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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-7解三角形应用举例 新人教A版


4-7 解三角形应用举例
基础巩固强化 1.已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a,灯塔 A 在 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在 C 的南 偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a C. 2a [答案] B [解析] 由余弦定理可知,AB =a +a -2a·a·cos120°=3a ,得 AB= 3a,故选 B.
2 2 2 2

r />
) B. 3a D.2a

2. 为测量某塔 AB 的高度, 在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼顶 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是( A.20?1+ ) B.20?1+ D.30m

? ?

3? ?m 3?

? ?

3? ?m 2 ?

C.20(1+ 3)m [答案] A

[解析] 如图所示,四边形 CBMD 为正方形,而 CB=20m,所以 BM=20m. 又在 Rt△AMD 中,

1

DM=20m,∠ADM=30°,
20 ∴AM=DMtan30°= 3(m), 3 20 3? ? ∴AB=AM+MB= 3+20=20?1+ ?m. 3 3? ? 3.(2012·东北三校模拟)一船向正北航行,看见正西方向有相距 10n mile 的两个灯塔 恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南 60°西,另一灯塔在船 的南 75°西,则这艘船的速度是每小时( A.5n mile C.10n mile [答案] C [解析] 如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 ) B.5 3n mile D.10 3n mile

CD=CA=10,在 Rt△ABC 中,求得 AB=5,∴这艘船的速度是

5 =10(n mile/h). 0.5

4. 一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40n mile 的速度沿东偏南 50°方向直线航行, 30min 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观 察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2n mile C.20 2n mile [答案] A [解析] 如图,由条件可知△ABC 中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,∠ACB= 45°, )

B.10 3n mile D.20 3n mile

2

BC 20 由正弦定理得 = ,∴BC=10 2,故选 A. sin30° sin45°
5.(2012·厦门质检)如图所示,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端

C 对于山坡的斜度为 15°,向山顶前进 100m 到达 B 处,又测得 C 对于山坡的斜度为 45°,
若 CD=50m,山坡对于地平面的坡度为 θ ,则 cosθ =( )

A.

3 2

B.2- 3 D. 2 2

C. 3-1 [答案] C [解析] 在△ABC 中,由正弦定理可知,

AB·sin∠BAC 100sin15° BC= = =50( 6- 2), sin∠ACB sin? 45°-15°?
在△BCD 中,sin∠BDC= = 50?

BC·sin∠CBD CD

6- 2? ·sin45° = 3-1. 50

由题图知,cosθ =sin∠ADE=sin∠BDC= 3-1. 6.如图,海岸线上有相距 5n mile 的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海 上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75°方向,与 A 相距 3 2n mile 的 D 处;乙
3

船位于灯塔 B 的北偏西 60°方向, B 相距 5n mile 的 C 处, 与 则两艘轮船之间的距离为(

)

A.5n mile C. 13n mile [答案] C

B.2 3n mile D.3 2n mile

[解析] 连接 AC,∠ABC=60°,BC=AB=5,则 AC=5.在△ACD 中,AD=3 2,AC=5, ∠DAC=45°,由余弦定理得 CD= 13. 7.在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45°,再向塔底方向前进 100m,又测得塔 尖的仰角为 60°,则此电视塔高约为________m.( A.237 C.247 [答案] A [解析] )

B.227 D.257

如图,∠D=45°,∠ACB=60°,DC=100,∠DAC=15°, ∵AC=

DC·sin45°
sin15°



∴AB=AC·sin60°

4



100·sin45°·sin60° sin15° 100× 2 3 × 2 2



6- 2 4

≈237.∴选 A.

8.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方向, 行驶 4h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为 ________km. [答案] 30 2

[解析] 如图,依题意有 AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在三角形 AMB 60 BM 中,由正弦定理得 = , sin45° sin30° 解得 BM=30 2(km). 9.(文)如图,在日本地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到 达 B 处发现一个生命迹象,然后向右转 105°,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象,这 时它向右转 135°后继续前行回到出发点,那么 x=________.

[答案]

10 6 3

[解析] 由题知,∠CBA=75°,∠BCA=45°,∴∠BAC=180°-75°-45°=60°,

5



x 10 10 6 = ,∴x= . sin45° sin60° 3
(理)(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运

动,开始时刻物体位于 P 点,一分钟后,其位置在 Q 点,且∠POQ=90°,再过一分钟,该 物体位于 R 点,且∠QOR=30°,则 tan∠OPQ 的值为________. [答案] 3 2

[解析] 由于物体做匀速直线运动,根据题意,PQ=QR,不妨设其长度为 1.在 Rt△POQ 2 OP 中,OQ=sin∠OPQ,OP=cos∠OPQ,在△OPR 中,由正弦定理得 = ,在△ sin120° sin∠ORP

ORQ 中,

1 OQ OQ 3 = ,两式两边同时相除得 =tan∠OPQ= . sin30° sin∠ORQ OP 2

10.(文)(2011·广东江门市模拟)如图,一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680km 的空中 B 处, 为避开直飞途中的雷雨云层, 飞机在 A 处沿与原飞行方向成 θ 角的方向飞行, 5 在中途 C 处转向与原方向线成 45°角的方向直飞到达 B 处.已知 sinθ = . 13

(1)求 tanC; (2)求新的飞行路程比原路程多多少 km. (参考数据: 2=1.414, 3=1.732) 5 [解析] (1)因为 sinθ = ,θ 是锐角, 13 12 5 所以 cosθ = ,所以 tanθ = , 13 12 tanC=tan[π -(θ +45°)]=-tan(θ +45°) 5 +1 12 tanθ +tan45° 17 =- =- =- . 1-tanθ ·tan45° 5 7 1- ×1 12 (2)sinC=sin(θ +45°)= 17 2 , 26
6

由正弦定理

= = 得, sinC sin45° sinθ

AB

AC

BC

AC=

AB

sinC

×sin45°=520,BC=200 2,

新的飞行路程比原路程多

AC+BC-AB=520+200 2-680=122.8(km).
(理)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该 渔轮在方位角为 45°、距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向, 以 9 n mile/h 的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰 艇的航向和靠近渔轮所需的时间. [分析] 本题中所涉及的路程在不断变化, 但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等, 先设出 所用时间 t,找出等量关系,然后解三角形. [解析] 如图所示,根据题意可知 AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮所需的时 间为 t h,并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC=9t,在△ABC 中,根据余弦定理得 AB
2

1 2 2 2 2 2 2 2 =AC +BC -2AC·BC·cos120°,所以 21 t =10 +81t +2×10×9t× ,即 36t -9t-10 2 2 5 2 =0,解得 t= 或 t=- (舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h. 3 12 3

此时 AB=14,BC=6.在△ABC 中,根据正弦定理得 = , sin∠CAB sin120° 3 6× 2 3 3 所以 sin∠CAB= = , 14 14 即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去). 即舰艇航行的方位角为 45°+21.8°=66.8°. 2 所以舰艇以 66.8°的方位角航行,需 h 才能靠近渔轮. 3 能力拓展提升

BC

AB

x y → → 11.设 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 在双曲线上,若PF1·PF2=0, a b
7

2

2

→ → |PF1|·|PF2|=2ac(c 为半焦距),则双曲线的离心率为( A. 3-1 2 B. 3+1 2 5+1 2

)

C.2 [答案] D

D.

[解析] 由条件知,|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,根据双曲线定义得:4a =(|PF1|-|PF2|) =|PF1| +|PF2| -2|PF1|·|PF2|=|F1F2| -4ac=4c -4ac, ∴a +ac-c =0,∴1+e-e =0, ∵e>1,∴e= 5+1 . 2
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

C 1 → → → → → 12.如图,在△ABC 中,tan = ,AH·BC=0,AB·(CA+CB)=0,经过点 B 以 A、H 为 2 2
两焦点的双曲线的离心率为( )

A.

5+1 2

B. 5-1 D. 5-1 2

C. 5+1 [答案] A → → [解析] ∵AH·BC=0,∴AH⊥BC, 4 AH ∵tan = ,∴tanC= = = , 2 2 3 CH 2C 1-tan 2 → → → 又∵AB·(CA+CB)=0,∴CA=CB, ∴tanB=tan?

C 1

2tan 2

C

?180°-C?=cotC=2=AH, ? 2 2 BH ? ?

8

3 设 BH=x,则 AH=2x,∴CH= x,AB= 5x,由条件知双曲线中 2c=AH=2x,2a=AB- 2

BH=( 5-1)x,
∴e= =

c a

2 5-1



5+1 ,故选 A. 2

13.△ABC 的周长是 20,面积是 10 3,A=60°,则 BC 边的长等于________. [答案] 7

[解析]

?1bcsin60°=10 3, ② ? 由已知得?2 ?cos60°=b +2cbc-a , ③ ?
a+b+c=20,
2 2 2 2 2 2 2 2



由③得 b +c -a =bc,结合①知 (20-a) -2cb-a =bc④ 又由②得 bc=40,代入④得 a=7. 14.如图所示,海中小岛 A 周围 38n mile 内有暗礁,一轮船正向南航行,在 B 处测得小 岛 A 在船的南偏东 30°,航行 30n mile 后,在 C 处测得小岛在船的南偏东 45°.如果此船 不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?

[解析] 在△ABC 中,BC=30,

B=30°,∠ACB=135°,
∴∠BAC=15°. 由正弦定理知 = , sinA sinB 即 30 AC = . sin15° sin30°

BC

AC

9

AC=

30sin30° =60cos15°=60cos(45°-30°) sin15°

=60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15( 6+ 2)(n mile). 于是,A 到 BC 所在直线的距离为:

ACsin45°=15( 6+ 2)×

2 =15( 3+1)≈40.98(n mile). 2

它大于 38n mile,所以船继续向南航行,没有触礁的危险. 15. (2011·辽宁文, 17)△ABC 的三个内角 A、 、 所对的边分别为 a、 、 , sinAsinB B C b c a +bcos A= 2a. (1)求 ; (2)若 c =b + 3a ,求 B. [解析] = 2sinA. 故 sinB= 2sinA,所以 = 2. ? 1+ 3? a 2 2 2 (2)由余弦定理知 c =b + 3a ,得 cosB= . 2c 由(1)知 b =2a ,故 c =(2+ 3)a . 1 2 2 可得 cos B= ,又 cosB>0,故 cosB= ,所以 B=45°. 2 2 16.货轮在海上自 B 点以 40 km/h 的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的 水平角)为 140°的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°,航行 半小时后,船到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65°,问货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距 离.
2 2 2 2 2 2 2 2

b a

(1)由正弦定理得,sin AsinB+sinBcos A= 2sinA,即 sinB(sin A+cos A)

2

2

2

2

b a

10

[解析] 在△ABC 中,BC=40×0.5=20(km), ∠ABC=140°-110°=30°, ∠ACB=65°+(180°-140°)=105°, ∠BAC=45°, 根据正弦定理, = , sin∠ABC sin∠BAC

AC

BC

BC·sin∠ABC 20·sin30° AC= = =10 2, sin∠BAC sin45°
货轮到达 C 点时与灯塔的距离是 10 2km.

1. (2011·辽宁铁岭六校联考)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x)且在[- 3,-2]上是减函数,α 、β 是锐角三角形的两个内角,则 f(sinα )与 f(cosβ )的大小关 系是( )

A.f(sinα )>f(cosβ ) B.f(sinα )<f(cosβ ) C.f(sinα )=f(cosβ ) D.f(sinα )与 f(cosβ )的大小关系不确定 [答案] A [解析] ∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f(x),∴f(x)周期为 2, ∵f(x)在[-3,-2]上是减函数, ∴f(x)在[-1,0]上是减函数, ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,1]上是增函数, ∵α 、β 是锐角三角形内角,∴ π π π <α + β <π , ∴ >α > - β >0 , ∴ 2 2 2

?π ? 1>sinα >sin? -β ?=cosβ >0, ?2 ?
∴f(sinα )>f(cosβ ). 2.如图,为了解某海塔海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量.已 知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处 测得水深 CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为________.

11

[答案]

16 65

[解析] 作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF= MF2+DM2= 302+1702=10 298, DE= DN2+EN2= 502+1202=130, EF= ? BE-FC?
2

+BC = 90 +120 =150.

2

2

2

在△DEF 中,由余弦定理, cos∠DEF=
2

DE2+EF2-DF2 2DE×EF
2 2



130 +150 -10 ×298 16 = . 2×130×150 65 π → → ,且BA·BC=4 3,则△ABC 的面积是 3

3.(2011·广东肇庆模拟)在△ABC 中,B= ________. [答案] 6 π → → [解析] 由已知得BA·BC=accos =4 3, 3 所以 ac=8 3, 所以△ABC 的面积

12

S= acsinB= ×8 3×

1 2

1 2

3 =6. 2

4.(2011·温州五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知点 D → → 1 2 是 BC 边的中点,且AD·BC= (a - 3ac),则角 B=________. 2 [答案] 30° → → → → → → → → → [解析] ∵AD·BC=(BD-BA)·BC=BD·BC-BA·BC

a 1 2 = ·a-a·c·cosB= a -ac·cosB, 2 2
→ → 1 2 又AD·BC= (a - 3ac), 2 ∴cosB= 3 ,∴B=30°. 2

5.(2011·茂名期末)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状. π [解析] (1)∵c=2,C= , 3 ∴由余弦定理 c =a +b -2abcosC 得 a +b -ab=4. 1 又∵△ABC 的面积为 3,∴ absinC= 3,∴ab=4. 2
? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ? ?ab=4,
2 2 2 2 2 2 2

解得 a=2,b=2.

(2)由 sinC+sin(B-A)=sin2A, 得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA, 即 2sinBcosA=2sinAcosA, ∴cosA·(sinA-sinB)=0,∴cosA=0 或 sinA-sinB=0, 当 cosA=0 时,∵0<A<π , π ∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 sinA-sinB=0 时,得 sinB=sinA,由正弦定理得 a=b, 即△ABC 为等腰三角形. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 6.如图 A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)n mile 的两个观测点,现位于 A 点 北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与
13

B 点相距 20 3n mile 的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30n mile/h,该救援船
到达 D 点需要多长时间?

[解析]

由题意知 AB=5(3+ 3)n mile,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°= 45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△DAB 中,由正弦定理得,

DB

sin∠DAB ∴DB= = =



AB
sin∠ADB

AB·sin∠DAB 5? 3+ 3? ·sin45° = sin∠ADB sin105°

5? 3+ 3? ·sin45° sin45°·cos60°+sin60°·cos45° 5 3? 3+1? 3+1 2 =10 3(n mile).

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,

BC=20 3(n mile),
在△DBC 中,由余弦定理得,

CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC

14

1 =300+1200-2×10 3×20 3× =900, 2 30 ∴CD=30(n mile),则需要的时间 t= =1(h). 30 答:救援船到达 D 点需要 1h.

15


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