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第三专题 矩阵变换


第三专题 矩阵变换
本专题讨论矩阵的消去变换,Givens 旋转变换,householder 镜像变换,这 些变换在回归分析和多元分析中都有广泛的应用。

§1 消去变换
消去变换是通过对矩阵施行一些初等变换来计算矩阵的逆矩阵、广义逆矩 阵、 求解线性方程组的一种很有效的算法。 特别在逐步回归和逐步判别的计算中, 消去变换是完成变量筛选的一

种非常巧妙的算法。 消去变换在国外的文献上常常 称为 Sweep(扫描)变换;也有人称为紧凑或原地求逆变换。 一、消去变换及其性质 ? 2 0 1? ? 3 ? 例 1 求线性方程组 Ax ? b 的解和 A ?1 ,其中 A ? ? 0 1 0 ?, b ? ? ? 4 ?. ? 1 0 2? ? 0 ? ? ? ? ? 解 因要求同时求解,求逆,我们采用高斯无回代消去法。 记 A(0) ? ( A?b? I ) ,第一步用初等变换化 A 的第一列为 ?1 0 0? ;第二步化 A 的
T T T 第 二 列 为 ?0 1 0? ; 第 三 步 化 A 的 第 三 列 为 ?0 0 1? 。 这 时

A(0) ? ( A?b? I ) ? ( I ? x ? A?1b? A?1 ) 。即求出线性方程组的解和 A 的逆矩阵。具体
过程如下:

? 2 0 1 3 1 0 0? A( 0 ) ? ? 0 1 0 ? 4 0 1 0 ? , ?1 0 2 0 0 0 1? ? ? 1/ 2 0 0 ? ? 1 0 1/ 2 3 / 2 A(1) ? ? 0 1 0 ?4 0 1 0 ? ? A( 2 ) , ? 0 0 2 / 3 ? 3 / 2 ? 1/ 2 0 1 ? ? ? 2 / 3 0 ? 1/ 3 ? ?1 0 0 2 A ( 3) ? ? 0 1 0 ? 4 0 1 0 ? ? ( I ? x ? A?1 ) 。 ? 0 0 1 ? 1 ? 1/ 3 0 2 / 3 ? ? ?
T 第二步因 A (1) 的第二列已是 ?0 1 0? ,故此步没做变换,即 A( 2) ? A(1) 。最后得:

? 2 / 3 0 ? 1/ 3? A?1 ? ? 0 1 0 ?. ? ? 1/ 3 0 2 / 3 ? ? ? 在例 1 中给出的同时求解求逆的高斯无回代消去变换也称为高斯 - 若当 (Gauss-Jordan)消去变换;简称为 G-J 消去变换。用 G-J 消去变换对线性方程组求 ? 2 ? x ? A?1b ? ? ? 4 ?, ? ?1 ? ? ?
解 求 逆 的 过 程 中 , A(0) ? ( A?b? I ) 为 n ? (2n ? 1) 矩 阵 , 经 过 n 次 G-J 变 换 化

A(0) ? A( n) ? ( I ? x? A?1 ) .每一步变换后的 A( k ) 阵中,总有 n 列单位向量构成单位

阵 I n .为了节省存储空间 , 改进的算法中不存储这 n 列单位向量. 记 A(0) ? ( A?b) 为 n ? (n ? 1) 矩阵.从 A( 0) 出发做变换,当第 k 步用变换化 A ( k ?1) 的第 k 列为 ek 时,同

? a ( k ?1) 时把 ek 化为 g k ? ? ? 1(k ? a k ?1) ? kk

? ?

k ?1) a((k ?1) k ( k ?1) akk

1
( k ?1) akk

k ?1) a((k ?1) k ( k ?1) akk

a ( k ?1) ? ? . 改进的算 ? nk ( k ?1) ? akk ?

T

法中,在第 k 次变换后的矩阵 A( k ) 中,第 k 列存放 g k ,而不是单位向量 ek .这样设 计的算法即节省了 n ? n 个存储单元,而且同样达到求解求逆的目的 ,这种改进的 G-J 消去变换也称为紧凑或原地求逆变换. 定义 6.1 设 A ? (aij ) n?m , aij ? 0 ,定义一个新的矩阵 B ? (bij ) n?m ,其中

(1) (2) (3)

bkl ? akl ? ail akj / aij . k ? i, l ? j bkj ? ?akj / aij . k ? i bil ? ail / aij . l ? j

(4)

bij ? 1/ aij
? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

按这个规则 A 变成 a1 j ? ? ? ? ? ? aij ? ? ? ? ? ? ? a1 j ? B?? ? aij ? ? ? ? ? ?

Tij A ? Gij A ? Gij ? I n
定义 6.2 称 Tij ( A) 是对称矩阵 A 施行以 (i, j ) 为主元的消去变换,如果: ① 对 A 作 G ? J 消去变换,使其第 j 列 a j 变成 ei ,即 Gij a j ? ei ; ② 记 Gij ei ? gi ,用 gi 替代 Gij Ai 的第 j 列 ei . 由等价的定义,当 A 为 n 阶方阵时易得出

Tij A ? Gij A ? Gij ? I n
消去变换 Tij 的基本性质

性质 1 反身性: TijTij A ? A ;
(1) ( 2) 设 A(1) ? Tij A ? (aij ), A(2) ? Tij A(1) ? (aij ), ,由(6.3)式可直接验证: ( 2) aij ? aij

(i ? 1,2,?, n; j ? 1,2,?, m)

性质 2 可交换性:当 i ? k , j ? l 时, TijTkl A ? TklTij A ; 由(6.3)式可直接验证两边元素对应相等. 性质 3 若 A? ? A( A为对称阵 ) ,记 B ? Tkk A ? (b?? ) ,则
?bk? ? ?b?k , ? ? k ? ? ? ?b?? ? b?? , ? ? k , ? ? k

对对称阵 A 施行 ( k , k ) 消去变换后,得矩阵 B . B 除第 k 行 k 列相差一个符号 后,其余仍保持对称性,也称 B 为绝对对称阵. 性质 4 行列置换与消去变换的次序变化关系: 设 A 为 n ? m 阵, Pip 为 i 行和 p 行交换的行置换阵, Q jq 为 j 列和 q 列交换的列置换阵,则 ① Tij ( AQjq ) ? (Tiq A)Q jq ; ② Tij (P ip A) ? P ip (Tpj A) ; ③ Tij (P ip AQjq ) ? P ip (Tpq A)Q jq . 证明 证明③: ①和②由 (6.3) 式及行列置换的定义可直接验证.下面利用①和②来

Tij ( Pip AQjq ) ? Tij [ Pip ( AQjq )]? Pip [Tpj ( AQjq )]? Pip (Tpq A)Q jq

? A11 A12 ? 性质 5 设 A ? ? ?A A ? ? , A11 为 r 阶可逆矩阵,则 ? 21 22 ?
?1 ? A11 ? Tr Tr ?1 ?T1 A ? ? ? A A ?1 ? 21 11

? ?. ?1 ?1 A22 ? A21 A11 A12 ? ?
?1 A11 A12

证明 记 A(0) ? A, A( k ) ? Gk A( k ?1) (k ? 1,2,?, r ) ,利用 G ? J 消去变换的定义知:
? Ir A( r ) ? Gr A( r ?1) ? ? ? Gr Gr ?1 ?G2 G1 A( 0) ? ? ?0 ?
* ? A12 ?. * ? A22 ?

记 J r ? Gr Gr ?1 ?G2G1 I n .因 Gk 是由 A ( k ?1) 的第 k 列定义的 G ? J 消去变换阵,即

Gk ? (e1 ,?, ek ?1 , g k , ek ?1 ,?, en ).
对 k ? 1,2,?, r , Gk 的第 r 列以后各列均为单位向量,故有

? J11 Jr ? ? ?J ? 21
故有

0 ? ? I n?r ? ?

( J11 为r阶 方 阵 ).

由消去变换的定义 6.2,知消去变换等价于先做 G ? J 变换然后进行替换.
* ? J 11 A12 ? ?. Tr Tr ?1 ?T2T1 A ? ? * ?J ? A ? 21 22 ?

利用
A
(r )

? Jr A

(0)

? J 11 ?? ?J ? 21

0 ?? A11 ?? ? I n?r ? ?? A21

* A12 ? ? I r A12 ? ?? * ? A22 ? ? ? 0 A22

? ? ? ?

(6.4)

?1 ? ? J 11 A11 ? I r , ? J 11 ? A11 , 可得 ? ,即 ? 把 J11 , J 21 代入(6.4)式又得 ?1 ? J ? ? A A . ? J 21 A11 ? A21 ? 0, 21 11 ? 21 * ?1 ? ? A12 ? J 11 A12 ? A11 A12 , ? * ?1 ? ? A22 ? J 21 A12 ? A22 ? A22 ? A21 A11 A12 . -1 -1 ? A11 ? A11 A12 ? ?. [证毕] 所以 Tr Tr ?1 ?T2T1 A ? ? -1 -1 ? ? ? A 21 A11 A 22 ? A 21 A11 A12 ?

6.2 消去变换的应用 (一)计算可逆矩阵的逆 设 A 为 n 阶可逆矩阵.当 A 为正定阵时,因 A 的各阶主子式非零,故对 A 依次 施行消去变换时主元均不为零.于是有:

A?1 ? TnTn?1 ?T2T1 A ,
其中 Tk (k ? 1,2,?, n) 是施行以 ( k , k ) 为主元的消去变换. 对于一般可逆阵 A ,有 A ? 0 ,对 A 依次以对角元为主元做消去变换时,当遇
( k ?1) 到某个 akk ? 0 时,一般先对矩阵作行列置换,使主元不为 0,然后接着做消去变

换,求出 A ?1 .
? 0 0 3? ? ? 求 A ? ? 2 1 0 ? 的逆矩阵. ?0 2 1? ? ?

例6.2



因 A ? 12 ? 0 , A 为可逆矩阵.但 a11 ? 0 ,求 A ?1 时, 先进行行列置

换后接着做消去变换,求出 A ?1 .

定理 1(分块矩阵的正则逆)
?A A ? ? 11 ? A21 A12 ? A22 ? ?



可逆. 若 A11 ? 0 , 则

?A A?1 ? ? 11 ? A21

?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? A11 ? ? A11 A12 A22 ? A11 A12 A22 A12 ? .1 A21 A 11 .1 ? ? ? ? ?1 ?1 ?1 ? ? A22 ? ? A22.1 A21 A11 A22.1 ? ?

?1

(1)

若 A22 ? 0 , 则
?1 ? A11 .2 A?1 ? ? ? ? A?1 A A?1 ? 22 21 11.2 ?1 ?1 ? ? A11 .2 A 12 A22 ?1 ?1 ?1 ?1 ? A22 ? A22 A21 A11.2 A12 A22 ? ?

(2)

?1 ?1 其中 A22.1 ? A22 ? A21 A11 A12 , A11.2 ? A11 ? A12 A22 A21.

证明 若 A11 ? 0 , 则有(分块矩阵的初等变换)
I 0 ?? A ? ? ? A A?1 I ?? A11 ? 21 11 ?? 21
?1 A12 ?? I ? A11 A12 ? ? A11 ? ??? ? A22 ?? 0 I ? ? 0

0 ? A22.1 ? ?

(3)

此式证明了 A22.1 的可逆性。两边求逆矩阵,容易得到
? A11 ?A ? 21
?1 ?1 A12 ? ? I ? A11 A12 ?? A11 ?? ?? ? ? A22 ? I ?0 ?? 0 ?1

0 ?? I 0? ? ? A A?1 I ? ?1 ? ? A22.1 ?? 21 11 ?

?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? A11 ? ? A11 A12 A22 ? A11 A12 A22 .1 A21 A 11 .1 ?? ? ?1 ?1 ?1 ? ? ? A22.1 A21 A11 A22.1 ? ? 用完全同样的方法可以证明定理的后半部分(请读者完成)。 可逆方阵的逆阵是唯一的,于是(1)式和(2)式对应的子块必相等,即 推论 1

?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ( A11 ? A12 A22 A21 )?1 ? A11 ? A11 A12 ( A22 ? A21 A11 A12 )?1 A21 A11 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ( A22 ? A21 A11 A12 )?1 ? A22 ? A22 A21 ( A11 ? A12 A22 A21 )?1 A12 A22 ?1 ?1 ?1 ?1 A22 A21 ( A11 ? A12 A22 A21 )?1 ? ( A22 ? A21 A11 A12 )?1 A21 A11 ?1 ?1 ?1 ?1 A11 A12 ( A22 ? A21 A11 A12 )?1 ? ( A11 ? A12 A22 A21 )?1 A12 A22

(4) (4‘) (5) (5‘)

上面四个式子称为矩阵反演公式。为了醒目,简写为一般公式:
?1 ?1 T ?1 T ?1 ?1 ( PX ? AT PA)?1 ? PX ? PX A ( P?1 ? APX A ) APX ?1 T ?1 T ?1 PX A ( P?1 ? APX A ) ? ( PX ? AT PA)?1 AT P

(6) (7)

另外还有

( A ? B)?1 ? A?1 ( A?1 ? B?1 )?1 B?1 ; ( A ? B)?1 ? B?1 ( A?1 ? B?1 )?1 A?1

(8) (8’)

T ? A ? Cp?q Bq?q Dq? p ? T ?1 ? A?1 ? A?1CB(B ? BDA?1CB)?1 BDA?1
在公式(4)中,重新记 A11 ? A, A12 ? ?M , A22 ? I , A21 ? N ,则得到 推论 2 (和式求逆公式) (9) (9’)

( A ? MN )?1 ? A?1 ? A?1M ( I ? NA?1M )?1 NA?1 ( A ? c' d )?1 ? A?1 ? A?1cd ' A?1 /(1 ? d ' A?1c)

这个公式在回归诊断中有广泛的应用,由(9)式还可得到另外两个常用公式

( X T X ? X1T X1 )?1 ? ( X T X )?1 ? ( X T X )?1 X1T [ I ? X1 ( X T X )?1 X1T ]?1 X1 ( X T X )?1
( I ? A) ?1 ? I ? ( I ? A) ?1 A ? I ? A( I ? A) ?1 ,其中 X n? p , X1m? p , m ? n .

推论 3 (行列式计算) 对(3)式两端取行列式得
A11 A21 A12 ?1 ?1 ? A11 ? A22 ? A21 A11 A12 ? A22 ? A11 ? A12 A22 A21 A22

(10)

特别,若取 A11 ? A, A12 ? M , A22 ? I , A21 ? N ,由上式得
A ? MN ? A ? I ? NA ?1M

(11)

推论 4

(分块三角阵求逆)

由定理 1 不难得到( A, B 为非退化方阵)

? A 0 ? ? ? A?1 ?C B? ? ? B ?1CA?1 ? ? ?

?1

0 ?, ? A D ? ? ? A?1 ? A?1DB?1 ? ? ? ? 0 ? B ?1 B ?1 ? ? ? ? ?0 B?

?1

(12)

如果 A ?1 不存在,自然考虑它的广义逆。对此,我们有如下结果: 定理 2(分块矩阵的广义逆)
?1 (1)若 A11 存在, 则

? A11 ?A ? 21

?1 ?1 ? ?1 ?1 ? ? ? A11 A12 A22 ? A11 A12 A22 A12 ? ? A11 .1 A21 A 11 .1 ?? ? ? ? ?1 ? ? ? A22 ? ? ? A22.1 A21 A11 A22.1 ?

?

(13)

?1 (2) 若 A22 存在, 则

? A11 ?A ? 21
(3) 若

? A11 A12 ? ? .2 ? ? ? ? A?1 A A? A22 ? ? ? 22 21 11.2

?

? ?1 ? ? A11 .2 A 12 A22 ?1 ?1 ? ?1 ? A22 ? A22 A21 A11.2 A12 A22 ? ?

(14)

?A A ? ? 11 ? A21

A12 ? ? 0, A22 ? ?


? ? ? ? ? ? ? A11 ? ? A11 A12 A22 ? A11 A12 A22 .1 A21 A 11 .1 A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A22.1 A21 A11 A22.1 ? ?

(15)


? ? A11 .2 A? ? ? ? ? A? A A? ? 22 21 11.2 ? ? ? ? A11 .2 A 12 A22 ? ? ? ? ? A22 ? A22 A21 A11.2 A12 A22 ? ?

(16)

? ? 其中 A22.1 ? A22 ? A21 A11 A12 , A11.2 ? A11 ? A12 A22 A21.

证明 我们只证明(1)和(3),(2)的证明与(1)类似,请读者完成。
?1 先证(1). 当 A11 存在时,(3)式仍成立. 于是根据事实


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