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数理方程与特殊函数试卷2008A

时间:2011-05-13


考生班级









一、(9 分)写出直角坐标系二维齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。 二、(10 分)描述一下用格林函数法求解具有第一类边界条件拉普拉斯方程的思路。 三、(11 分)写出一维波动方程的达朗贝尔公式、并指出其中各项的物理意义。 四、(19 分)求解定解问题
? 2 1 ? ? ?u ? 1 ? 2 u ?ρ ?+ ?? u = = 0, ρ < 1,0 ≤ θ ≤ 2π ? ρ ?ρ ? ?ρ ? ρ 2 ?θ 2 ? ? ?u (1, θ ) = f (θ ), 0 ≤ θ ≤ 2π ?

五、(18 分)求下面方程的特征函数,并求解定解问题
? ?u ? 2 u 0 < x < 1, t > 0 ? = 2 + sin t ? ?t ?x ? ?u (0, t ) ?u (1, t ) = = 0, t > 0 ? ?x ? ?x 0 ≤ x ≤1 ?u ( x,0) = 0, ? ?

注:1. 命题纸上一般不留答题位置,试题请用小四、宋体打印且不出框。 2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。 西北工业大学命题专用纸

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六、(16 分)求解定解问题 ? ?u ? 2u ? = a 2 2 , ? ∞ < x < +∞, t > 0 ? ?t ?x ?u ( x,0) = δ ( x), ? ∞ < x < +∞ ?
R ? ? (n) 七、(10 分)已知 ∫ rJ n ? m ? R 0 ?

? ? ? (n) r ?J n ? k ? ? R ? ?

0, m≠k ? ? ? r ?dr = ? R 2 2 (n) ? ? ? 2 J n ?1 ( ? m ), m = k ?

R ? ? (1) 求证 ∫ rJ 0 ? m ? R 0 ?

? ? ? (1) r ?J 0 ? k ? ? R ? ?

0, m≠k ? ? ? r ?dr = ? R 2 2 (1) ? ? ? 2 J 0 ( ? m ), m = k ?

八、(7 分)已知 n 次勒让德多项式 Pn (x) 满足 ∫ Pn2 ( x)dx =
?1

1

2 , 2n + 1

将定义在 [a, b] 区间的函数 f (x) 展成勒让德级数的形式。 拉普拉斯变换对: 1 ?
1 k p 1 , sin kt ? 2 , cos kt ? 2 , e at ? 2 2 p p?a p +k p +k f ′(t ) ? pF ( p ) ? f (0), f ′′(t ) ? p 2 F ( p ) ? pf (0) ? f ′(0)

傅立叶变换对: δ ( x) ? 1,

x2 ω 2σ 2 ) ? exp(? ), 2 2σ 2 2π σ sin αx ? jπ [δ (ω + α ) ? δ (ω ? α )], cos αx ? π [δ (ω + α ) + δ (ω ? α )] f ( x) ? F (ω ), f ( n ) ( x) ? ( jω ) n F (ω ) 1 exp(?

教务处印制

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