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珠海市2010年9月高三第一次考试 数学理


珠海市 2010 年 9 月高三第一次考试 理科数学试题及参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1 . 全 集 U = { -,,,1, 1 2 , 4, 5 集 合 A ? {? 1 0 , 2 3} B ? {-2, 4, 6} , 则 3 - 2

-, 0, ,3 , 6} , 1, , , 3, 5,

CU ( A ? B) ?

A . {?3}
-2 -1 0,2, 5, C . {-3,,,1, 4, 6}
x

? B . {?3, 2}

D . {3}

2.函数 f ( x) ? log a (2 ? ) ( a ? 0, a ? 1) 的定义域是

1 2

? A . (1, ?)
x

B . (??,?1)
?x

1) C . (??,

? D . (?1, ?)

3.函数 f ( x) ? a ? a

? 1 , g ( x) ? a x ? a ? x ,其中 a ? 0,a ? 1 ,则

A . f ( x)、g ( x) 均为偶函数
C . f ( x) 为偶函数 , g ( x) 为奇函数

B . f ( x)、g ( x) 均为奇函数 D . f ( x) 为奇函数 , g ( x) 为偶函数

4.如右图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角 形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( (A) )

4 3 ? 3 3 ? 3

(B) ? 正 视 图 俯 视 图 侧 视 图

1 2

(C)

(D)

3 ? 6
2

5. “ a ? 2 ”是“函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在区间 [?1 ? ?) 上为增 , 函数”的 A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 18 ? a6 ,则 S8 = A. 68 B. 72 C.54 D. 90

7.已知点 A(1, ?2), B(5,6) 到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 a 的值等于 A.-2 或 1 B.1 或 2 C.-2 或-1 D.-1 或 2

1

8.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.

x2 y2 . ? ? 1 的离心率 e =2 ,则双曲线的焦距为 a 2 12 ? ? ? ? ? ? ? 10.已知 | a |? 2, | b |? 4 ,且 ( a ? b ) 与 a 垂直,则 a与b 的夹角是___.(或 120 度)
9.已知双曲线 11. 下图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是

12.显示屏有一排并列 4 个小孔,每个小孔可显示 0 或 1,若每次显示其中二个孔,但相邻 两孔不能同时显示,则该显示屏能显示的信号总数共有
0 13. 已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、c 且 a ? 1 , ?B ? 45 , S?ABC ? 2 ,

则b ?

.

14. (坐标系与参数方程选做题)圆的半径为 1,圆心的极坐标为 (1, ,则圆的极坐标 0) 方程是 15. (几何证明选讲选做题)如图 P 是 ? O 的直径 AB 延长线上一点, PC 与

? O 相切于点 C , ?APC 的角分线交 AC 于点 Q ,则
?AQP的大小为
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文 字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)

A Q

O

B

P

C

f ( x) ? 3 cos 2

1 1 1 x ? sin x cos x . 2 2 2

(Ⅰ)将 f (x) 化为 A sin(?x ? ? ) ? k (? ? 0,? ? ? 0 (Ⅱ)写出 f ( x) 的最值及相应的 x 值; (Ⅲ)若 ?

?
2

) 的形式;

?
3

?? ?

?
6

,且 f (? ) ?

3 3 ? ,求 cos 2? . 5 2

2

17. (本小题满分 12 分) 某学校共有高一、高二、高三学生 2000 名,各年级男、女生人数如下图:
女生人数 x 373 y 男生人数

377

370 z

高一

高二 高三

年级

高一

高二

高三

年级

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (Ⅲ)已知 y ? 245, z ? 245 ,求高三年级中女生比男生多的概率.

18 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 P-ABCD 是 底 面 边 长 为 1 的 正 方 形 , PD ⊥ ( BC,PD=1,PC= 2 . (Ⅰ)求证:PD⊥面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A-PB-D 的大小.

19.(本小题满分 14 分)

0) 0) 已知椭圆 C 以 F1 (?1, ,F2 (1, 为焦点,且离心率 e ?
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

2 . 2

(Ⅱ)过 M (0, 2) 点斜率为 k 的直线 l1 与椭圆 C 有两个不同交点 P 、Q ,求 k 的范围。 (Ⅲ) 设椭圆 C 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B , 是否存在直线 l1 , (Ⅱ) 满足 中的条件且使得向量 OP ? OQ 与 AB 垂直?如果存在,写出 l1 的方程;如果不存在,请说 明理由。

??? ???? ?

??? ?

3

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? [1,??)) ,数列 ?a n ?满足 a1 ? e, (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式 a n ; (Ⅱ)求 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a n ) ; (Ⅲ)求证: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? e
n ( n ?1) 2

a n ?1 ? e( n ? N * ) . an

(n ? N * ).

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 ln( x ? 1) , a 是常数.
2

(Ⅰ) 证明曲线 y ? f (x) 在点 (2 , f (2)) 的切线经过 y 轴上一个定点; (Ⅱ) 若 f ( x) ? (a ? 3) x 对 ?x ? (2 , 3) 恒成立,求 a 的取值范围;
/ 2

(参考公式: 3x ? x ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1)(3x ? 4 x ? 2) )
3 2 2

(Ⅲ)讨论函数 f (x) 的单调区间.

4

参考答案
一、选择题 1-5、A D C 二、填空题 9、8 D A 6-8、B C B

10、

2? 3

11、63 15、 135 ?

12、12

13、5

14、 ? ? 2 cos? 三、解答题

16、解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 cos 2 .

? 3?

1 ? cos x 1 ? sin x ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 分 2 2

1 1 1 x ? sin x cos x 2 2 2

? 3 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 4 分 ? sin( x ? ) ? 3 2
(Ⅱ) .当 x ?

?

? 5? =2k? ? ,k ? Z 即 x=2k? ? ,k ? Z 时 ?? ?? 5 分 6 3 2
3 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 6 分 2

f ( x) 得到最小值 ?1 ?
当x?

?

=2k? ? ,k ? Z 即 x ?=2k? ? ,k ? Z 时 ?? ?? ?? 7 分 6 3 2
3 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 8 分 2

?

?

f ( x) 得到最大值 1 ?

(Ⅲ) .由 f (? ) ? sin(? ? ∵?

?
3

)?

3 3 3 ? 3 ? ? 得 sin(? ? ) ? 2 5 2 3 5

?
3

6 3 2 3 2? ? ? 24 ∴ sin(2? ? ) ? 2sin(? ? ) ? cos(? ? ) ? 3 3 3 25 2? ? 7 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 10 分 cos(2? ? ) ? 2cos 2 (? ? ) ? 1 ? 3 3 25 2? 2? 2? 2? 2? 2? ∴ cos 2? ? cos[(2? ? ) ? ] ? cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? )sin 3 3 3 3 3 3
? 24 3 ? 7 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 12 分 50

?? ?

?

,∴ 0 ? ? ?

?

?

?

,∴ cos(? ?

?

)?

4 ?? ?? ?? 9 分 5

x ? 0.19,? x ? 380 ; ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 分 2000 (2)由(1)知高二男女生一起 750 人,又高一学生 750 人,所以高三男女生一起 500 人,
17、解: (1)由已知有 5

按分层抽样,高三年级应抽取

48 ? 500 ? 12 人; ?? ?? ?? ?? 4 分 2000

(3)因为 y ? z ? 500, y ? 245, z ? 245 ,所以基本事件有:

y ? 245, z ? 255; y ? 246, z ? 254; y ? 247 , z ? 253; y ? 248, z ? 252; y ? 249, z ? 251

y ? 250, z ? 250; y ? 251, z ? 249, y ? 252, z ? 248; y ? 253, z ? 247; y ? 254, z ? 246
y ? 255, z ? 245
一共 11 个基本事件. ?? ?? ?? ?? ?? ?? 7 分 其中女生比男生多,即 y ? z 的基本事件有:

y ? 251, z ? 249, y ? 252, z ? 248; y ? 253, z ? 247; y ? 254, z ? 246; y ? 255, z ? 245
共 5 个基本事件, ?? ?? ?? ?? ?? ?? 10 分 故女生必男生多的事件的概率为

5 . ?? ?? ?? ?? ?? ?? 12 分 11
2,

18、(Ⅰ)证明:? PD ? DC ? 1, PC ?

??PDC是直角三角形,即PD ? CD .??2 分

P
又? PD ? BC, BC ? CD ? C ,??4 分 ∴ PD⊥面 ABCD???6 分 (Ⅱ)解:连结 BD,设 BD 交 AC 于点 O, 过 O 作 OE⊥PB 于点 E,连结 AE, ∵PD⊥面 ABCD, ∴ AO ? PD , 又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面 PDB. ∴AO⊥PB, ∵ AE ? PB, AE ? AO ? A , ∴ PB ? 平面AEO ,从而 PB ? EO , 故 ?AEO 就是二面角 A-PB-D 的平面角.????????10 分 ∵ PD⊥面 ABCD, ∴PD⊥BD, ∴在 Rt△PDB 中, PB ?

E D A O B C

PD 2 ? BD 2 ? 1 ? 2 ? 3 ,

又∵

OE OB , ? PD PB

∴ OE ?

6 ,??????12 分 6

2 AO ? tan ?AEO ? ? 2 ? 3, OE 6 6



?AEO ? 60? .

6

故二面角 A-PB-D 的大小为 60°. ???????14 分 (也可用向量解) 19、解:(Ⅰ)设椭圆 C 的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为 a 、b、c 由 题 设 知 :

c ? 1 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 1 分,
由e ?

c 1 1 ,得 a ? 2 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 分 ? ? a a 2

则 b ? 1 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 3 分 ∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 4 分 2

(Ⅱ)过 M (0, 2) 点斜率为 k 的直线 l1 : y ? 2 ? kx 即 l1 : y ? kx ? 2 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 5 分

“ ?? ?? 6 分 与椭圆 C 方程联立消 y 得 (2k ? 1) x ? 4 2 x ? 2 ? 0? ?”
2 2

由 l1 与椭圆 C 有两个不同交点知 其 ? ? 32k ? 8(2k ? 1) ? 0 得 k ? ?
2 2

2 2 ?? ?? ?? ?? 7 分 或k ? 2 2

? ∴ k 的范围是 (??,

2 2 ) ? ( , ?) 。 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 8 分 ? 2 2

(Ⅲ)设 P( x1 ,y1 ) 、Q( x2 ,y2 ) ,则 x1 、x2 是 ?” “ 的二根 则 x1 ? x2 ? ?

4 2k 2 2 ,则 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 4 2k 2 2 , ) ?? ?? ?? 10 分 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? (?

??? ???? ?

0) 1) 1) 由题设知 A( 2 , 、B(0, ,∴ AB ? (? 2 , ?? ?? ?? ?? ?? 11 分
若 (OP ? OQ) ? AB ,须 (OP ? OQ) ? AB ?

??? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ???? ??? ? ?

8k 2 2 ? 2 ? 0 ?? 12 分 2 2k ? 1 2 k ? 1

得k ? ?

2 2 2 ? (??, ? ) ? ( , ?) ?? ?? ?? ?? ?? ?? 13 分 ? 4 2 2

∴不存在满足题设条件的 l1 。 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 14 分 7

20、解: (1)?

a n ?1 ? e ,? ?a n ?是等比数列,又 a1 ? e,? a n ? e n . (5 分) an
n n n

(2)由(1) f (a n ) ? ln e ? e ? 1 ? (n ? 1) ? e ,

? f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a n ) ? [2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)] ? (e ? e 2 ? ? ? e n )


n 2 ? 3n e ? e n ?1 ? . (8 分) 2 1? e

(3) f ?( x) ?

1 (10 分) ? 1,? x ? 1,? f ?( x) ? 0,? f ( x) 递减, x

(12 分) ? f ( x) ? f (1) ,即 f ( x) ? 0, 也就是 ln x ? x ? 1 , 于是 ln 1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? 0 ? 1 ? ? ? (n ? 1) ,即

ln(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?
故 1 ? 2 ? 3?? n ? e

n(n ? 1) , (13 分) 2

n ( n ?1) 2

. (14 分)
/

21、⑴ f (2) ? 2a ? 4 , f ( x) ? 2 x ? a ?

2 ,??1 分 x ?1

f / (2) ? 6 ? a ??2 分,

曲线 y ? f (x) 在点 (2 , f (2)) 的切线为 y ? (2a ? 4) ? (6 ? a)( x ? 2) ??3 分, 当 x ? 0 时,由切线方程得 y ? ?8 ,所以切线经过 y 轴上的定点 (0 , ? 8) ??4 分.

2 3x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? ⑵由 f ( x) ? (a ? 3) x 得 a( x ? 1) ? 3x ? 2 x ? ??5 分, x ?1 x ?1
/ 2

2

2

3 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 (3x 2 ? 4 x ? 2)( x ? 1) ? 对 ?x ? (2 , 3) , x ? 1 ? 0 ,所以 a ? ( x ? 1)( x 2 ? 1) ( x ? 1) 2 ( x ? 1)
2

?
设 g ( x) ?

3x 2 ? 4 x ? 2 ??6 分, ( x ? 1) 2

3x 2 ? 4 x ? 2 ? 2x / ? 0 ??7 分, ,则 g ( x) ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 3

g (x) 在区间 (2 , 3) 单调递减??8 分,
所以 a ? g (3) ?

17 17 , a 的取值范围为 (?? , ] ??9 分. 4 4
2

⑶函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 ln( x ? 1) 的定义域为 (1 , ? ?) , f ( x) ? 2 x ? a ?
/

2 x ?1

= 2[( x ? 1) ?

1 ] ? a ? 2 ? a ? 6 ??10 分. x ?1
8

若 a ? ?6 ,则 f ( x) ? 0 , f (x) 在定义域 (1 , ? ?) 上单调增加??11 分;
/

若 a ? ?6 ,解方程 f / ( x) ? 2 x ? a ?

2 ? a ? (a ? 2)( a ? 6) 2 , ? 0 得 x1 ? 4 x ?1

x2 ?

2 ? a ? (a ? 2)( a ? 6) ??12 分, 4

x1 ? x 2 ? 1 ,当 x ? x1 或 1 ? x ? x2 时, f / ( x) ? 0 ;
当 x 2 ? x ? x1 时, f ( x) ? 0 ??13 分,
/

所以 f (x) 的单调增区间是 (1 , x2 ) 和 ( x1 , ? ?) , 单调减区间是 [ x 2 , x1 ](区间无论包含端 点 x1 、 x 2 均可,但要前后一致)??14 分

9


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