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高二 期末复习-直线与圆答案(完全版)

时间:2014-02-18


南京一中高二复习 1------直线与圆综合题
一.填空题

1. 已知直线 y= 3-x 与圆 x2+y2=2 相交于 A、 B 两点, P 是优弧 AB 上任意一点, 则∠APB=________ 6 π 解析:弦心距长为 ,半径为 2,所以弦 AB 所对的圆心角为 ,又因为同弦所对的圆周角是 2 3 π π 圆心角的一半,所以∠APB= .答案

: 6 6 2 2 2. 由 直 线 y = x + 1 上 的 点 向 圆 C : (x - 3) + (y + 2) = 1 引 切 线 , 则 切 线 长 的 最 小 值 为 _______________ 2 2 2 【解析】选 A.设 M 为直线 y=x+1 上任意一点,过点 M 的切线长为 l,则 l= |MC| -r ,当|MC| 最小时,l 最小,此时 MC 与直线 y=x+1 垂直,即|MC|min=(
2

3+2+1 2 ) =18,故 l 的最小值为 17. 2

3.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,且位于 x 轴上方.若 点 P 到坐标原点 O 的距离为 4 2,则过 F、O、P 三点的圆的方程是
2 2



4.过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的长为 ________. 解析:∵圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5,可知圆心为(3,4),半径为 5.如图可知,|CO|=5, 2 5× 5 PC 1 ∴OP= 25-5=2 5.∴tan∠POC= = .在 Rt△POC 中,OC· PM=OP· PC,∴PM= = OP 2 5 2.∴PQ=2PM=4.答案:4 5. 过点 A(2,4)向圆 x2+y2=4 所引切线的方程为___________________________.

解析 显然 x=2 为所求切线之一.另设直线方程为 y-4=k( x-2),即 kx-y+4 -2k=0,那么 |4-2k| 3 =2,k=4,即 3x-4y+10=0. 2 k +1

答案 x=2 或 3x-4y+10=0
6. 直线 3x + y - 2 3 = 0 与圆 O : x + y = 4 交于 A 、 B 两点,则 OA ? OB =_________2
2 2

7. 已知点 P( x, y) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点, PA, PB 是圆 C : x ? y ? 2 y ? 0 的两
2 2

条切线, A, B 为切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为____________________ 【解析】因为四边形 PACB 的最小面积是 2 ,此时切线长为 2 ,圆心到直线的距离为 5 ,

d?

5 1? k 2

? 5, k ? 2

8. 若直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 2 有两个公共点,则 b 的取值范围是_____________________

(? 2 ,?1]
9. 如果圆 C:(x-a) +(y-a) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1, 则正数 a 的取值范围_____________. 2 2 【解析】到原点的距离等于 1 的点在单位圆 O:x +y =1 上.当圆 C 与圆 O 有两个公共点时, 符合题意,故应满足 2-1<|OC|<2+1,所以 1< a +a <3,即 2 3 2 <a< 为所求 a 的范围 2 2
1
2 2 2 2

2 3 2 <|a|< , 2 2

所以

10.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 【答案】 .

4 。 3
2 2

11.已知圆 O: x ? y ? 9 ,过圆外一点 P 作圆的切线 PA,PB(A,B 为切点) ,当点 P 在直线

2 x ? y ? 10 ? 0 上运动时,则四边形 PAOB 的面积的最小值为
?? 12.在△ABC 中,已知 BC=2, AB · AC =1,则△ABC 面积的最大值是

. . (轨迹问题) ......

? ?3x-4y+3≥0, 13.已知集合 P={(x,y)|?4x+3y-6≤0,},Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2,r>0}.若“点 M∈ ?y≥0 ?
P”是“点 M∈Q”的必要不充分条件,则当 r 最大时,a+b 的值是 .

14 .在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A (0 , 2) ,直线 l : x + y - 4 = 0 .点 B ( x , y ) 是圆 C:x2+y2-2x-1=0 上的动点,AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为 D,E,则线段 DE 长的最大值是 ▲ .

二.解答题 15. 求经过点 A(-2,-4) ,且与直线 l:x+3y-26=0 相切于(8,6)的圆的方程. 2 2 解:设圆为 x +y +Dx+Ey+F=0,依题意有方程组 3D-E=-36, 2D+4E-F=20, 8D+6E+F=-100. D=-11, ∴ E=3, F=-30. ∴圆的方程为 x2+y2-11x+3y-30=0. 2 2 16.已知圆 M 的方程为 x +(y-2) =1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上,过点 P 作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B.(1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标;(2)若 P 点的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 2时,求直线 CD 的方程;(3)求证:经过 A,P,M 三点的 圆必过定点,并求出所有定点的坐标. 解:(1)设 P(2m,m),由题可知 MP=2, 4 2 2 所以(2m) +(m-2) =4,解之得 m=0 或 m= . 5 8 4 故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P( , ). 5 5 (2)由题意易知 k 存在, 设直线 CD 的方程为 y-1=k(x-2), 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 所以 2 , 2

2 |-2k-1| 1 = ,解得,k=-1 或 k=- , 2 2 7 1+ k
2

故所求直线 CD 的方程为 x+y-3=0 或 x+7y-9=0. (3)证明:设 P(2m,m),MP 的中点 Q(m, +1), 2 因为 PA 是圆 M 的切线, 所以经过 A,P,M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为(x-m) +(y- -1) =m +( -1) . 2 2 化简得:x +y -2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于 m 的恒等式, 4 ? ?x=5, 或? 2 ? ?y=5.
2 2 2

m

m

2

2

m

2

? ?x +y -2y=0, 故? ?2x+y-2=0, ?

2

2

? ?x=0 解得? ?y=2 ?

4 2 所以经过 A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或( , ). 5 5

17.在直角坐标系 xOy 中,中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点(2 2,1)到两焦点的 距离之和为 4 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 与椭圆 C 分别交 → → 于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴下方,且 AF =3 FB .求过 O,A,B 三点的圆的方程. x2 y2 (1) 解:由题意,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0), a b 则 2a=4 3,a=2 3.(2 分) x2 y2 因为点(2 2,1)在椭圆 2+ 2=1 上, a b 8 1 所以 + 2=1,解得 b= 3, 12 b x2 y2 故所求椭圆方程为 + =1.(5 分) 12 3 (2) 证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0). 点 F 的坐标为 F(3,0). ?3-x1=3?x2-3?, ? → → 由AF=3FB,得? ?-y1=3y2, ?
? ?x1=-3x2+12, 即? ①(7 分) ?y1=-3y2, ? 又 A、B 在椭圆 C 上,

所以

? ?x y ?12+ 3 =1,
2 2 2 2

?-3x2+12?2 ?-3y2?2 + =1, 12 3

3

?x = 3 , 解得? 2 ?y = 3 .
2 2

10

10 2 所以 B( , ),代入①得 A 点坐标为(2,- 2).(12 分) 3 3 → → 因为OA· AB=0,所以 OA⊥AB. 所以过 O、A、B 三点的圆就是以 OB 为直径的圆, 10 2 其方程为 x2+y2- x- y=0.(16 分) 3 3 18.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a). (1) 若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程. (2) 若 a= 2,过点 M 的圆的两条弦 AC、BD 互相垂直,求 AC+BD 的最大值. 解:(1) 由条件知点 M 在圆 O 上,所以 1+a2=4,则 a=± 3.(2 分) 3 当 a= 3时,点 M 为(1, 3),kOM= 3,k 切线=- , 3 3 此时切线方程为 y- 3=- (x-1),(4 分) 3 即 x+ 3y-4=0. 3 当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切线= , 3 3 此时切线方程为 y+ 3= (x-1),(6 分) 3 即 x- 3y-4=0. 所以所求的切线方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0.(7 分) (2) 解法 1:设 O 到直线 AC、BD 的距离分别为 d1、d2(d1、d2≥0), 2 2 则 d2 1+d2=OM =3.(9 分) 2 于是 AC=2 4-d2 1,BD=2 4-d2. 2 所以 AC+BD=2 4-d2 1+2 4-d2.(11 分) 2 2 2 则(AC+BD)2=4(4-d2 1+4-d2+2 4-d1 4-d2) 2 2 2 2 2 =4(5+2 16-4?d2 1+d2?+d1d2)=4(5+2 4+d1d2). 9 6 2 2 2 因为 2d1d2≤d2 时取等号, 1+d2=3,所以 d1d2≤ ,当且仅当 d1=d2= 4 2 5 2 所以 4+d2 1d2≤ . 2 5 所以(AC+BD)2≤4×(5+2× )=40,所以 AC+BD≤2 10, 2 即 AC+BD 的最大值为 2 10.(16 分) 2 2 2 2 2 (另解 2 4-d2 1 4-d2≤(4-d1)+(4-d2)=8-(d1+d2)=8-3=5, 6 当且仅当 d1=d2= 时取等号. 2
2 2 2 所以(AC+BD)2=4(4-d2 1+4-d2+2 4-d1 4-d2)≤4(5+5)=40, 所以 AC+BD≤2 10,即 AC+BD 的最大值为 2 10. 解法 2:当 AC、BD 有一条经过点 O 时,AC、BD 有一条为 4,另一条为 2,AC+BD=6.(9 分) 当 AC、BD 均不过点 O 时,O 在 AC、BD 的射影与 O 及 M 构成一矩形. 所以可设 d1= 3sinβ,d2= 3cosβ,则 AC= 4-3sin2β,BD= 4-3cos2β, 所以 AC+BD= 4-3sin2β+ 4-3cos2β.(11 分) 以下参照解法 1. 解法 3:当 AC 的斜率为 0 或不存在时,可求得 AC+BD=2( 2+ 3).(8 分)

4

当 AC 斜率存在且不为 0 时, 1 设直线 AC 的方程为 y- 2=k(x-1),直线 BD 的方程为 y- 2=- (x-1). k 根据弦长公式 l=2 r2-d2,可得 AC=2 BD=2 3k2+2 2k+2 , k2+1

2k2-2 2k+3 .(12 分) k2+1 3k2+2 2k+2 2k2-2 2k+3 因为 AC2+BD2=4( + )=20, k2+1 k2+1 所以(AC+BD)2=AC2+BD2+2AC×BD≤2(AC2+BD2)=40. 故 AC+BD≤2 10,即 AC+BD 的最大值为 2 10.(16 分) 19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(-4,0),B(4,0),动点 P 与 A,B 连线的斜率之积 1 为- . (1)求点 P 的轨迹方程; 4 (2) 设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C. 半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平分线 上,且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得的弦长为 3r. (i)求⊙M 的方程; (ii)当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程;如 果不存在,说明理由. 解:(1)设 P(x,y),则直线 PA、PB 的斜率分别为 k1= y y 、k = .(2 分) x+4 2 x-4

y y 1 x2 y2 由题意知 · =- ,即 + =1(x≠± 4). 4 16 4 x+4 x-4 x2 y2 所以动点 P 的轨迹方程是 + =1(x≠± 4).(4 分) 16 4 (说明:没有范围扣 1 分) (2)(ⅰ)由题意 C(0,-2),A(-4,0), 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3.(6 分) 设 M(a,2a+3)(a>0),则⊙M 的方程为(x-a)2+(y-2a-3)2=r2. 3r?2 圆心 M 到 y 轴的距离 d=a,由 r2=d2+? , ? 2 ? r 得 a= . 2 r ?2 2 2 所以⊙M 的方程为? ?x-2? +(y-r-3) =r .(10 分) (ⅱ)假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切. 当定直线的斜率不存在时,不合题意. 设直线 l:y=kx+b, ?k× r -r-3+b? ? 2 ? 则 =r 对任意 r>0 恒成立.(12 分) 2 1+k 2 ?k ? ? 由? ??2-1?r+?b-3??=r 1+k , k 2 2 2 ?2 2 得? ?2-1? r +(k-2)(b-3)r+(b-3) =(1+k )r .

5

? ? ? ??2-1? =1+k , 所以??k-2??b-3?=0, ? ??b-3? =0.
2 2 2

k

? ? ?k=-3, ?k=0, 解得? 或? ?b=3 ? ? ?b=3.
所以存在两条直线 y=3 和 4x+3y-9=0 与动圆 M 均相切.(16 分) (说明:少一条直线扣 1 分) x2 y2 1 20.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,若椭圆 a b 2 C 的焦距为 2. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设 M 为椭圆上任意一点,以 M 为圆心,MF1 为半径作圆 M.当圆 M 与椭圆的右准线 l 有公 共点时,求△MF1F2 面积的最大值. c 1 解:(1)因为 2c=2,且 = ,所以 c=1,a=2.(2 分) a 2 所以 b2=3.(4 分) x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1.(6 分) 4 3 x2 y2 0 0 (2)设点 M 的坐标为(x0,y0),则 + =1. 4 3 a2 因为 F1(-1,0), =4,所以直线 l 的方程为 x=4.(8 分) c 由于圆 M 与 l 有公共点,所以 M 到 l 的距离 4-x0 小于或等于圆的半径 R. 2 2 2 2 2 因为 R2=MF2 1=(x0+1) +y0,所以(4-x0) ≤(x0+1) +y,(10 分) 2 即 y0+10x0-15≥0. x2 3x2 0? 0 ? 1 - 又因为 y2 = 3 ,所以 3 - +10x0-15≥0.(12 分) 0 ? 4? 4 4 解得 ≤x0≤2.(14 分) 2 4 15 1 15 15 当 x0= 时,|y0|= ,所以(S△MF1F2)max= ×2× = .(16 分) 3 3 2 3 3

4

6


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