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福建省宁德市2014届高三5月质检理科数学试卷含答案


福建省宁德市 2014 届普通高中毕业班 5 月质检

数学(理科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框

)内 作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s=
1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

锥体体积公式

1 V= Sh 3
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题 p:“若 a ? 1 ,则 a 2 ? 1 ”的否命题是 A.若 a ? 1 ,则 a 2 ? 1 C.若 a ? 1 ,则 a 2 ? 1 A. (1, ?2) B.若 a ? 1 ,则 a 2 ? 1 D.若 a 2 ? 1 ,则 a ? 1

2.若向量 a ? (2, ?1) , b ? (0, 2) ,则以下向量中与 a +b 垂直的是 B. (1, 2) C. (2,1) D. (0, 2)
B,

3.已知复数 z ? a ? bi (i 为虚数单位 ) ,集合 A ? {?1,0,1, 2} , B ? {?2, ?1,1} .若 a, b ? A 则 z 等于 A.1 B. 2 C.2 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该几何体的体积为 D.4

1

1 2 2 正视图

A. C.

2 3

B.

4 3

2 侧视图

8 3

D.4

? ? ? 俯视图 5.若函数 f ( x) ? 2cos2 ? x 的最小正周期为 ? ,则 f ? ? ??? 的值等于

A.2 C .1

B. 1+ D.0

2 2

6.下列函数中,为偶函数且在 ? 0, ??? 内为增函数的是 A. f ( x) ? sin 2 x C. f ( x) ? x 2 +x
1 2

B. f ( x) ? x +
2

3 x2
开始 输入x

D. f ( x) ? x(ex ? e? x )

7.已知随机变量 X 服从正态分布,X 的取值落在区间
(?3, ?1) 内的概率和落在区间 (3,5) 内的概率是相等的,

a=2x b=2x+6 c=-2x+4 a<b?
是 否

那么随机变量 X 的数学期望为 A. ?2 B.0 C.1 D.2
? y ? 0, 8.设 P 是不等式组 ? ? x ? 2 y ? ?1, 表示的平面区域内的任意一 ?x ? y ? 3 ?
, , n=(2, 1) .若 OP ? ? m ? ? n ( ?,? ? R ) 点,向量 m =(11) ,

a=b


则 ? 的最大值为 A.3 B.

1 3

a<c? C.0 D. ?1
是 输出a 结束

a=c

9.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入的 x ? [0, 2) ,则输出的结果可能是 A. ?1 B.0 C.1.5 D.3 10.动曲线 ?1 的初始位置所对应的方程为:
2 2

x y ? 2 ? 1( x ? 0) ,一个焦点为 F1 (?c,0) ,曲线 2 a b

x2 y 2 ?2 : 2 ? 2 ? 1( x ? 0) 的一个焦点为 F2 (c,0) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,c ? a2 ? b2 .现 a b 将 ?1 沿 x 轴向右平行移动.给出以下三个命题:
① ?2 的两条渐近线与 ?1 的交点个数可能有 3 个; ②当 ?2 的两条渐近线与 ?1 的交点及 ?2 的顶点在同一直线上时,曲线 ?1 平移了

( 2 +1) a 个单位长度; ③当 F 1 与 F2 重合时,若 ?1 , ? 2 的公共弦长恰为两顶点距离的 4 倍,则 ?1 的离心率为
3.其中正确的是 A. ②③ B. ①②③ C. ①③
2

D.②

第 II 卷
6

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.在 ?1 ? x ? 的展开式中 x 的系数为
2

(用数字表示) .

12.一个总体由编号为 01,02,

,49,50 的 50 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5

个个体, 选取方法是从随机数表第 2 行的第 3 列的数 0 开始由左到右依次选取两个数字, 则选出来的第 5 个个体的编号为 78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 32 04 94 23 49 35 80 20 36 23 48 69 97 28 01
1) ,且 f ?( x) ? 2 x ,则 ? f ( x)dx 的值等于 13.定义在 R 上的函数 f ( x) 过点(0,
0 1





?1 , x ? 0, ? 14 . 已 知 函 数 g( x) ? ?0 , x ? 0, 若 函 数 f ( x) ? 2 x ? g(ln x) ? 1 ? x2 , 则 该 函 数 的 零 点 个 数 ??1, x ? 0. ?




( x ? 2 y)2 ? 1 ,则 x 2 ? ( y ? 1)2 的最小值为 x ? 2y

15.若实数 x, y 满足 1+ cos 2 ?x ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (背面还有试题) 16.(本小题满分 13 分) 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取 12 名 进行体质健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下: 成绩 5 6 7 8 9 2 5 2 6 0

8 6 8

6

7

7

8

根据学生体质健康标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行体质健 康测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅲ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列 及期望.
3

17.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab . (Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 为锐角三角形,且 c ? 1 ,求 3a ? b 的取值范围.

18.(本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB , OA ? OB ? 2OC =2 , AB ? 2 2 ,D 为

AB 的中点.
(Ⅰ)求证: AB ⊥平面 COD ; (Ⅱ)若动点 E 满足 CE ∥平面 AOB ,问:当

C

AE ? BE 时,平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面
角是否为定值?若是,求出该锐二面角的余弦值; 若不是,说明理由. A

O D

E B

19.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 上的任意一点到点 A? ?1,0? , B ?1,0? 的距离之和 为2 2 . (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C2 :x2 +

3y2 若斜率为 k 的直线 OM 交椭圆 C2 于点 M , 垂直于 OM 的 ? 1, 2 直线 ON 交曲线 C1 于点 N .
(i)求证: MN 的最小值为 2 ; (ii)问:是否存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的圆?若存在,求出圆的方程;若 不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? t ? 1 ,an?1 ? (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)试讨论函数 f ( x) 的单调性; a 2 1 ? n ?1. (III)若 m ? ,数列 {bn } 满足 bn ? f (an )+an ,求证: an ? 2 bn 2 21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
4

n ?1 ? 1? an .函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? mx 2 ? x (m ? ?0, ?) . n ? 2?

(1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
? a 2 ?? x ? ? e ? 已知关于 x , y 的二元一次方程组为 ? ?? ? ? ? ? ﹒ ? 2 ?1?? y ? ? f ?

(Ⅰ)若该方程组有唯一解,求实数 a 的取值范围;
? x? ?e? ? x? (Ⅱ)若 a ? 2 ,且该方程组存在非零解 ? ? 满足 ? ? ? ? ? ? ,求 ? 的值﹒ ? y? ?f? ? y?

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的非负半轴重合. 若曲线 C1
? x ? cos ? , ? 的方程为 ? sin(? ? ) ? 2 3 ? 0 ,曲线 C2 的参数方程为 ? 6 ? y ? sin ? .

(Ⅰ) 将 C1 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若点 Q 为 C2 上的动点, P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值. (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 4 ﹒ (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 g ( x) ? 2 x ? 2 ?

x ? 6 的最大值﹒

5

理科数学试题参考解答及评分标准 (2014 年 5 月)
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.B; 2.A; 3.B; 4.B; 5.C; 6.D; 7.C; 8.A; 9.C ; 10.A 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11.15 ; 12.20; 13. 4 ; 14.3; 15.2. 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查茎叶图、众数、中位数、随机变量的分布列、期望等基础知识,考 查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)这组数据的众数为 86,中位数为 86;???????4 分 (Ⅱ)抽取的 12 人中成绩是“优良”的频率为 3 , 4 故从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为 3 ,?????5 分 4 设“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是‘优良’的事件”为 A,
0 则 P( A) ? 1 ? C3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 63 ;???????7 分 4 64 64 (Ⅲ)由题意可得, ? 的可能取值为 0,1,2,3.??????8 分

? ?

3

P(? ? 0) ?

3 1 2 C3 C9 C3 1 27 ? P ( ? ? 1) ? ? , , 3 3 C12 220 C12 220

1 3 C92C3 C9 108 27 84 21 ? = P ( ? ? 3) ? ? = , , 3 3 C12 220 55 C12 220 55 所以 ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 1 27 27 21 P 55 220 220 55

P(? ? 2) ?

???????12 分

1 27 27 21 9 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .???????13 分 220 220 55 55 4
6

17.本小题主要考查正、余弦定理、三角函数的恒等变换等基础知识,考查运算求解能 力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)由 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab ,得 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab , 所以 2ab cos C ? 3ab ,
cos C ? 3 ,???????2 分 2

由 C ? (0, ?) , C ?

? .???????4 分 ? ?? ?? ,即 B ? ? A, ? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 A ? B ?

?? ? ? 0? ? A? , ? ? ? ? ? ? 又 ?ABC 为锐角三角形,故 ? 从而 ? A ? .???????6 分 ? ? ?0 ? A ? ? , ? ? ?

由 c ? 1 ,所以

1 ? sin ?

?

a b ? , sin A sin B

故 a ? 2sin A , b ? 2sin B , 所以 3a ? b ? 2 3 sin A ? 2sin B ???????8 分
?? ? ? 2 3 sin A ? 2sin ? ? A ? ?? ?

? ? ? 2 3 sin A ? 2sin cos A ? 2cos sin A ? ?
? 3 sin A ? cos A
?? ? ? 2sin ? A ? ? .???????11 分 ?? ?



? ? ? ? ? ? A ? ,所以 ? A ? ? , ? ? ? ? ?
1 ?? 3 ? ? sin ? A ? ? ? , 2 ?? 2 ?

所以

即 3a ? b ? (1, 3) .???????13 分 18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB ,
? CO ? AB .???????2 分

又 OA ? OB , D 为 AB 的中点,
7

∴ DO ? AB .???????4 分 ∵ DO
CO ? O ,

z C y B D

∴ AB ⊥平面 COD .???????5 分 (Ⅱ)∵ OA ? OB =2 , AB ? 2 2 ,
? AO ? BO .???????5 分

O A

E

x 由 CO ? 平面 AOB ,故以点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴,OC 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图) ,由已知可得
O(0, 0, 0), A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,1), D(1,1,0) .???????7 分

由 CE ∥平面 AOB ,故设 E ( x, y,1) .???????8 分 由 AE ? BE ,得 ( x ? 2)2 ? y2 ? 12 ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 12 , 故 x ? y ,即 E ( x, x,1)( x ? 0) .???????9 分 设平面 ACE 的法向量为 n1 =(a, b, c) ,由 AC ? (?2,0,1) , CE ? ( x, x,0) ,得
??2a ? c ? 0, 令 a ? 1 ,得 n1 =(1, ?1, 2) .???????11 分 ? ?ax ? bx ? 0,

又平面 AOB 的法向量为 n2 =(0,0,1) ,???????12 分 所以 cos n1 , n2 =
2 1? 6 ? 6 . 3
6 .?13 分 3

故平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值,且该锐二面角的余弦值为 解法二: (Ⅰ)∵ OA ? OB =2 , AB ? 2 2 ,
? AO ? BO .???????1 分

由 CO ? 平面 AOB ,故以点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴,OC 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图) ,由已知可得
O(0, 0, 0), A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,1), D(1,1,0) .???????2 分

∵ AB ? (?2,2,0) , OC ? (0,0,1) , OD ? (1,1,0) , ∴ AB ?OC ? 0 , AB ?OD ? 0 ,???????4 分 ∴ OC ? AB . OD ? AB , ∵ OD
OC ? O ,

∴ AB ⊥平面 COD .???????6 分 (Ⅱ)∵ CE ∥平面 AOB ,

8

∴ E 在过点 C 且与平面 AOB 平行的平面内,设该平面为 ? . 又 AE ? BE , ∴ E 在底面的射影在直线 OD 上, ∴ E 又在过点 C 且与平面 AOB 垂直的平面内,设该平面为 ? , ∴?

? =CE .
CE =C ,

∴由 AC

∴直线 AC 与 CE 确定平面 ACE , ∴点 E 运动时,平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值.故不妨取 E (1,1,1) ,?8 分 设平面 ACE 的法向量为 n1 =(a, b, c) , 由 AC ? (?2,0,1) , CE ? (1,1,0) ,得
??2a ? c ? 0, 令 a ? 1 ,得 n1 =(1, ?1, 2) .???????10 分 ? ?a ? b ? 0,

又平面 AOB 的法向量为 n2 =(0,0,1) , 所以 cos n1 , n2 =
2 1? 6 ? 6 .???????12 分 3
6 .?13 分 3

故平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值,且该锐二面角的余弦值为

19.本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理 论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)由椭圆定义可知曲线 C1 的轨迹是椭圆,设 C1 的方程为 所以 2a ? 2 2 , c ? 1 ,则 b ? 1 ,故 C1 的方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

x2 ? y 2 ? 1 .???????3 分 2

(Ⅱ)(ⅰ) 证明:当 k ? 0 , M 为 C2 长轴端点, 则 N 为 C1 短轴的端点, MN ? 2 .???????4 分 当 k ? 0 时,设直线 OM : y ? kx ,代入 x2 + 整理得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 2 ,即 x2 ? 所以 OM ? x2 ? y 2 ?
2

3y2 ? 1, 2

2 2k 2 , y2 ? , 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2

2 ? 2k 2 .???????6 分 2 ? 3k 2

9

1 2 ? 2k 2 2 又由已知 OM ? ON ,可设 ON : y ? ? x ,同理解得 ON ? ,??????7 分 k 2 ? k2 4 ? 4k 2 2 ? 2k 2 2 ? 2k 2 2 2 2 2 ? (2 ? 2 k ) ? 所以 MN ? OM ? ON ? ?????8 分 ? (2 ? 3k 2 ) ? (2 ? k 2 ) 2 ? 3k 2 2 ? k 2 8(1 ? k 2 )2 ? 2(2 ? 3k 2 ) ? (2 ? k 2 ) 2k 4 2 ? ?0, 又 MN ? 2 ? 2 2 2 (2 ? 3k ) ? (2 ? k ) (2 ? 3k ) ? (2 ? k 2 )
所以 MN 的最小值为 2 .???????9 分 (ⅱ)存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的圆. 设 Rt?MON 斜边上的高为 h ,由(Ⅱ)(ⅰ)得当 k ? 0 时, h =
2 ? 2k 2 2 ? 2k 2 ? , 2 2 ? 3k 2 ? k2
2 ;??????10 分 2

当 k ? 0 时, OM ? ON ?

又 MN ?

(2 ? 2k 2 ) ?

4 ? 4k 2 ,???????12 分 (2 ? 3k 2 ) ? (2 ? k 2 )
OM ? ON MN ? 2 , 2

由 MN ? h ? OM ? ON ,得 h ?

故存在以原点为圆心,半径为 2 且与直线 MN 相切的圆,圆方程为 x2 ? y 2 ? 解法二: (Ⅰ)同解法一; (I)(ⅰ) 证明:证明:当 k ? 0 , M 为 C2 长轴端点, 则 N 为 C1 短轴的端点, MN ? 2 .???????4 分 当 k ? 0 时,设直线 OM : y ? kx ,代入 x2 + 整理得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 2 ,即 x2 ? 所以 OM ? x2 ? y 2 ?
2

1 .?13 分 2

3y2 ? 1, 2

2 2k 2 , y2 ? , 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2

2 ? 2k 2 .???????6 分 2 ? 3k 2

1 2 ? 2k 2 2 又由已知 OM ? ON ,可设 ON : y ? ? x ,同理解得 ON ? ,??????7 分 k 2 ? k2 4 ? 4k 2 2 ? 2k 2 2 ? 2k 2 2 2 2 ? (2 ? 2k 2 ) ? 所以 MN ? OM ? ON ? ?????8 分 ? 2 2 (2 ? 3k 2 ) ? (2 ? k 2 ) 2 ? 3k 2?k
? 8(1 ? k 2 ) 2 ? (2 ? 3k 2 ) ? (2 ? k 2 ) ? ? ? 2 ? ?
2

?

8(1 ? k 2 ) 2 ? 4 ? 4k 2 ? ? ? ? 2 ?
2

? 2 ,即 MN ? 2 .

故 MN 的最小值为 2 .???????9 分 (III)同解法一.
10

20.本题考查递推数列、函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查 分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.满分 14 分. 解: (I)∵ an?1 ?

n ?1 an , n a n ∴当 n ? 2 时, n ? , an -1 n ? 1

a2 a3 ? ? a1 a2 ? an 2 3 ? ? ? an -1 1 2 ?
a n ,即 n = n , a1 n ?1

∴ an ? nt ,对 n ? 1 也成立, ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? nt .???????3 分

1 2mx2 ? 2mx ? x x(2mx ? 2m ? 1) ? 2mx ? 1= ? ( x ? ?1) ,?????4 分 1? x 1? x 1? x ?x 当 m ? 0 时, f ?( x) ? ,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 1? x ∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1,0) ,减区间是 (0, ??) ;???????5 分
(II) f ?( x) ? 当0? m? 当0? m?

1 2m ? 1 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ? . ? ?1 ? 2 2m 2m 1 1 时, x2 ? 0 ,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? ?1 ? 时, f ?( x) ? 0 ; 2 2m

x ? ?1 ?

1 时, f ?( x) ? 0 , 2m 1 1 , ??) ,减区间是 (0, ?1 ? ) ;??6 分 2m 2m

∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1,0) 和 (?1 ?

1 x2 当 m= 时, x1 ? x2 ? 0 , f ?( x) ? ?0, 2 1? x ∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1, +?) ,无减区间.???????7 分 综上所述,当 m ? 0 时,∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1,0) ,减区间是 (0, ??) ;
当 0?m?

1 1 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 是 (?1,0) 和 (?1 ? , ??) , 减 区 间 是 2 2m

( 0? , ? 1

1 ; ) 2m

1 当 m= 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1, +?) ,无减区间. 2
(III)当 m ?

1 1 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x2 ? x , bn ? ln(1 ? an ) ? an 2 . 2 2 2

由 an ? nt 且 t ? 1 ,故 bn ? 0 .???????8 分 要证
an 1 ? 1 ,即证 an ? bn ,即证 ln(1 ? an ) ? an 2 ? an ? 0 . bn 2

1 由(II)得 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x2 ? x( x ? 0) 在 (0, +?) 上单调递增, 2

11

1 所以 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x2 ? x ? f (0) ? 0 , 2 a 1 所以 f (an ) ? ln(1 ? an ) ? an 2 ? an ? 0 ,即 n ? 1 成立.???????11 分 bn 2 a 2 ? n ,由 an ? 2 ? 0 ,即证 an 2 ? 2an ? 2bn , 要证 an ? 2 bn
即证 an 2 ? 2an ? 2ln(1 ? an ) ? an 2 ,即证 an ? ln(1 ? an ) .

1 x ? ?0, 1? x 1? x 所以 g ( x) 在 (0, +?) 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 , a 2 ? n 成立. 从而 an ? ln(1 ? an ) ,即 an ? 2 bn
设 g ( x) ? x ? ln(1 ? x)( x ? 0) , g ?( x) ? 1 ? 综上,
a 2 ? n ? 1 .???????14 分 an ? 2 bn

21. (1) 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. 满 分 7 分. 解: (Ⅰ)该方程组有唯一解,即 解得 a ? ?4 .???????3 分
?2 2 ? (Ⅱ)由题意可知当 a ? 2 时, ? 即为矩阵 ? ? 的特征值. ? 2 ?1? a 2 ? 0 , ?a ? 4 ? 0 , 2 ?1



? ?2
?2

?2

? ?1

? ? 2 ? ? ? 6 ? 0 ,???????5 分

解得 ? ? 3 , ? ? ?2 .???????????????7 分 (2)本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结 合思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)由已知得 ? ?
3 1 sin ? ? ? ? cos ? ? 2 3 ? 0 ,即 x ? 3 y ? 4 3 ? 0 ???3 分 2 2

(Ⅱ)由 C2 得 x2 ? y 2 ? 1 ,所以圆心为 C2 (0, 0) ,半径为 1. 又圆心到直线 C1 的距离为 d ? 2 3 ,???????5 分 所以 PQ 的最大值为 2 3 ? 1 .??????????7 分 (3)本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归 与转化思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)由已知得, ?2 ? x ? 4 ? 2 ,即 2 ? x ? 6 .???????3 分

12

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 g ( x) ? 2 x ? 2 ? 6 ? x , 由柯西不等式,得 g ( x) ? (4 ? 1)(x ? 2 ? 6 ? x) ? 2 5 .?????6 分 当且仅当
x?2 6? x 26 = 即x? 时, g ( x) 的最大值为 2 5 ???????7 分 2 1 5

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