方 程通解为

+气 2尸 '+彻 挽=‰ 1c('^√ '2砑 》
设 /=0时 ,丌过 =x过 0’ 女 过 过 =v过 0’ 其 中 艿
0′

2-谔



v讪 都带有 正 负号 。

(21)试 求C过

1、

C迎

°

(22)若 九 0>0,试 通过分析 ,确 定 ‰ 0取 哪 些值 ,使 振子都能经有 限时间降到 x过 =0位 置 。 (23)若 堍 0)0,试 问 v讪 取何值时 ,可 使 C过 1=0?

g

(3)若 临界阻尼振动取 (1,2)问 所得 凶 0,过 阻尼振动取 (2,3)问 所得 兔 0和 ‰ 0,且 兔 0>豸 临 0和 丬 0’ 临 临 试 问临 界阻尼振动与过 阻尼振动 中哪 一个可使振子更快地趋 向零点 ? 解
:

(1)由 r=o时 的初始条件 ,可 得
G临 1=x|愉 0,

C临 2-'C临

1=vl临

0

(1,1)由 上述两式 ,可 解得
C临 l=男 丨 临0, C淝

='凶

临0+丬 御

(3分 )

(1.2)在 凡 0)0前 提下 ,振 子在有限时间内不能降到 凶 =0位 置 的条件是 临 临

鳊 +q耐 屯 )0
即得所求为 ^'x临 0 γ 0≥ 临 (2分 )

(2)由

r〓

o时 的初始条件 ,可 得

2-谓 扣 )‰ 2=v过 2-弼 (气 -/廴 ‰ → 1+气 2)+扣
(21)由 上述两式 ,可 解得
'∫ 1

0

ˉ C过 2)=v过 0

-f:菪

(22)过 阻尼通解可表述为
=Ξ I过 0g 犭 过
α =v过 0/豸 过 0
l

坐 争 ÷ 钅 章
}

等号右边第 一 项整体取 正 ,且 单调递减 ,但 不会达到零值 。r 〓0时 ,方 括号 内的算式其值为正 ,而 后 其 中左侧项整体绝对值 随 t增 大 ,右 侧项则为常量 。如 果在某个 对应 九
/

1一

ˉ

(3分 )



ˉ ˉ ˉ

2

\

(2分 )

)0有 限时刻 ,方 括号算式其值为零 ,则

=0,振 子 降到该位覃 。
:

分两种情况分析

∥+α
Iv过 0≥

r)0时 ,恒 有

丬 ⑴ 硼 若 螽 垭 丬 艹 栲 篱 '2-谓
+1}召
2√

0’



为 正 ,栲

+1为


{插


'2-亿
`

O Ⅱ

艹 ⑴ 设栲

‰ 为 D,则 栲




0

-浼 屠

>-(∥ +√ → α

)→

2-谓 0)<∥ +√ ∥ 过 ‰
)下

'2-谓
又囚





2-rt,寻

+1

>栲 ∴
工1为 正或为 负

无论 T管是鸶丁

/>0时 ,仍 然恒有

(b)
=〉 α

d/¨ 狄 ‰ 则 为 负 设 螽 栲


-浼亻

(-(∥ +√

2一 -谓 》 → 》 ∥ 谓 0<-l∥ +√ 〃 过 吣
0

仍囚

心 栲 栲 ∴
r)o,使 得


故两者均为负值 ,且 左边 的绝对值小 ,右 边 的绝对值大 。 故必定存在有 限的某个

-{栲


{栲



ˉ r边 负值 的绝对值增大到等于右边 负值 的绝对值 综上所述 ,v过 0取 值范 围为

0<-¢ +√ ∥ ‰

2-谓
)灭


0

(5分 )

时 ,振 子都 能经过有 限时间降到 堍

=0位 置 。

(2,3)为 使 c过
v过

‰ o取 值为 I=0’ 要求

0<<'+V7F-谓 )仙


此 时 必 有

2=。YJtO)0

(3) 此 日 寸

11



=c迪 尸 肛雨

7瓦T冫

厂氵 =← 过 俨 '^尿

ψ 》

据 (1,2)题 文和 (1,2)问 解答 以及 (1,1)解 答 ,己 有
凶临O)0’

C临 I=艿 临0>0
η临0)^'西 临0即 ∥ 巩 临0+η 临O)0

C临 2=∥ 均 缶 0+‘ 临o,

→ 据

C伍 2≥ 0

(23)题 文 ,还 有

x过 0>x临

0>0

>圮 时有 则必存在某个 幻时刻 ,使 得 扌

Gm>V护

砺 → c扣 砀
一 谓

>亡

i=i菁 ÷ 带
? f险

且 →∥ )莎 0=h三 鱼 /
i0

进 而 ,F)气 时 必 有
G临 l+G临 2/)C临 I>艿 过 0eˉ

2讶 扣

`

(5分 )

夕 考虑到前式中的 厂 为公共 的衰减 因子 ,故 过 阻尼振动可使振子能更快地趋 向零位置 。

17(20分

)

如 图 1所 示 ,在 光滑 的水平面上 ,平 放着 一个质量为 Ⅳ =/昭 、半 径为 R的 均匀圆环 ,它 的直径两端分别连接 长度 同为 轻细绳 ,绳 的另 `的 一 端分别连接 质量 同为 啊 的小物块 。开始 时细绳 伸 直 ,环 和物块静止 。 某时刻令两小物块在垂直绳 的水平方 向上分别获得方 向相反 、大小 同为

%

Ⅳ即

%的 初速度 。假设最终细绳 能全部缠绕在环上 ,两 个小物块贴在环边与 环 一起转动 ,且 过程 中不发生小物块与圆环 的碰撞 。
(1)考 虑到过程 中绳 的作用可能不损耗机械能 ,也 可能损耗机械能
/99
,

试求 /的 取值范 围 。

(2)假 设系统从初态到末态 的过程可分
为两个 阶段 ,第 一 阶段如图 2所 示 ,图 中 彐为

圆 环 转 角 ,〃 为 环 边 转 动 速 度

,¢

(9σ Σ¢≥0)角 为细绳相对圆环转角 ,√ 为

物块相对圆环速度。据 (1)问 ,取 绳不损耗 机械能对应的 /值 ,试 导出两个可求解 〃、√
,,9

的方程组(不 必求解 ),方 程组中不含参量 〃 、

图3

r/l和 汐。

(3)设

案用%表 示 。 和 =9σ 代入 (2)问 所得方程组 ,求 解钌 ¢ `,答 `=R,将 (3) (4)第 一阶段结束于图 2中 的¢ 达 9σ ,而 后进入过程的第二阶段,即 绳连续地缠绕在环上 。继

(环 边转动速度 )、 √ (物 块相 问所设;参 考图 3所 示的过程态参量 :x(尚 未缠绕在环上的绳段长度 )、 〃 (答 案用 R、 %表 示 )。 对圆环速度 )。 试求第二阶段所经时间Γ 。由 解:(1)因 对称,环 心 @为 不动点,地 面系中取 @所 在位置为参考点,系 统角动量守恒 R)〃 V0 R(M十 2〃 )@R=2(′ 十

得末态 圆环转动角 速度

@=

2(′
(Ⅰ

十 R)″ +2阴 )R2 犭
7V。

系统末态动能 小于或等于初 态动 能 ,即 有


:(i/+299T)(rt,R)2兰

:rPfv:

(



各 ⒊ :0v+2I9T)R2[f钅 :∶斋 券 12=
=◇ 2(′

兰 v: 卿
1

+R)2z9z/[(凡 f+2〃 )R2]兰 ≥华 ,9l J



/=竺

(5分 )

(2)将 图 2中 右上方 的 “、′
面系的速度 ^=^′

矢量化为 历。右上方小物块相对地 芝

+历

× ×+Γ ), 品 厌 =氵
(灵

J → 币=7+厉 +历 ×



^分

有 解 成 与 厉平 行及 垂直 的分 量 η 、 h,贝 刂

η=v′ cos¢ +〃 +d cOs¢
冈 叨=rr,R→ 刎 叨 =— `

,h=/Sin¢

+fDJ Sin¢

R





ˉ

+⊥




.也

R

+(cos

吒 贿

将 可 小 个 每

`丨

`一

环〃

1j)



ˉ ˉ 丿

+



R

'



~

右 号 等

2

`丿


一 ″
l∫





但 得

△— — 〃
IL ll'

`—

`一

+
¢ /ft, |+7叼 Mi)万 , 君=J”

R

’ 蹴代 取





o
c
/∫

+
ν
Γ
lIllL

ˉ l\

丨 η — l lL 勿
`J

+

丬/

^=厌 ×阴-+F^× 阴9=(R叨

o C
`_R

+
/丨

+
以〃

ˉ ι

`

o
G
ν 「l

∫ 丶 〓

彻 ?

lL 丨

(厌 +「







懈 ⑷燃

铩勤



的 边

1扌



两式联 立 ,消 去 〃,得
+α v⒓ v′ v′ (2%⒎ 彡 )√ )2+2∥ (2%ˉ 乃 闸 2=α →钿 v泛 +α
=‘



→dl,:一 〃
解得

v′



=〃 v:
’ 口 dε
-涩钅=R'夕 ′

′ =素 %
/

取圆环参考系 ,参 考题解 图 ,有



T=v=石 %
沙 =h滂 =R翌 r// 2

∥ J′

`

V



=X—
.∶





`I汐 dl?

X

~丝1~%爪 2⑶
-d△ˉ =RJ卩

题解 图

。拷=~旦 浊

%

→ f钴 =-寺 J浊
得 Γ =2R/%

(7分

)

(注 意 :d彐

7钴 并非 圆环相对 地面系旋转角速度 @。

)

附录 :填 空题答案导出过程简述 (参 考 )

1地 球 白转角速度 @=2〃 r,同 步 卫星轨道 半径 R+满 足方程
〃 @2R牛

=GⅣ
+=[b。

c阴 /R冖

,C″
1

〃 =gR2

导 彳
v礻

2/(4刀 2R)]]R 丑 Γ

第 一 宇 宙速 度 ⒒ =V页

,同 步 卫 星速 度

=@丿

J=竽 [gΓ 2/(4万 2R)]:R
l

彳 导
v〃

v屮

/巧

=[4万

2k丨



2g)]云

2,小 滑块到达最低点时相对桌面速度 记为 v″

,瓷 碗相对桌面反 向速度记为 ‰

,贝 刂 有

→ 阴=珈″ =眚 ‰ ‰ 象
:昭


v;+:A加 钅 =P,9gR

o「 /9gR=:阴 v品

=歹 I9Jv勿

1 2i/+″ 丿 v
,则 有

`丶

/IIl`

1_2

_M 昭

M

ˉ ˉ ˉ 丿

+

ν 〃

'

2埯 R/(Ⅳ +阴 )
,

小滑块 到达最低 点时 ,瓷 碗参考系为瞬时惯性系

此时滑块对碗底正压力大小若记为 Ⅳ
1JΓ

Ⅳ =咖
3.系

阴 叩







统质 心水平朝右速度和 /、

B绕 质 心旋转角速度大小分别 为

k`0=:v0, @〓

:vO/〔 :)=v0/`

r时 间着地 ,要 求 Ⅱ、 刀绕质 心转过 万 质心经 △ /2,有
△r=

2t;+/9丿 2(:+/9)/g

//g, @?
可解得

莎 =万 /2
)

、 诋 n=乃 =(/T2gJ-4、 l:)J/(:1琚
sc=:vOAr, s=sc~:=:%ζ

质心平抛射程和 B的 水平位移分别为
万 ′

得 ∶ ∶ 骨 ζ
:∶

:-:=:vo 2v0 2

s=〔

:/T-1)`/2

I;∝

/:瓦

〗 扒

:凡 tn=2吒 /吒

=2

(2`0、 由 民拟

2‰

态对应,飞 h由 (`0、 ‰)态 对应,故 】

‰狙=4%血
继而 可得 =1ˉ
{吾

〃 卡 唑

L=75V。

8 σ 3、

8c、

彐 c捧 中电 荷必 有相同的 对称分布,各 自 对/点 电 势贡献相同,记 为叱 。Dc棒 对£点电

必为叱 ,而 rJD、 σ c棒 对B点 电 势贡献也 势贡献相同,记 为叱 。 于是有 3%〓 V彳 ,矶 +叱 =V:
解得

厂 乙 l=:已 1, 已 2=:σ:-:乙
B两 点 电势便 分 别为 =:乙1,

:彳

将 汕 棒 取 走后 ,/、 乙 %=2叱
9,题 图

「 严 乙 奋=矶 +已 2=:乙 :'+:乙 严 :

1对 应 的 ? x,可 按 公 式直接 写 出其值 为 望:龙 。


题图

2对 应 的 @处 附近相邻两条亮条纹间距 △ 豸的求解 ,可

参考题解 图进行 。 图中 G平 面可记 为 原始杨 氏双缝干涉 中的平 行屏幕 ,其 上 庀=1级 亮纹恰好是题 图 2屏 幕上 的 虍=l级 亮纹 ,则 有

】 S

/,F/=斋 龙 硝 =顶 Δ
因 D》 曰,得

D≈
1o,

加=鱼 冗 画→
rT

/=屁
Er〓

v=肋 〃 九 ,0九 ,=肋 c/爿 =296刀 阴
FP【

/-/=∶LE-/, 乙 几 =争

=2? 0/

⊥ 了


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