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【南京一轮复习】第1课 集合的概念与运算


第一章
【知识网络化】
概念 集合

集合与常用逻辑用语
集合与集合的包含关系(子集、真子集) 数轴、Venn 图 确定性、互异性和无序性

表示方法

集合的运算(交、并、补) 集合元素的性质

原命题:若 p 则 q 关系 命题 条件 简易逻辑
互否

/>
互逆 互为逆否 等价关系

逆命题:若 q 则 p
互否

否命题:若?p 则?q

互逆

逆命题:若?q 则?p

充分非必要条件、必要非充分条件、非 充分非必要条件和充要条件 或(p ? q) 简单的逻辑联结词 且(p ? q) 非(? p) 全称量词( ? )与存在量词( ? ) 一真则真 一假则假 原真则假,原假则假

【考点能级化】
内容 A 集合 集合及其表示 子集 交集、并集、补集 常用逻辑用语 命题的四种形式 必要条件,充分条件,充分必要条件 简单逻辑连接词 全称量词与存在量词 √ √ √ √ √ √ √ 要求 B C

说明:A 是了解,要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题; B 是理解,要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题;C 是掌握,要 求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

第1课
※考纲链接

集合的概念与运算

(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念; (2)了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相等关系的意义; (3)掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.

【课前自主探究】
※ 教材回归
1

◎基础重现: 1.集合的相关概念: (1)集合中元素具有的三个特征是: 描述法、 图示法. (2)集合可分为: ; 集合中常用数集符号有: 表示 N ;Z 表示 . . ;Q 表示 ; ;R 表 ;集合的表示法有:列举法、

N * 或 N ? 表示
示 (3)集合中的三种语言: 2.全集与子集

(1)全集:如果集合 U 含有我们所研究的各个集合的

,集合 U 就称为全集.

(2) 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 记作 ; 如果集合 A 的任何一个元素都是 B 的元素,且集合 B 的任何一个元素都是 A 的元素,则称 集合 A 等于集合 B,记作 A=B;如果 ,则称集合 A 是集合 B 的真子集. (3) 是任何集合的子集,是任何非空集合的 ,任何一个集合是它自 己的 . 3.集合的运算 (1)交集:由属于 A 又属于 B 的所有元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集,记作

A ? B ,符号语言表示为 A ? B =
符号语言表示为 A ? B =

.

(2)并集: 由属于 A、 的所有元素组成的集合, B 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作 A ? B , .

(3)补集:集合 A 是集合 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做 A 的补集(或余集) ,记作 ?S A ,符号语言表示为 ?S A ? 基础重现答案:1.(1)确定性、互异性和无序性. (2)有限集、无限集;自然数集;正整数集;整数集;有理数集;实数集. (3)文字语言、符号语言和图形语言. 2.(1)全部元素.(2)A ? B, A ? B且A ? B .(3)空集,真子集,子集. 3.(1) {x x ? A且x ? B} (2) {x x ? A或x ? B} (3) {x x ? S , 且x ? A} . ◎思维升华: 1.若集合 A 中有 2 个元素, A 的子集、 则 真子集、 非空真子集分别有多少个?若集合 A 中有 n 个元素呢? 2.集合运算 A ? B ? A ? , A? B ? A ? . .

3.从形的视角你能理解等式 CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)和 CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB) 吗? 思维升华答案:1. 4,3,2 个; 2 , 2 -1 , 2 -2 个. 2. A ? B,A ? B.3.画出韦恩图则可直观的获得.
n n n

※ 基础自测
2

1. 2010· ( 南京一模改编) 已知集合 M={x|-1<x≤9}, N={x|-8<x<8}, M∩N= 则 答案:{x|-1<x<8} 2.满足 M ? ?1,, ,且 M ??1, ? ?1, 的集合 M 的个数是 2 3? 2? 2? .



答案:2 3.(2009·浙江卷改编)设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ?? B ? U 答案: {x | 0 ? x ? 1} 解析: 对于 ? B ? x x ? 1 ,因此 A ?? B ? {x | 0 ? x ? 1} . U U



?

?

4.(2010·上海卷改编)已知集合 A ? ?x | x ? 8? , B ? ?x | x ? a? 且 A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是__________________ . 答案:a≤8 解析:由 A ? ?x | x ? 8? , B ? ?x | x ? a? 且 A ? B ? R ,借助数轴可得 a≤8. 5.(2010·江苏卷改编)已知集合 U={0,1,3,5,7,9},且 A∩ UB={1},B={3,5,7},则( UA) ∩( UB)= . 答案:{0,9}解析:因为 A ? B= ? 1,3,5,7? ,所以( UA)∩( UB)= U(A∪B)={0,9}.

【课堂师生共探】 ※ 经典例题探析 ○题型一 与子集有关的集合问题
例 1 已知集合 A ? {x | x 2 ? 4x ? 3 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2bx ? 3 ? 0}, 若B ? A , 求实数 b 的取值范围. 分析:集合 A 容易求得,而关系 B ? A 包含多种情形,其中 B ? ? 最容易忽视,其 他情形则容易考虑. 解:因为 A ? {x | x ? 4x ? 3 ? 0} ? {1,3},
2

当 B ? ?时,由?= 2 ? 12 ? 0,得 ? 4b

3 ?b ?
2

3;

当 B ? ?时 , 将x ? 1,x ? 3 分别代入方程 x ? 2bx ? 3 ? 0 均可得 b=2. 所以,实数 b 的取值范围为 ? 3 ? b ?

3或b ? 2.

点评: 因为空集是任何集合的子集, 所以集合问题中如果涉及到子集问题一定不要忽视 空集的特殊情形. 变式训练 1:已知集合 A= { -3,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m } .若 B ? A,则实
2

数 m=



答案:1 解析:由 m 2 ? 2m ?1 得 m ? 1 ,经检验, m ? 1 为所求. 变式训练 2:设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 .

答案:4 解析:集合 B 中必含有元素 3,此题转化为求集合 A ? {1, 2}子集的个数,有

3

22 ? 4 个.

○题型二

与元素的确定性、无序性和互异性有关的问题

例 2 已知集合 A ? {0, a,| b |}, B ? {b, ab,lg ab} ,若 A ? B ,求 a,b 的值. 分析:集合相等即集合中元素完全相同,由于集合中的元素具有无序性,所以须分别对 其讨论,但本题如果能够抓住关键的元素 0 进行分析可使问题简单化. 解:依题意有 ab ? 0,故a ? 0、b ? 0且A ? B .

?lg ab ? 0 ? 所以 ?a ? b ?| b |? ab ?

?lg ab ? 0 ? 或 ?| b |? b ,解得 a ? b ? 1或a ? b ? ?1 , ?a ? ab ?

若 a ? b ? 1, 则A ? {0,1,1}, B ? {1,1,0} 与元素具有互异性矛盾. 所以 a ? b ? ?1 . 点评:集合元素的确定性、无序性和互异性是集合的基本属性,特别是元素的互异性在 集合问题中常常用到且容易被忽视,应引起足够的重视. 变式训练:已知 A ? {a 2 , a ? 1,?3} B ? {a ? 3,3a ?1, a 2 ? 1 若A ? B ? {?3} ,求 a 的 }, 值. 解析:由题意可得 a ? 3 ? ?3或3a ? 1 ? ?3 解得 a ? 0或a ? ?

2 . 3

当a ? 0时,A ? {0,1, ?3},B ? {?3, ?1,1},A ? B ? {?3,1} ;
2 4 1 11 13 当a ? ? 时,A ? { , , ?3},B ? {? , ?3, },A ? B ? {?3} . 3 9 3 3 9 2 ?a ? ? 3 ○题型三 集合中的交、并、补运算
例 3 已知集合 U= ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,且 A ? ?CU B? ? ?1,8? , ? CU A? ? B ? ?2,6? ,

?CU A? ? ?CU B? ? ?4,7? ,求集合 A.
分析:对于比较复杂、抽象的集合运算,可借助直观的韦恩图分析各集合之间的关 系. 解:由 A ? ?CU B? ? ? ,8?, 可知 1,8 ? A,1,8 ? B ; 1 由 ?CU A? ? B ? ?2,6? 可知 2, 6 ? B, 2, 6 ? A ; , 由 ?CU A? ? ?CU B? ? ?4,7?, 知 4,7 ? A, 4,7 ? B ,

4

画出韦恩图,于是有 A= ? ,3,5,8? . 1 点评:数缺形时少直观,形缺数时难入微.数形结合思想能将抽象的文字、符号语言转 化为直观、形象的图形语言,能使复杂、抽象的集合问题简单化、具体化和直观化.
2 2 变式训练:设 A ? {x x ? 4 x ? 0} ,B= { x x ? ax ? 6a ? 0} ,若 A ? B ? A ,求 a 的

取值范围. 解析:由 A ? B ? A ,可知 A ? B ,而 A ? {0, ?4} ,令 f ( x) ? x2 ? ax ? 6a ,于是有

? f (0) ? ?6a ? 0 ,解得 a ? 8 ,所以 a ? 8 . ? ? f (?4) ? 16 ? 4a ? 6a ? 0
※高考新题零距离
1.(2010·广东高考题)在集合 ?a, b, c, d ? 上定义两种运算⊕和⊙如下:



a
a
b

b
b

c
c
b

d
d



a

b

c

d

a
b

a
b

a a a a

a
b

a c c a

a
d

b b
b

b b
d
.

c
d

c
d

c
b

c
d

c
d

a
d

那么 d ⊙ (a ⊕ c) ?

答案: a 解析:由上表可知: (a ○ c) ? c ,故 d ○ (a ○ c) ? d ○ c ? a . + * + * 2. ( 2010 · 四 川 高 考 题 ) 设 S 为 复 数 集 C 的 非 空 子 集 . 若 对 任 意 x , y? S , 都 有

x ? y,x ? y,xy ? S ,则称 S 为封闭集.下列命题:
① 集合 S={a+bi|( a,b 为整数, i 为虚数单位)}为封闭集; ② 若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 答案:①②解析:①正确,因为对任意 x, y ? S ,都有 x ? y,x ? y,xy ? S ;②正确,因为 当 S 为封闭集时,取 x=y,由 x-y∈S,可得 0∈S ;③错误,对于集合 S={0},显然满足 条件,但 S 是有限集;④错误,取 S={0},T={0,1},满足 S ? T ? C ,但由于 0-1=- 1?T,故 T 不是封闭集.

※典型错误警示
1.忽视空集导致错误,如例 1 的求解经常会忽视了空集的特殊情形.
5

2.忽视代表元素致误,如若 P ? { y | y ? 3x ? 1, x ? R}, Q ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1 ,求 }

P ? Q .常见错误是把两集合理解为直线与抛物线交点的坐标或交点的纵坐标,而得 {(?1,?2), (2,7)}的错误结论.事实上,P=R, Q ? ?? 2,??? ,所以答案为 ?? 2,??? .
3.忽视元素互异性致误,如例 2 求出的 a ? b ? 1 时, A ? {0,1,1}, B ? {1,1,0} 与元素互 异性相悖,容易忽视. ◎典型错题反思 反思是自觉地对数学认知活动进行分析、 总结、 评价和调控的过程, 是一种自我挑战、 自我完善和自我超越,是优化解法、深化思维的有效手段,是高效的学习方法、最佳的纠 错手段,是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误, 找出错因, 并从审题、 知识、 方法和策略的层面进行反思! 我的错题: 错因: 反思:

※学以致用 第 1 课时 [基础级]
1.设集合 A ? ?x x ? 2? , B ? ?x x ? 12? ,则 A ? B ? _______________. 答案: {x | 2 ? x ? 12} 2. (2009·辽宁卷文改编)已知集合 M=﹛x|-3<x ? 5﹜,N=﹛x|x<-5 或 x>5﹜,则 M ? N= .

集合的概念与运算

答案:﹛x|x<-5 或 x>-3﹜ 3. 2010· ( 上海高考题) 已知集合 A ? ?1,3, m? , ? ?3,4? , ? B ? ?1, 2,3, 4? 则 m ? B A 答案:2 解析:集合 B 中不含 2,而 A? B 中含有 2,所以 m ? 2. 4. ( 2010 · 南 师 附 中 模 拟 题 改 编 ) 已 知 A ? { 2 , 3 B ? }, 。

x2 { ?| a ? x x

b, 0} ?

A ? B ? {2}, A ? B ? A , a ? b =

.

答案: 解析: 0 由题意可知 B={2}, 即方程 x2+ax+b=0 有两个相等实根为 2 , a=-4, 得 b=4 , 所以 a+b=0. 5. (2010·南京二模改编)设集合 A={5, log2 (a ? 3) } ,集合 B={ a , b } .若 A ? B ={2} ,则 A ? B= .
6

答 案 : A ? B ? {1, 2,5}

解 析 : ? A ? B ? {2},?log2 (a ? 3) ? 2, 得a ? 1, b ? 2



? A ? B ? {1, 2,5} .
6. M={x|8≤x≤125,x∈R},N={x|x=4n +1, n∈N+},则 M∩N 中所有元素之和为 . 答案:2010 解析:M∩N={9,13,17,?,125}.根据数列知识,M∩N 中元素是以 9 为首项,4 30(9+125) 为公差的等差数列的前 30 项,其和为 =2010. 2 7.设 f(n)=2n+1(n∈N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记 P ={n∈N|f(n)
?

? ? ? ∈P}, Q ={n∈N|f(n)∈Q},则 P ? 痧Q ? Q ? N
?
?

?

?

? ?

N

? P =

?

? ? 答案:{0,3}解析:由题意可得 P ={0,1,2 }, Q ={1,2,3 },于是有 P ??N Q ={0},
? ? ? ? ? Q ??N P ={3},故 P ? 痧Q ? Q ? N

?

? ?

N

? P ={0,3}.

?

[升华级]
☆8.已知 a , b 均为实数,设数集 A ? ? x a ? x ? a ? ? , B ? ? x b ?

? ?

4? 5?

? ?

1 ? ? x ? b ? ,且 A、B 都 3 ?

是集合 x 0 ? x ? 1 的子集.如果把 n ? m 叫做集合 x m ? x ? n 的“长度” ,那么集合

?

?

?

?

A ? B 的“长度”的最小值是
答案:

.

4 1 2 解析:因为集合 A 的长度为 ,集合 B 的长度为 ,所以 A ? B 的“长度”的 5 3 15 4 1 2 最小值为 ? ? 1 ? . 5 3 15
9.已知集合 A ? x ax ? 2x ? 1 ? 0 .
2

?

?

?1? 若 A ? ? ,求 a ; ?2? 若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ?3? 若 A 中至少有一个元素,求 a 的值.
解析: (1)由A ? ? ,得 ?

?? =4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 . a?0 ?

?a ? 0 ? 1? (2) 当a ? 0 时, ? ?? ? 只有一个元素; a ? 0 时, ? 当 由 , 解得 a ? 1 , ? ??1? A A ? 2? ?? ? 0
只有一个元素;所以, a 的值为 0 或 1.

?3? 当A 有两个元素时,有 ?

?a ? 0 ?a ? 0 ,即 ? ,所以 a? ? ??,0? ? ? 0,1? ;又由(2) ?? ? 0 ?a ?1
7

得 A 中有一个元素时 a 的值为 0 或 1. 所以, A 中有至少一个元素时 a 的值为 ? ??,1? . 10.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 A∪B=A, 求 m 得取值范围. 解析:由 A∪B=A 可知 B ? A.当 B ? ? 时,有 m ? 1 ? 2m ? 1 ,解得 m ? 2 ;当 B ? ? 时,

? m ? 1 ? ?2 ? 有 ?2 m ? 1 ? 7 ,解得 2<m≤4 所以 m ? 4 . ?m ? 1 ? 2 m ? 1 ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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11.已知集合 A ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0} B ? {x 0 ? x ? m ? 9} (1)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 解析:? A ? {x ? 2 ? x ? 3} B ? {x m ? x ? m ? 9} (1)? A ? B ? B ? A ? B ,于是有 ? 所以, 实数 m 的取值范围 ?6 ? m ? ?2 . (2)? A ? B ? ? ? m ? 9 ? ?2或m ? 3,解得m ? ?11或m ? 3 . 所以,实数 m 的取值范围 m ? ?11或m ? 3 . 我的错题: 错因: 反思:

? m ? ?2 ?m ? ?2 . ,即? ?m ? 9 ? 3 ?m ? ?6

8


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