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8平面向量 Word版含答案


一、选择题 1.设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 C .2 5 [解析] 本题考查向量的模及垂直问题. ∵a⊥b,∴a· b=0,∴x-2=0,∴x=2, ∴a+b=(3,-1),|a+b|= 10. B. 10 D.10

)

[方法点拨] 1.平面向量的平行与垂直是高考命题的主

要方向之一,此类题常见命题形式 是:①考查坐标表示;②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合,解题时直接运用向 量有关知识列出表达式,再依据相关知识及运用相关方法加以解决. 2.点共线和向量共线,直线平行与向量平行既有联系又有区别. 3.注意垂直与平行的坐标表示不要混淆. 2.(文)(2014· 新课标Ⅱ理,3)设向量 a、b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 C .3 B.2 D.5 )

[解析] 本题考查平面向量的模,平面向量的数量积. ∵|a+b|= 10,|a-b|= 6,∴a2+b2+2a· b=10,a2+b2-2a· b=6. 联立方程解得 ab=1,故选 A. 3 (理)设向量 a,b 满足|a|=2,a· b= ,|a+b|=2 2,则|b|等于( 2 1 A. 2 3 C. 2 B.1 D.2 )

[解析] ∵|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=4+3+|b|2=8,∴|b|=1. 3.(文)(2015· 四川文,2)设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x=( A.2 C .4 B.3 D.6 )

[解析] 由向量平行的性质,有 2?4=x?6,解得 x=3,选 B. [方法点拨] 若 a 与 b 都是非零向量 λμ≠0, 则 λa+μb=0?a 与 b 共线; 若 a 与 b 不共线, x1 x2 则 λa+μb=0?λ=μ=0,a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)共线?x1y2-x2y1=0? = (y1y2≠0). y1 y2 → → (理)(2015· 新课标Ⅰ文,2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=( A.(-7,-4) C.(-1,4) B.(7,4) D.(1,4) )

[解析] 本题主要考查平面向量的线性运算. → → → BC=BA+AC=(-3,-1)+(-4,-3)=(-7,-4).故本题正确答案为 A. 4.(2015· 北京文,6)设 a,b 是非零向量,“a· b=|a||b|”是“a∥b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 考查充分必要条件、向量共线. a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉 ,由已知得 cos〈a,b〉=1,即〈a,b〉=0,a∥b.而当 a∥b 时, 〈a,b〉还可能是 π,此时 a· b=-|a||b|,故“a· b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件. 5.(文)如果不共线向量 a、b 满足 2|a|=|b|,那么向量 2a+b 与 2a-b 的夹角为( π A. 6 π C. 2 π B. 3 2π D. 3 ) )

[解析] ∵(2a+b)· (2a-b)=4|a|2-|b|2=0, ∴(2a+b)⊥(2a-b),∴选 C. (理)若两个非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 ?a+b?· ?a-b? a2-b2 -2a2 = = 2 4a |a+b|· |a-b| ?2|a|?2 )

[解析] 解法 1:由条件可知,a· b=0,|b|= 3|a|,则 cosθ= 1 2π =- ?θ= . 2 3

2π 解法 2:由向量运算的几何意义,作图可求得 a+b 与 a-b 的夹角为 . 3

[方法点拨] 两向量夹角的范围是[0,π],a· b>0 与〈a,b〉为锐角不等价;a· b<0 与〈a, b〉为钝角不等价. → 6.(2015· 广东文,9)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形,AB= → → → (1,-2),AD=(2,1),则AD· AC=( )

A.5 C .3

B.4 D.2

[解析] 考查:1.平面向量的加法运算;2.平面向量数量积的坐标运算. → → → 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以 → → AD· AC=2×3+1×(-1)=5,故选 A. → 7.(文)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点,那么EF =( ) 1→ 1 → A. AB- AD 2 3 1→ 1 → C. AB+ DA 3 2 1→ 1 → B. AB+ AD 4 2 1→ 2 → D. AB- AD 2 3

→ → → → 1→ → 1→ 1→ 2 → [解析] EF=AF-AE=AB+ AD-(AD+ AB)= AB- AD. 3 2 2 3 → |BC| → → → (理)已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若OA+2OC=3OB,则 的值为( → |AB| 1 A. 2 1 C. 4 → → → [解析] ∵OA+2OC=3OB, → → → → ∴OA-OC=3(OB-OC), → → → → ∴CA=3CB,∴BA=2CB, → |BC| 1 → → ∴|BA|=2|CB|,∴ = ,故选 A. → 2 |AB| 8.(文)(2014· 新课标Ⅰ理,10)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一 → → 点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|=( 7 A. 2 C .3 5 B. 2 D.2 ) 1 B. 3 1 D. 6 )

[解析] 抛物线的焦点坐标是 F(2,0),过点 Q 作抛物线的准线的垂线,垂足是 A,则|QA| → |PQ| 3 → → =|QF|,抛物线的准线与 x 轴的交点为 G,因为FP=4FQ,∴ = ,由于三角形 QAP 与三 → 4 |PF| → |QA| |PQ| 3 角形 FGP 相似,所以可得 = = ,所以|QA|=3,所以|QF|=3. |FG| → 4 |PF|

(理)(2014· 中原名校第二次联考)在三角形 ABC 中,∠A=60° ,∠A 的平分线交 BC 于 D, → 1→ → AB=4,AD= AC+λAB(λ∈R),则 AD 的长为( 4 A.1 C .3 B. 3 D.3 3 )

→ 1→ → → [解析] 在 AC 上取 E 点,在 AB 上取 F 点,使AE= AC,AF=λAB, 4 → 1→ → → → ∵AD= AC+λAB=AE+AF, 4 AF CD CE ∴DE∥AB,DF∥AC,∴ = = =3,∵AF+BF=AB=4,∴ BF BD AE BF=1,AF=3,在△ADF 中,AF=3,DF=3,∠DFA=120° ,∴AD= 3 3. 9.(文)(2014· 湖南文,10)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0), → → → → 动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是( A.[4,6] C.[2 3,2 7] )

B.[ 19-1, 19+1] D.[ 7-1, 7+1]

[解析] 考查了向量的坐标运算,圆的有关知识. → 设 D(x,y),则由|CD|=1,得(x-3)2+y2=1, → → → 而|OA+OB+OD|= ?x-1?2+?y+ 3?2表示点 D(x,y)到点(1,- 3)的距离,(x-3)2+y2 =1 表示以(3,0)为圆心,1 为半径的圆,点(1,- 3)与点(3,0)的距离为 7, → → → ∴|CA+OB+OD|的取值范围为[ 7-1, 7+1]. (理)(2015· 湖南文,9)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB⊥BC.若点 P 的坐标 为(2,0),则|P A +P B +P C |的最大值为( A.6 C .8







) B.7 D.9

[解析] 考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质. 由题根据所给条件不难得到该圆 x2+y2=1 是以 AC 为直径的圆,然后根据所给条件结合 → → → 向量的几何关系不难得到|PA― →+PB― →+PC― →|=|2PO― →+PB― →|,又PB=OB-OP, → → → → → → → → ∴ | PA + PB + PC | = |2 PO + OB - OP | = | OB - 3 OP | = → → → → = |OB|2+9|OP|2-6OB· OP

1+9×4-12cos∠POB= 37-12cos∠POB≤7,当且仅当∠POB=180° 时取等号,故最大 值为 7,选 B. → 10.(文)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° ,点 E、F 分别在边 BC、DC 上,BE=

2 → → → → → → → λBC,DF=μDC.若AE· AF=1,CE· CF=- ,则 λ+μ=( 3 1 A. 2 5 C. 6 → → → → → [解析] ∵AE=AB+BE=AB+λBC, → → → → → AF=AD+DF=AD+μDC, → → → → → → ∴AE· AF=(AB+λBC)· (AD+μDC) → → → → → → → → =AB· AD+λAD· BC+μAB· DC+λμBC· DC =2×2×cos120° +4λ+4μ+λμ(2×2×cos120° ) =-2+4(λ+μ)-2λμ=1,① 2 B. 3 7 D. 12

)

→ → → → CE· CF=(1-λ)CB· (1-μ)CD 2 =-2(1-λ)(1-μ)=- , 3 2 ∴λμ-(λ+μ)=- .② 3 5 解①②组成的方程组得 λ+μ= . 6 [方法点拨] 1.熟记平面向量的数量积、夹角、模的定义及性质是解答求模与夹角问题的 基础. 2.充分利用平面向量的几何运算法则、共线向量定理、平面向量数量积的运算法则、平 面向量基本定理,探究解题思路是解决平面向量问题的保证. x2 y2 (理)(2015· 江西质检)设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线 a b → → → → → 右支上存在一点 P,使(OP+OF2)· F2P=0,O 为坐标原点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心 率为( A. 2 C .2 [答案] D → → → → → → → → → → [解析] 由(OP+OF2)· F2P=0, 得(OP+OF2)· (OP-OF2)=0, 即|OP|2-|OF2|2=0, 所以|OP → |=|OF2|=c, 所以△PF1F2 中, 边 F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半, 则 PF1⊥PF2, 即|PF1|2+|PF2|2 ) B. 3 D. 5

4 2 → =4c2,又|PF1|=2|PF2|,解得|PF1|= c,|PF2|= c. 5 5 所以|PF1|-|PF2|= 二、填空题 → → → → → → 11.(文)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD· BE=________. 1 [答案] - 4 b → → → 1 → → → - ? [解析] 如图,令AB=a,AC=b,AD= (a+b),BE=BC+CE=(b-a)+? ? 3? 2 2 = b-a, 3 2 c c=2a,所以 e= = 5. a 5

→ → ?a b? ?2 ? ∴AD· BE=?2+2?· ?3b-a? 1 |a|2 |b|2 1 = a· b- + - a· b 3 2 3 2 = |b|2 |a|2 1 1 1 1 1 1 - - a· b= - - × =- . 3 2 6 3 2 6 2 4

(理)(2015· 天津文,13)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC= → 2→ → 1 → → → 60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上, 且BE= BC, DF= DC,则AE· AF 的值为________. 3 6 [答案] 29 18

[解析] 考查平面向量的数量积. 1 → → 如图,O 为 AB 的中点,设 A O =a,A D =b,则|a|=|b|=1 且 a· b= ,根据梯形的性质可 2 2 4 2 → → → → → → → → 2 → 得 D C =A O =a,B C =O D =b-a.所以 A E =A B +B E =A B + B C =2a+ (b-a)= a+ 3 3 3 3 2 → → → → 1 → 1 → → ?4a+2b? ?1a+b? 2 2 13 b.A F =A D +D F =A D + D C = a+b.所以 A E · A F =?3 3 ?· b+ b2= ?6 ?=9a + 9 a· 6 6 3 29 . 18

1 12.(文)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cosα= ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 3 的夹角为 β,则 cosβ=________. [答案] 2 2 3

[解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算. 1 2 依题意 e1· e2=|e1||e2|cosα= ,∴|a|2=9e2 e2+4e2 =9,∴|a|=3, 1-12e1· 3 |b|2=9e2 e2+e2 b=9e2 e2+2e2 1-6e1· 2=8,a· 1-9e1· 2=8,∴|b|=2 2, cosβ= a· b 8 2 2 = = . |a|· |b| 3×2 2 3

(理)如图所示,A、B、C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 → → → O 外的点 D,若OC=mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是________.

[答案] (-1,0) → → [解析] 根据题意知,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线的交点为 D,则OD=tOC. ∵D 在圆外,∴t<-1, → → → → → 又 D、A、B 共线,∴存在 λ、μ,使得OD=λOA+μOB,且 λ+μ=1,又由已知,OC=mOA → +nOB, → → → → ∴tmOA+tnOB=λOA+μOB, 1 ∴m+n= ,故 m+n∈(-1,0). t → → 13.(2015· 安徽文,15)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC =2a+b,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号) ①a 为单位向量; ②b 为单位向量; → ③a⊥b; ④b∥BC; → ⑤(4a+b)⊥BC. [答案] ①④⑤ [解析] 考查 1.平面向量的基本概念;2.平面向量的性质. ∵等边三角形 ABC 的边长为 2,AB― →=2a,∴|AB― →|=2|a|=2?|a|=1,故①正确;

∵AC― →=AB― →+BC― →=2a+BC― →,∴BC― →=b?|b|=2,故②错误,④正确; 由于 AB― →=2a, BC― →=b?a 与 b 夹角为 120° , 故③错误; 又∵(4a+b)· BC― →=(4a+b)· b 1 =4a· b+|b|2=4×1×2×(- )+4=0,∴(4a+b)⊥BC― →,故⑤正确,因此,正确的编号是① 2 ④⑤. → → → → 14. (文)如图, 在四边形 ABCD 中, AC 和 BD 相交于点 O, 设AD=a, AB=b, 若AB=2DC, → 则AO=________(用向量 a 和 b 表示).

[答案]

2 1 a+ b 3 3

1 → → → → 1→ → → → 2→ 2 [解析] 据题意可得AC=AD+DC=AD+ AB=a+ b, 又由AB=2DC, 可得AO= AC= 2 2 3 3 1 2 1 (a+ b)= a+ b. 2 3 3 x≥1, ? ? (理)已知 O 为坐标原点,点 M(3,2),若 N(x,y)满足不等式组?y≥0, ? ?x+y≤4. 大值为________. [答案] 12 [解析] 据不等式组得可行域如图所示: → → 则OM· ON的最

→ → 由于 z=OM· ON=3x+2y,结合图形进行平移可得点 A(4,0)为目标函数取得最大值的最优 解.即 zmax=3×4+2×0=12. 三、解答题 15.(文)已知向量 a=(cosθ,sinθ),θ∈[0,π],向量 b=( 3,-1). (1)若 a⊥b,求 θ 的值; (2)若|2a-b|<m 恒成立,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)∵a⊥b,

∴ 3cosθ-sinθ=0,得 tanθ= 3. π 又 θ∈[0,π],∴θ= . 3 (2)∵2a-b=(2cosθ- 3,2sinθ+1), ∴|2a-b|2=(2cosθ- 3)2+(2sinθ+1)2 1 3 π =8+8( sinθ- cosθ)=8+8sin(θ- ). 2 2 3 π π 2π 又 θ∈[0,π],∴θ- ∈[- , ], 3 3 3 π 3 ∴sin(θ- )∈[- ,1], 3 2 ∴|2a-b|2 的最大值为 16,∴|2a-b|的最大值为 4. 又|2a-b|<m 恒成立,∴m>4. (理)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c. (1)设向量 x=(sinB,sinC),向量 y=(cosB,cosC),向量 z=(cosB,-cosC),若 z∥(x+ y),求 tanB+tanC 的值; (2)若 sinAcosC+3cosAsinC=0,证明:a2-c2=2b2. [解析] (1)x+y=(sinB+cosB,sinC+cosC), ∵z∥(x+y), ∴cosB(sinC+cosC)+cosC(sinB+cosB)=0, 整理得 tanC+tanB+2=0, ∴tanC+tanB=-2. (2)证明:∵sinAcosC+3cosAsinC=0, a2+b2-c2 b2+c2-a2 ∴由正、余弦定理得:a· +3× ×c=0, 2ab 2bc ∴a2-c2=2b2. ωx 1 ωx 1 16.(文)已知向量 a=(sin , ),b=(cos ,- )(ω>0,x≥0),函数 f(x)=a· b 的第 n(n 2 2 2 2 ∈N*)个零点记作 xn(从左向右依次计数),则所有 xn 组成数列{xn}. 1 (1)若 ω= ,求 x2; 2 (2)若函数 f(x)的最小正周期为 π,求数列{xn}的前 100 项和 S100. ωx ωx 1 1 1 [解析] f(x)=a· b=sin cos - = sinωx- . 2 2 4 2 4 1 1 1 1 (1)当 ω= 时,f(x)= sin( x)- , 2 2 2 4 π 5π 5π 令 f(x)=0,得 x=4kπ+ 或 x=4kπ+ (k∈Z,x≥0),取 k=0,得 x2= . 3 3 3

(2)因为 f(x)最小正周期为 π,则 ω=2, 1 1 故 f(x)= sin2x- , 2 4
49 π 5π π 5π 令 f(x)=0 得 x=kπ+ 或 x=kπ+ (k∈Z,x≥0),所以 S100= ?[(kπ+ )+(kπ+ )] 12 12 12 12 k=0

49 π π = ? (2kπ+ )=2π(0+1+2+?+49)+50× 2 2 k=0

=50×49π+25π=2475π. [方法点拨] 1.不含坐标的向量综合问题,解答时,按向量有关概念、性质、法则等通过 运算解决,若条件方便建立坐标系,则建立坐标系用坐标运算解决,给出坐标的向量综合问 题,直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理. 2.向量与其他知识交汇的题目,先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣,转化为相 应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题,再按相应的知识选取解答方法. x2 y2 (理)(2015· 太原市一模)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是点 F1、F2,其离心 a b 1 4π 率 e= ,点 P 为椭圆上的一个动点,△PF1F2 内切圆面积的最大值为 . 2 3 (1)求 a,b 的值; → → → → → → (2)若 A、B、C、D 是椭圆上不重合的四个点,且满足F1A∥F1C,F1B∥F1D,AC· BD=0, → → 求|AC|+|BD|的取值范围. [解析] (1)由题意得,当点 P 是椭圆的上、下顶点时,△PF1F2 内切圆面积取最大值,设 4π 2 3 △PF1F2 内切圆半径为 r,则 πr2= ,r= , 3 3 1 此时 S△PF1F2= · |F F |· |OP|=bc, 2 1 2 1 又∵S△PF1F2= · (|F F |+|F1P|+|F2P|)· r 2 1 2 = 2 3 (a+c), 3

2 3 c 1 ∴bc= (a+c),∵e= = ,∴a=2c, 3 a 2 ∴b=2 3,a=4. → → → → → → (2)∵F1A∥F1C,F1B∥F1D,AC· BD=0,∴直线 AC 与 BD 垂直相交于点 F1, x2 y2 由(1)得椭圆的方程为 + =1,则 F1 的坐标为(-2,0), 16 12 → → ①当直线 AC 与 BD 中有一条直线斜率不存在时,易得|AC|+|BD|=6+8=14,

②当直线 AC 斜率 k 存在且 k≠0 时,则其方程为 y=k(x+2),设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 y=k?x+2?, ? ? 2 2 点 A,C 的坐标是方程组? x 的两组解. y ?16+12=1 ? ∴(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0. -16k ? ?x +x =3+4k , ∴? 16k -48 ? ?x x = 3+4k ,
1 2 2 2 1 2 2 2

24?k +1? → ∴|AC|= 1+k2|x1-x2|= . 3+4k2 1 此时直线 BD 的方程为 y=- (x+2). k

2

?y=-k?x+2?, 同理,由? x y ?16+12=1,
2 2

1

→ 24?k +1? 可得|BD|= . 3k2+4

2

2 2 → → 24?k +1? 24?k +1? ∴|AC|+|BD|= + 2 2 4k +3 3k +4

168?k2+1?2 = 2 . ?3k +4??4k2+3? → → 令 t=k2+1(k≠0),则 t>1,∴|AC|+|BD|= 168 , t-1 12+ 2 t

t-1 1 96 → → ? ∵t>1,∴0< 2 ≤ ,∴|AC|+|BD|∈? ? 7 ,14?, t 4 96 → → ? 由①②可知,|AC|+|BD|的取值范围是? ? 7 ,14?.


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