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第四章第1讲平面向量的概念及线性运算(教师版)

时间:2017-11-06


第 1 讲 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向

相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律: a+b=b+a; 结合律: (a+b)+c=a +(b+c)

加法

求两个向量和的运算

减法

求 a 与 b 的相反向量 -b 的和的运算

a-b=a+(-b) |λ a|=|λ||a|, 当 λ>0 时, λ a 与 a 的方向相同; λ(μ a)=(λμ)a; 当 λ<0 时,λ a 与 a (λ+μ)a=λa+μ_a; 的方向相反;当 λ=0 λ (a+b)=λa+λb 时,λ a=0

数乘

求实数 λ 与向量 a 的 积的运算

3.两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使得 b=λa. 1. 如图,D,E,F 分别是△ABC 各边的中点,则下列结论错误的是( ) → → → → A.EF=CD B.AB与DE共线 → → → 1→ C.BD与CD是相反向量 D.AE= |AC| 2 D [解析] 根据向量的概念可知选 D. 2. 下列结论正确的是( ) A.若|a|=0,则 a=0 B.若 a,b 是两个单位向量,则 a=b → → C.若 a=b,b=c,则 a=c D.若 AB=AC,则AB=AC C [解析] 根据向量的概念可知选 C. → → → 3. 如图,?ABCD 的对角线交于 M,若AB=a,AD=b,用 a,b 表示MD为( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 A. a+ b B. a- b C.- a- b D.- a+ b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 → 1→ 1 D [解析] MD= BD= (b-a)=- a+ b,故选 D. 2 2 2 2 4. 已知 a,b 是非零向量,命题 p:a=b,命题 q:|a+b|=|a|+|b|,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1

A [解析] 若 a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|即 p?q, 若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知 a 与 b 同向共线,即 a=λb 且 λ>0,故 q ? / p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件,故选 A. 5. 向量 e1 与 e2 不共线,若 a=e1-e2 与 b=-2e1+λe2 共线,则 λ 的值为________. [解析] 因为 e1 与 e2 不共线,且 a=e1-e2 与 b=-2e1+λe2 共线,所以存在 μ∈R,使 e1-e2=μ(- ? ?1=-2μ 2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得? ,所以 λ=2. ?-1=μλ ? [答案] 2 平面向量的有关概念 给出下列命题: ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ③向量AB与向量CD共线,则 A、B、C、D 四点共线; ④如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 【解析】 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量; ②不正确,若 a 与 b 中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,如果 b=0 时,则 a 与 c 不一定平行. 【答案】 D [通关练习] 1.判断下列四个命题: ①若 a∥b,则 a=b;②若|a|=|b|,则 a=b;③若|a|=|b|,则 a∥b;④若 a=b,则|a|=|b|.其中正确 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A [解析] 只有④正确. 2.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 D [解析] 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是假命 题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也 是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. 平面向量的线性运算(高频考点) → → (1)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则( ) 1→ 4 → → → 1→ 4→ → 4→ 1 → → 4→ 1 → A.AD=- AB+ AC B.AD= AB- AC C.AD= AB+ AC D.AD= AB- AC 3 3 3 3 3 3 3 3 → → → → → → → (2)在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则 x=________;y=________. 1→ 4→ → → → → 1 → → 1 → → 4 → 1→ 【解析】 (1)AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ (AC-AB)= AC- AB=- AB+ AC. 3 3 3 3 3 3 2 1 → → → → → → → → → (2)因为 AM=2MC,所以AM= AC.因为 BN=NC,所以AN= (AB+AC), 3 2 1 1 → → → 1 → → 2 → 1→ 1 → → → → 所以MN=AN-AM= (AB+AC)- AC= AB- AC.又MN=xAB+yAC,所以 x= ,y=- . 2 3 2 6 2 6 1 1 【答案】 (1)A (2) - 2 6 [题点通关] 角度一 求已知向量的和 → → 1.设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB+FC=( )
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1→ 1→ → B. AD C.BC D. BC 2 2 → → 1 → → 1 → → 1 → → → A [解析] EB+FC= (AB+CB)+ (AC+BC)= (AB+AC)=AD,故选 A. 2 2 2 角度二 用已知向量表示未知向量 2.如图所示,下列结论正确的是( ) → 3 3 → 3 → 3 1 → 3 ①PQ= a+ b;②PT= a-b;③PS= a- b;④PR= a+b. 2 2 2 2 2 2 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 3 → 3 C [解析] ①根据向量的加法法则,得PQ= a+ b,故①正确;②根据 2 2 3 3 1 → 3 3 → → → 3 → 向量的减法法则,得PT= a- b,故②错误;③PS=PQ+QS= a+ b-2b= a- b,故③正确;④PR 2 2 2 2 2 2 3 1 → → 3 3 =PQ+QR= a+ b-b= a+ b,故④错误.故选 C. 2 2 2 2 角度三 求参数的值 → → → 1→ → 3.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ 等于( ) 3 2 1 1 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3 A [解析] 如图所示,过点 D 分别作 AC,BC 的平行线,分别交 BC,AC 于点 F,E, → → → → → → 1→ → 2→ 所以CD=CE+CF.因为AD=2DB,所以CE= CA,CF= CB, 3 3 1 2 2 → → → 故CD= CA+ CB,所以 λ= . 3 3 3 → A.AD 平面向量共线定理的应用 已知非零向量 e1,e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2),求证:A、B、D 三点共线; (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值. → → → → → 【解】 (1)证明:因为AB=e1+e2,BD=BC+CD=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5AB, → → 所以AB与BD共线,且有公共点 B,所以 A、B、D 三点共线. (2)因为 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,所以存在 λ,使 ke1+e2=λ(e1+ke2),则(k-λ)e1=(λk-1)e2. ? ?k-λ=0, 由于 e1 与 e2 不共线,只能有? 所以 k=± 1. ?λk-1=0, ? [通关练习] → → 1.已知 a,b 是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,λ ,μ ∈R,则 A,B,C 三点共线的充要条 件为( ) A.λ +μ=2 B.λ -μ=1 C.λ μ =-1 D.λ μ =1 ? λ = m, ? → → → → D[解析] 因为 A、B、C 三点共线,所以AB∥AC,设AB=mAC(m≠0),所以? 所以 λμ=1,选 D. ?1=mμ, ? 1 2.已知 a,b 是两个不共线的非零向量,且 a 与 b 起点相同,若 a,tb, (a+b)三向量的终点在同一直 3 线上,则 t=________. 1 [解析] 因为 a,tb, (a+b)三向量的终点在同一条直线上,且 a 与 b 起点相同. 3 2 1 ? 1 2 1 所以 a-tb 与 a- (a+b)共线.即 a-tb 与 a- b 共线.所以存在实数 λ,使 a-tb=λ? ?3a-3b?, 3 3 3

3

?1=3λ, 3 1 1 1 所以? 解得 λ= ,t= ,即 t= 时,a,tb, (a+b)三向量的终点在同一条直线上. 2 2 2 3 1 ?t=3λ,
[答案] 1 2

2

→ 1. 如图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量CD=( ) → 1→ → 1→ → 1→ → 1→ A.-BC+ BA B.-BC+ AB C.BC- BA D.BC+ BA 2 2 2 2 → → → → → → 1→ → → 1→ A [解析] 因为CD=CB+BD,CB=-BC,BD= BA,所以CD=-BC+ BA. 2 2 → → → 2.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形 ABCD 的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 → → → → → → → → C [解析] 由已知, 得AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC, 故AD∥BC.又因为AB与 → CD不平行,所以四边形 ABCD 是梯形. → → → → → → → 3.设 D,E,F 分别是△ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,则AD+ → → → BE+CF与BC( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 → → → → 1→ → → → → 1→ A [解析] 由题意得AD=AB+BD=AB+ BC,BE=BA+AE=BA+ AC, 3 3 1→ → → → → 1→ → → → → 1 → → → → 2→ CF=CB+BF=CB+ BA,因此AD+BE+CF=CB+ (BC+AC-AB)=CB+ BC=- BC, 3 3 3 3 → → → → 故AD+BE+CF与BC反向平行. 4. 已知向量 a, b, c 中任意两个都不共线, 但 a+b 与 c 共线, 且 b+c 与 a 共线, 则向量 a+b+c=( ) A.a B.b C.c D.0 D [解析] 依题意,设 a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即 a-c=mc-na. 又 a 与 c 不共线,于是有 m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0. → 1 → → 5.已知 P 是△ABC 内的一点,AP= (AB+AC),则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( ) 3 3 A.2 B.3 C. D.6 2 → 1 → → → → → → → → → → B [解析] 由AP= (AB+AC),得 3AP=AB+AC,AP+(AP-AB)+(AP-AC)=0. 3 → → → 所以PB+PC+PA=0,P 是△ABC 的重心.所以△ABC 的面积与△ABP 的面 积之比为 3. → → 6.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC → =b,则AD=( ) 1 D. a+b 2 → 1→ 1 → → D [解析] 连接 CD, 由点 C, D 是半圆弧的三等分点, 得 CD∥AB 且CD= AB= a, 所以AD=AC 2 2 1 → +CD=b+ a. 2 7.已知 a 与-b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ 的值为________. [解析] 因为 a+λb 与-(b-3a)共线,所以存在实数 μ,使 a+λb=μ(3a-b),
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1 A.a- b 2

1 B. a-b 2

1 C.a+ b 2

?1=3μ, ? 即? 所以 ? ?λ=-μ,

?μ=3, ? 1 ?λ=-3.

1

1 [答案] - 3 → → → 8.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD= 1 1 1 1 → → → → → a-b;②BE=a+ b;③CF=- a+ b;④AD+BE+CF=0. 2 2 2 2 其中正确命题的个数为________. 1 1 → → → 1→ → → → 1→ [解析] BC=a,CA=b,AD= CB+AC=- a-b,故①错;BE=BC+ CA=a+ b,故②正确; 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 → 1 → → 1 → → → CF= (CB+CA)= (-a+b)=- a+ b,故③正确;所以AD+BE+CF=-b- a+a+ b+ b- a 2 2 2 2 2 2 2 2 =0.所以正确命题为②③④. [答案] 3 → → → → → → 9.若|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,则|AB+AC|=________. → → → → → → [解析] 因为|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,所以△ABC 是边长为 2 的正三角形,所以|AB+AC|为△ABC → → 的边 BC 上的高的 2 倍,所以|AB+AC|=2 3. [答案] 2 3 → → 10.在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 3,BC=2,点 E 在线段 CD 上,若AE=AD → +μAB,则 μ 的取值范围是________. → → → → [解析] 由题意可求得 AD=1,CD= 3,所以AB=2DC.因为点 E 在线段 CD 上,所以DE=λDC → → → → → → → → → 2μ → (0≤λ≤1).因为AE=AD+DE,又AE=AD+μAB=AD+2μDC=AD+ DE,

λ

2μ λ 1 所以 =1,即 μ= .因为 0≤λ≤1,所以 0≤μ≤ . 2 2 λ 1 ? [答案] ? ?0,2? → → → 1→ → 1 → → → → 11. 如图,以向量OA=a,OB=b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN= CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3 3 → → → → 1→ 1 1 [解] 因为BA=OA-OB=a-b,BM= BA= a- b, 6 6 6 → → → 1 5 → 所以OM=OB+BM= a+ b.因为OD=a+b, 6 6 → → 1→ 1→ 1→ 2→ 2 2 → → → 2 所以ON=OC+ CD= OD+ OD= OD= a+ b,所以MN=ON-OM= a 3 2 6 3 3 3 3 2 1 5 1 1 1 5 2 2 1 1 → → → + b- a- b= a- b.综上,OM= a+ b,ON= a+ b,MN= a- b. 3 6 6 2 6 6 6 3 3 2 6 → |MD| → 3→ 3→ 12.设 M 是△ABC 所在平面上的一点,且MB+ MA+ MC=0,D 是 AC 的中点,则 的值为( ) 2 2 → |BM| 1 1 A. B. C.1 D.2 3 2 A [解析] 因为 D 是 AC 的中点,延长 MD 至 E,使得 DE=MD,所以四边形 MAEC 为平行四边 3 → → 1→ 1 → → → 3→ 3→ → → → 形,所以MD= ME= (MA+MC).因为MB+ MA+ MC=0,所以MB=- (MA+MC)=-3MD,所 2 2 2 2 2

5



→ → |MD| |MD| 1 = = ,故选 A. →| → 3 |BM |3MD|

→ → 13. 在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,DE 交 AF 于 H,记AB,BC分别为 a,b, → 则AH=( ) 2 4 2 4 2 4 2 4 A. a- b B. a+ b C.- a+ b D.- a- b 5 5 5 5 5 5 5 5 → 1→ 1→ B [解析] 如图,过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G,则 G 是 DE 的中点,且GF= EC= BC,所 2 4 → 1→ → 1→ 以GF= AD,则△AHD∽△FHG,从而HF= AH, 4 4 1 → 4→ → → → 所以AH= AF,AF=AD+DF=b+ a, 5 2 4 1 2 4 → 所以AH= (b+ a)= a+ b,故选 B. 5 2 5 5 → → → 14.已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作一条直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点,且AM=xAB,AN xy → =yAC,求 的值. x+y → → → → → [解] 法一:由已知得 M,G,N 三点共线,所以AG=λAM+(1-λ)AN=λxAB+(1-λ)yAC,因为点 1 1 λx=3 λ=3x 1 → 2 1 → → 1 → → G 是△ABC 的重心,所以AG= × (AB+AC)= (AB+AC),所以 ,即 ,得 + 3 2 3 3 x 1 1 (1-λ)y= 1-λ= 3 3y x+y 1 1 1 xy 1 =1,即 + =3,通分变形得, =3,所以 = . 3y x y xy x+y 3 2 2 xy 1 法二:利用等边三角形,过重心作平行于底边 BC 的直线,易得 x= ,y= ,所以 = . 3 3 x+y 3 → 2→ → → 15. 如图,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点,AE= AD,AB=a,AC=b. 3 → → → → → (1)用 a,b 表示向量AD,AE,AF,BE,BF; (2)求证:B,E,F 三点共线. → 1→ [解] (1)延长 AD 到 G, 使AD= AG, 连接 BG, CG, 得到平行四边形 ABGC, 2 → → 1→ 1 → 2→ 1 → 1→ 1 所以AG=a+b,AD= AG= (a+b),AE= AD= (a+b),AF= AC= b, 2 2 3 3 2 2 1 1 → → → 1 → → → 1 BE=AE-AB= (a+b)-a= (b-2a),BF=AF-AB= b-a= (b-2a). 3 3 2 2 → 2→ → → (2)证明:由(1)可知BE= BF,又因为BE,BF有公共点 B,所以 B,E,F 三点 3 共线.

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