nbhkdz.com冰点文库

第八章 第八节 曲线与方程


第八章 第八节 曲线与方程
一、选择题 1 2 1. 已知| AB |=3, A、 B 分别在 y 轴和 x 轴上运动, O 为原点, OP = OA + OB , 3 3 则动点 P 的轨迹方程是 x A. +y2=1 4 x2 C. +y2=1 9
2

( y B.x2+ =1 4 y2 D.x2+ =1 9
2


)

2.已知两个定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所围成 的图形的面积等于 A.π C.8π B.4π D.9π ( )

3. 平面直角坐标系中, 已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C 满足 OC =λ1 OA +λ2 OB (O 为原点),其中 λ1,λ2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹是 A.直线 C.圆 B.椭圆 D.双曲线 ( )

4.已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,椭圆的另一 个焦点 F 的轨迹方程是 x2 A.y2- =1(y≤-1) 48 y2 C.x2- =1(x≤-1) 48 5.给出以下方程: ①2x+y2=0;②3x2+5y2=1;③3x2-5y2=1;④|x|+|y|=2;⑤|x-y|=2,则其对应的 曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是 A.1 C.3 B.2 D.4 ( ) x2 B.y2- =1(y≥1) 48 y2 D.x2- =1(x≥1) 48 ( )

6.圆 O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线 l 是圆 O 的一条切线,若经过 A、B 两点的抛物线以直线 l 为准线,则抛物线焦 点所在的轨迹是 A.双曲线 C.抛物线 二、填空题 B.椭圆 D.圆 ( )

1

x y 7.直线 + =1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是____________. a 2-a 8.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的 轨迹方程是________.

9.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a>1)的点的 轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a2. 2 其中,所有正确结论的序号是____. 三、解答题 10.已知 A、B 分别是直线 y= P 是 AB 的中点. 求动点 P 的轨迹 C 的方程. 3 3 x 和 y=- x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3, 3 3

11.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两 个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, =λ,求点 M |OM| 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

2

12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x=-2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是 线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP. 当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程.

详解答案
一、选择题
2 1.解析:设 A(0,y0),B(x0,0),P(x,y),则由| AB |=3 得 x2 0+y0=9,又因为 OP =

1 2 2x0 y0 (x,y), OA =(0,y0), OB =(x0,0),由 OP = OA + OB 得 x= ,y= ,因此 x0 3 3 3 3 3x x2 2 2 = ,y0=3y,将其代入 x2 + y = 9 得 +y =1. 0 0 2 4 答案:A 2.解析:设 P(x,y),则|PA|2=(x+2)2+y2,|PB|2=(x-1)2+y2,又|PA|=2|PB|, ∴(x+2)2+y2=4(x-1)2+4y2, ∴(x-2)2+y2=4,表示圆,∴S=πr2=4π. 答案:B 3.解析:设 C(x,y),则 OC =(x,y), OA =(3,1),

OB =(-1,3),
?x=3λ1-λ2 ? ∵ OC =λ1 OA +λ2 OB ,∴? ,又 λ1+λ2=1, ?y=λ1+3λ2 ?

∴x+2y-5=0,表示一条直线. 答案:A 4.解析:由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,

3

∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2, 故点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的下支,又 c=7,a=1,b2= 48,∴点 F 的轨迹方程为 y2- 答案:A 5.解析:所给出的方程中,①2x+y2=0 是抛物线,②3x2+5y2=1 是椭圆,③3x2-5y2 =1 是双曲线,④|x|+|y|=2 是一个正方形,⑤|x-y|=2 是两条平行直线,只有②④两个方 程对应的曲线是封闭曲线,可以放进一个足够大的圆内. 答案:B 6.解析:设抛物线的焦点为 F,因为 A、B 在抛物线上,所以由抛物线的定义知,A、 B 到 F 的距离 AF、 BF 分别等于 A、 B 到准线 l 的距离 AM、 BN, 于是|AF|+|BF|=|AM|+|BN|. 过 O 作 OP⊥l,由于 l 是圆 O 的一条切线,所以四边形 AMNB 是直角梯形,OP 是中位 线,故有|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|OP|=8>4=|AB|. 根据椭圆的定义知,焦点 F 的轨迹是一个椭圆. 答案:B 二、填空题 x y 7.解析:(参数法)设直线 + =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0),B(0,2-a),A、B 中点 a 2-a a a 为 M(x,y),则 x= ,y=1- ,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1. 2 2 答案:x+y=1(x≠0,x≠1) 8.解析:如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支, x2 y2 方程为 - =1(x>3). 9 16 x2 y2 答案: - =1(x>3). 9 16 9.解析:因为原点 O 到两个定点 F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是 1,而 a>1,所以曲 线 C 不过原点,即①错误;因为 F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,所以|PF1||PF2|=a2 对应的 1 1 1 轨迹关于原点对称,即②正确;因为 S△F1PF2= |PF1||PF2|sinF1PF2≤ |PF1||PF2|= a2,即 2 2 2 1 面积不大于 a2,所以③正确. 2 答案:②③ 三、解答题
4

x2 =1(y≤-1). 48

10.解:设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2). x , ?x=x + 2 ∵P 是线段 AB 的中点,∴? y +y ?y= 2 .
1 2 1 2

∵A、B 分别是直线 y= ∴y1=

3 3 x 和 y=- x 上的点, 3 3

3 3 x1,y2=- x2. 3 3

x -x =2 3y, ? ?1 2 ∴? 2 3 y1-y2= x. ? 3 ? 又|AB|=2 3,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12. 4 ∴12y2+ x2=12. 3 x2 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 +y2=1. 9 11.解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a、c,
?a-c=1 ? 由已知得? 解得 a=4,c=3. ? ?a+c=7,

b2=a2-c2=16-9=7. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 7 (2)设 M(x,y),其中 x∈[-4,4]. 由已知 |OP|2 =λ2 及点 P 在椭圆 C 上可得 |OM|2

9x2+112 =λ2, 16?x2+y2? 整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中 x∈[-4,4]. 3 ①λ= 时,化简得 9y2=112, 4 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4 ≤x≤4),轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3 3 x2 y2 ②λ≠ 时,方程变形为 + =1, 4 112 112 2 16λ2-9 16λ 其中 x∈[-4,4]; 3 当 0<λ< 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足-4≤x≤4 的部 4

5

分; 3 当 <λ<1 时, 点 M 的轨迹为中心在原点、 长轴在 x 轴上的椭圆满足-4≤x≤4 的部分; 4 当 λ≥1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆. 12.解:如图,可得直线 l:x=-2 与 x 轴交于点 A(-2,0),设 P(-2, m), (1)当 m=0 时,点 P 与点 A 重合,这时 OP 的垂直平分线为 x=-1, 由∠AOP=∠MPO=0° ,得 M(-1,0); (2)当 m≠0 时,设 M(x0,y0), ①若 x0>-1,由∠MPO=∠AOP 得 MP∥OA,有 y0=m, m m 又 kOP=- ,OP 的中点为(-1, ), 2 2 m 2 ∴OP 的垂直平分线为 y- = (x+1),而点 M 在 OP 的垂直平分线上, 2 m m 2 ∴y0- = (x0+1),又 m=y0, 2 m y0 2 于是 y0- = (x0+1),即 y2 0=4(x0+1)(x0>-1). 2 y0 ②若 x0<-1,如图,由∠MPO=∠AOP 得点 M 为 OP 的垂直平分线与 x 轴的交点,在 m 2 m2 m2 y- = (x+1)中,令 y=0,有 x=- -1<-1,即 M(- -1,0), 2 m 4 4 ∴点 M 的轨迹 E 的方程为 y2=4(x+1)(x≥-1)和 y=0(x<-1).

6


第八章 第八节 曲线与方程

第八章 第八节 曲线与方程一、选择题 1 2 1. 已知| AB |=3, A、 B 分别在 y 轴和 x 轴上运动, O 为原点, OP = OA + OB , 3 3 则动点 P...

第八章 第八节 曲线与方程

课时提升作业(五十八) 一、选择题 2 2 1.(2013·九江模拟)方程(x-y) +(xy-1) =0 表示的是( ) (A)一条直线一条双曲线 (B)两条双曲线 (C)两...

第八章 第八节 曲线与方程(理科)

第八章 第八节 曲线与方程(理科) 隐藏>> 一、选择题 1.(2012· 济南模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0 的曲线是( A.一条直线和一条双曲线 C.两个点 ?...

第八章 第八节 曲线与方程

第八章 第八节 曲线与方程 一、选择题 1. 已知| A B |=3, B 分别在 y 轴和 x 轴上运动, 为原点, O P = A、 O 则动点 P 的轨迹方程是 x A...

第八章 第八节 曲线与方程(理科)

第八章 第六节 双曲线1 53页 免费 曲线和方程(1) 16页 免费 31-曲线与方程 11页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建...

《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第八章 第八节 曲线与方程

《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第八章 第八节 曲线与方程 隐藏>> 第八章 第八节 曲线与方程一、选择题 ??? 1 ??? 2 ??? ? ? ...

第八章 第九节 曲线与方程[理]

8.10 曲线与方程 5页 免费 第八章 第九节 曲线与方... 39页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

第八篇第八节:曲线与方程

第八第八节:曲线与方程_数学_高中教育_教育专区。第八第八节考纲要求了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 解析几何 曲线与方程 分线交于点 M,则点 M...

第八章第8讲曲线与方程

第8 讲 曲线与方程 ,[学生用书 P173]) 1.曲线与方程 在平面直角坐标系中,...第八章 第八节 曲线与... 49页 免费 第八章 第八节 曲线与... 42页...

【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第八章 第八节 曲线与方程演练知能检测 文

【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第八章 第八节 曲线与方程演练知能检测 文_数学_高中教育_教育专区。第八节 圆锥曲线的综合问题 [全盘巩固] 1...