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2-3-2 抛物线的简单几何性质

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x2 y2 1.双曲线m - n =1(mn≠0)离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y2 =4x 的焦点重合,则 mn 的值为( 3 A.16 16 C. 3 [答案] A ) 3 B.8 8 D.3 [解析] ? ? 由条件知? ? ? m+n =2 m m+n=1 , 1 ? m = ? 4 解得? 3 ? n = ? 4 3 .∴mn=16,故选 A. x2

2 2. 设抛物线的顶点在原点, 其焦点为双曲线 3 -y =1 的右顶点, 则当点( 3,y)在抛物线上时,y 的值是( A. 6 C.± 6 [答案] D x2 2 [解析] 由双曲线 3 -y =1 得抛物线的焦点为( 3,0),则抛物 线方程为 y2=4 3x,所以当 x= 3时,y=± 2 3. 3.若抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,其通径的两端与顶 点的连线组成的三角形的面积为 4,则此抛物线的方程为( ) ) B.-2 3 D.± 2 3 A.y2=8 2x C.y2=± 4x [答案] B B.y2=± 4 2x D.y2=± 8 2x 1 p [解析] 由题意 S=2×2p×2=4, ∴p2=8,p=2 2. 又∵抛物线的焦点在 x 轴上, ∴y2=± 4 2 x. 4.(2012~2013 学年度福建东山二中高二期末测试)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 A(m,4)到其焦点的距离为 5,求 p 与 m 的值. p p [解析] 抛物线的准线方程为 y=-2,由抛物线的定义得,4+2 =5,∴p=2. ∴抛物线方程为 x2=4y. 将点 A(m,4)代入抛物线方程得 m=± 4. ∴p=2,m=± 4. 5. 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, 经过点 F 的直线交抛物线 于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O. [证明] 如图, p? ? 设直线方程为 y=k?x-2?, ? ? ? p ? A(x1,y1),B(x2,y2),C?-2,y2?, ? ? p? ?y=k? ?x- ? 2? ? 由? ?y2=2px 2py 消去 x 得,y2- k -p2=0, y1 y2 y1 y2 2 p ∴y1y2=-p2,kOA=x ,kOC= p= p = y , 1 1 -2 -2y1 y1 2 又∵y1 =2px1,∴kOC=x =kOA,即 AC 经过原点 O. 1 当 k 不存在时,AB⊥x 轴,同理可得 kOA=kOC.

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