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2009年南山区高二文科数学期末考试题


温馨提示:做题应该以“反思、温故”和“查缺补漏”为主!

2009 年南山区高二期末考试

文 科 数 学

(2009.7.6)

本题卷分第Ⅰ卷( 选择题),和第Ⅱ卷( 非选择题) 两部分,共 150 分,考试 时间 120 分钟。 第Ⅰ卷( 选择题共 50 分) 注意事项: 1.答卷前,考生首先

检查答题卡是否整洁无损。之后务必用黑色签字笔在 答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信息栏 填好自己的考号,并用 2B 铅笔填涂相应的信息点。 2.选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 用 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。 不按要求填写的,答案无效。 3.非选择题必须用黑色签字笔作答,答题必须写在答题卡各题目指定区域内 黑 相应位置上,请注意每题空间,预先合理安排。如需改动,先划掉原来的答 案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答 案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损。考试结束后,将答题卡交 回。 5.考试不可以使用计算器。 参考公式:

? 线性回归方程系数公式 b ?

?x y
i i=1 n

n

i i

? nxy ? nx
2

?x
i=1

? ? , a ? y ? bx .

2 i

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在 .............. 答题卡上. .... 1.设复数 z 满足(2+i)z=2,则 z 等于 A.

2 2 ? i 5 5

B.

4 2 ? i 5 5

C. 1-i

D. 1+i

2.已知集合 A={-1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则实数 m 的值为 A. 1 B. -1 C. 1 或-1 D. 1 或-1 或 0 3.下列关系中,成立的是 A. log3 4 ? ( ) ? log 1 10
0 3

1 5

B. log 1 10 ? ( ) ? log 3 4
0 3

1 5

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C. log3 4 ? log 1 10 ? ( )
3

1 5

0

D. log 1 10 ? log3 4 ? ( )
3

1 5

0

4.函数 f(x)=ln| x-1|的图像大致是 y y O A x O B x

y

y

O C

x

O D

x

5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x+2)=-f(x), 当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于 A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D. -1.5 6.如图所示,程序执行后输出的结果是 A. -1 B. 0 C.1 D. 2

n=5 s=0 WHILEs<15 s=s+n n=n-1 WEND PRIND n END 第6题图

?2? x ? 1 x ? 0 , ? 7.设函数 f(x) = ? 1 ,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是 2 ? x ,x ? 0 ?
A.(-1,1) C. (-∞,-2)∪(0,+∞) B. (-1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞)

8.函数 f(x)=lnx+x-4 的零点所在的区间是 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 9.已知复数 z 满足|z-0.5i|=1,则|z+2i|的最小值是 A. 0.5 B. 2 C. 1 D. 1.5 2 2 10.定义 f(n)为 n +1(n∈N*)的各位数字之和,如 14 +1=197,1+9+7=17,则 f(14)=17, 记 f1(n)= f(n),f2(n)= f(f1(n)),…,fk+1(n)= f(fk(n)),k∈N*,则 f2009(8)= A. 11 B. 8 C. 5 D.17 第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,其中 14~15 是选做题,考生只能 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分,共 20 分,把答案填在答题卡上. .........
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11.设 z=3+2i,z 和 z 在复平面内对应的点分别为 A 和 B,O 为坐标原点,则 △ABO 面积为___________. 12.函数 y =

log 1 (2 ? x 2) 的定义域是____________,值域是___________.
2

13.对有关数据的分析可知,每一立方米混凝土的水泥用量 x(单位:kg)与 28 天后混凝土的抗压度 y(单位:kg/cm2)之间具有线性相关关系,其线性回归方

? 程为 y =0.30x+9.99. 根据建设项目的需要,28 天后混凝土的抗压度不得低于
89.7kg/ cm2,每立方米混凝土的水泥用量最少应为 __ kg. (精确到 0.1kg) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点(4,0)且与极轴垂直的 直线交曲线ρ =6cosθ 于 A、B 两点,则|AB|= . A 15.(几何证明选讲选做题)如图,PA、PB 是是⊙O 的切线,A、B 为切点,点 C 为⊙O 上与 A、B 不重合的另一点,若∠ACB=1200, 则∠APB= C

P .

O B 第15题图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 U=R,A={x|x2-5x-6<0},B={x||x-2|≥1}, 求(1)A∩B; (2)A∪B; (3)(?UA)∩(?UB).

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17.(本小题满分 12 分) 设 f(x)是定义域在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上单调递增,且满足 f(-a2+2a-5)<f(2a2+a+1). (1)设 b=-a2+2a-5,a∈ R,求证:b<0 恒成立; (2)求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图像过点 P(0,2), 且在点 M(-1,f(-1)) 处的切线方程为 6x-y+7=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2) )求函数 y=f(x)的单调区间.

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19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) =

x 2 + ax + 4 (x≠0). x

(1)若 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (2)若 f(x)在[3,+∞)上恒大于 0,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 某农科所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发芽多少之间的关系进 行分析研究,他们记录了 12 月 1 日至 5 日的昼夜温差与每天 100 颗种子的 发芽数,数据如下: 日 期
0

12 月 1 日 10 23

12 月 2 日 11 25

12 月 3 日 13 30

12 月 4 日 12 26

12 月 5 日 8 16

温差 x( C) 发芽数 y(颗)

该农科所确定的研究方案是:先从五组数据中选取两组,用剩下的 3 组数据求线性回归方程,再用被选取得两组数据进行检验. (1) 求先选取两组数据恰好是不相邻两天数据的概率; (2) 若先选取的是 12 月 1 日至 5 日的数据,请根据 2 日至 4 日的三组数据,

? ? 求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(3)若由回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为 得到的线性回归方程是可靠的,试判断(2)中所得的线性回归方程是否可

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21.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c, (其中 a,b,c 均为实数),且满足 a-b+c=0, 对任意实数 x 都有 f(x)-x≥0, 且当 x∈ 2)时, f(x) ? ( (0, 有

x +1 2 ) . 2

(1)求 f(1)的值; (2)求实数 a,b,c 的值; (3)求当 x∈ [-2,2 时,函数 F(x)= f(x)-mx (m 为实数)是单调函数, 求证:m≤-0.5 或 m≥1.5.

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2009 年南山区高二期末考试

文 科 数 学
参考答案及评分标准
分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 B 6 B 7 D 8 C 9 D 10 C 2009.7.6 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算. 共 10 小题,每小题 5

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分, 第 12 题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分. 11.6; 12. (? 2, 1] ?[1 2) ,[0,+∞); ? , 13.265.7;

14. 4 2 ; 15.600. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 16.(本小题 12 分) 解:A={x|x2-5x-6<0}=(-1,6), B={x||x-2|≥1}={x|x≥3 或 x≤1}, (1) A∩B ={x|-1<x≤1 或 3≤x<6}, ??2 分 ??4 分 ??6 分

(2) A∪B =R, ??8 分 (3)∵U=R,∴?UA={x|x≤-1 或 x≥6},同理?UB={x|1<x<3}. ??10 分 ∴(?UA)∩(?UB)=φ . ??12 分 (或用摩根定律:(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B) =?U R=φ ) 17. (本小题 12 分) 解:(1) ∵ 2+2a-b=-(a-1)2-4<0,∴b 恒小于 0. -a (2) ∵f(x)为 R 上的偶函数, ∴f(2a2+a+1)= f[-(2a2+a+1)]= f(-2a2-a-1), ∴不等式等价于 f(-a2+2a-5)< f(-2a2-a-1), 又-a2+2a-5=-(a-1)2-4<0,-2a2-a-1= ?2(a ? ) ?
2

??2 分 ??5 分 ??6 分

1 4

7 ?0, 8
??7 分

而 f(x)在区间(-∞,0)上是单调递增函数,
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∴-a2+2a-5<-2a2-a-1, 即 a2+3a-4<0, ∴实数 a 的取值范围是(-4,1) . 18. (本小题 14 分) 解:(1)由 f(x)的图像经过 P(0,2),知 d=2, ∴ f(x)=x3+bx2+cx+2<0,f′(x)=3x2+2bx+c, 由 M(-1,f(-1)),在处的切线方程是 6x-y+7=0, 知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,f′(-1)=6.

??9 分 ??11 分 ??12 分 ……1 分 ……2 分 ……4 分 ……6 分

??1 ? b ? c ? 2 ? 1 ?b ? c ? 0 ,即 ? , ? ?3 ? 2b ? c ? 6 ?2b ? c ? ?3
得 b=c=-3, 故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2. (2) f′(x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0,即 x2-2x-1=0. 解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 . 当 x ? 1 ? 2 或 x ? 1 ? 2 时,f′(x)>0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 时,f′(x)<0.

??8 分

??10 分 ??11 分 ??12 分

故 f(x)=x3-3x2-3x+2 在 (??, ? 2) , (1 ? 2, ?) 内是增函数, 1 ? 在 (1 ? 2, ? 2) 内是减函数. 1 19. (本小题 14 分) 解:∵f(x)的定义域关于原点对称, ∴f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x), ??2 分 ??4 分 ??14 分

( ? x)2 +a( ? x)+4 x 2 +ax+4 =? ∴ , ?x x

∴a=0. ??5 分 (或 f(x)为(-∞,0)∪ (0,+∞)上奇函数,则 f(-1)=-f(1),∴a=0) (2) f ?(x)=1 ?

4 , x2

??7 分 ??9 分 ??11 分

∴f(x)在[3,+∞)上 f′(x)>0,∴f(x)在[3,+∞)上单调递增, ∴f(x)在[3,+∞)上恒大于 0 只要 f(3)>0 即可.
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9+4+3a ? 0, 3 13 ∴ 3a+13>0 ? a ? ? , 3
∴ f(3)= 若 f(x)在[3,+∞)上恒大于 0,a 的取值范围为 a ? ? 20.(本小题 12 分)

??13 分

13 . ??14 分 3

解:(1)设抽到不相邻两组数据为事件 A,因为从 5 组数据中选取 2 组数据 共有 10 种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情 况有 4 种, ??2 分 所以, P(A)=1 ?

4 3 ? . 10 5 3 5
??3 分 ??5 分 ??7 分 ??9 分

答:选取 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是 . (2)由数据,求得 x ? 12, ? 27 , y 由公式,求得 b ?

5 , 2

5 b ? , ? y ? bx ? ?3 , a 2
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? (3)当 x=10 时, y ?

5 x ? 3. 2

??10 分 ??12 分 ??13 分 ??14 分

5 ?10 ? 3 ? 22 ,|22-23|<2, 2 5 同样,当 x=8 时, y ? ? 8 ? 3 ? 17 ,|17-16|<2. 2
所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的. 21. (本小题 14 分)

(1) ∵ ...x∈ 对任意 R,都有 f(x)-x≥0,且当 x∈ (0,2)时,有 f (x) ? ( 令 x=1,∴1 ? f (x) ? (

x ?1 2 ) , 2

1?1 2 ) ,即 f(1)=1. 2

??3 分

(2)由 a-b+c=0 及 f(1)=1. 有 ?

?a ? b ? c ? 0 1 ,可得 b=a+c= ,??4 分 2 ?a ? b ? c ? 1

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又对任意 x,f(x)-x≥0,即 ax2- x+c≥0, ... 2 ∴ a>0 且△≤0,

1

??5 分 ??6 分



1 1 ? 4ac ? 0 ? ac ? . 4 16 1 . 2

??7 分 ??8 分

可知 a>0 ,c>0, a ? c ? 2 ac ?

当且仅当 a=c 时等号成立,又由 a+c= 故 b=

1 1 ,知 a=c= , 2 4
??10 分

1 1 ,a=c= . 2 4 1 2 [x +(2-4m)x+1], 4

(3)F(x)=f(x)-mx=

??11 分

当 x∈[-2,2]时,F(x)是单调的,所以 F(x)的对称轴一定在[-2,2]的外边.

2 ? 4m |? 2 , 2 1 3 解得 m ? ? 或 m ? . 2 2
∴| ?

??13 分 ??14 分

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