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双曲线及其标准方程导学案(教师用)


2.3.1

双曲线及其标准方程导学案(教师用)

一、学法指导 1、通过导学案探究新知,大胆质疑,积极思考,寻求答案。体会数学知识的发 现与形成。 2、独立思考、认真完成,部分难点可以和学习小组的同学交流探讨,共同完成。 3、掌握好学习时间,希望 40 分钟内完成。 二、学习目标 1.理解双曲线的定义。了解并建立双曲线的标准方程,确定双曲

线的标准方程。 2.重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。 3.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地 解决问题; 通过小组学习, 激发学生学习数学的兴趣, 培养学生勇于探索的精神。 三、教学重点、难点 重点:双曲线的定义及其标准方程。 难点:双曲线标准方程的建立过程及推导。 【旧知复习】 1、圆锥曲线中椭圆的定义及其标准方程。 2、椭圆标准方程的推导方法及过程。 【新知探究】 探究一、平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于非零常数(大于 F1 F2 )的点的 轨迹叫做椭圆。思考平面内这平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差等于非零常 数的点的轨迹又是什么曲线? 利用课件来演示得到满足这样条件的曲线:点 M 到两定点 F1和 F2的距离之差为 常数,记为2a, F1 F2 =2 c M F1 F2 F
1

M F
2

|MF1|-|MF2|=—2a

|MF1|-|MF2|=2a

类比椭圆的定义,写出双曲线的定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的 差的绝对值等于非零常数(小于<|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做 双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 数学简记: || MF 1 | ? | MF 2 || ? 2 a ( 0 ? 2 a ? 2 c ? | F1 F 2 | ) 探究二、1、双曲线定义中的条件“非零常数2 a (小于 F1 F2 )”去掉后,点的轨 迹有是什么曲线呢?

当 2 a =0时,轨迹是线段 F1 F2 的垂直平分线. 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是以 F1 、 F2 为端点的反向的两条射线 当2 a ﹥2 c 时, 轨迹不存在 2、双曲线定义中的关键词“绝对值”能否去掉,去掉后结果怎样? 定义中“差的绝对值”中“绝对值”去掉,点的轨迹为双曲线的一支.当
| MF1 | ? | MF2 |? 2 a 时, | 曲线仅表示与焦点 F2 所对应的一支; MF1 | ? | MF2 |? ? 2 a

时,曲线仅表示与焦点 F1 所对应的一支. 探究三、类比椭圆标准方程的建立及推导过程,试推导双曲线的标准方程? 第一步:建立直角坐标系;以两定点 F1 、 F2 所在直线为 x 轴, F1 F2 的中垂线为
y 轴建立坐标系.

第二步:设点:设动点 M ( x , y ) 是双曲线上任意一点,设 | F1 F2 |? 2 c ,则 F1 ( ? c,0) ,
F2 ( c , 0) ,又设 M 与 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于 2a .

第三步:启发学生根据定义写出 M 点的轨迹构成的点集: P ? ?M MF 1 ? MF 2 ? ? 2 a ?; 第四步:建立方程:
( x ? c) ? y
2 2

y M
F1

?

( x ? c) ? y
2

2

? ?2 a

O

F2 x

第五步:化简, ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2 a
? ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 4a ( x ? c) ? y ? 4a
2 2 2 2 2 2 2

? cx ? a ? ? a ( x ? c ) ? y
2 2
2 2 2 2

2

? ( cx ? a ) ? a [( x ? c ) ? y ]
2

? (c ? a ) x ? a y ? a (c ? a ) ,
2 2 2 2 2 2 2 2

令 c2 ? a2 得到
x a
2 2
2 2

?b
y b

2

(b ? 0 ) ,得 b 2 x 2 ? a 2 y 2
? 1( a ? 0 , b ? 0 )

?a b
2

2

,即

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

2 2

?

我们得到了焦点在 x 轴上,且焦点是 F1 ( ? c ,0 ) 和 F 2 ( c ,0 ) 的双曲线标准方程为
x a ? y b
2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,这里 c 2 ? a 2 ? b 2

以 F1 F2 所在的直线为 y 轴, F1 F2 的中垂线为 x 轴建系,那么得到焦点在y轴上即
F1 (0, ? c ) , F2 (0, c ) 为焦点的双曲线标准方程为

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 (其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ,

a ? 0 , b ? 0 ).

【思考】椭圆与双曲线标准方程的区别?
名 称 椭
y
y







线

图 象

O

x
O

x

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和 为常数(大于 F1 F2 )的动点的轨迹叫 定 义 椭圆。即 MF 1 ? MF 2 ? 2 a

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差 的绝对值为常数(小于 F1 F2 )的动点 的 轨 迹 叫 双 曲 线 。 即
MF 1 ? MF 2 ? 2 a

焦点在 x 轴上时:

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

焦点在 x 轴上时:

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

标 准 方 程

焦点在 y 轴上时:

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

焦点在 y 轴上时:

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

注: 是根据分母的大小来判断焦点在 哪一坐标轴上 常 数
a, b, c
2 2 2

注:是根据项的正负来判断焦点所 在的位置
2 2 2

a ? c ? b (符合勾股定理的结构) c ? a ? b (符合勾股定理的结构)

a ? b ? 0,

c?a?0

的 关 系

a 最大, c ? b , c ? b , c ? b

c 最大,可以 a ? b , a ? b , a ? b

【自测题目】 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 . (2)焦点在 x 轴上,经过点 ( ? 2 , ? 3 ) , (
15 3 , 2)

.

(3)焦点为 (0, ? 6) , (0, 6) ,且经过点 (2, ? 5) . 解: (1)
x
2

?

y

2

16

9

? 1; (2) x ?
2

y

2

3

? 1 (3)

y

2

?

x

2

20

16

? 1.

【例 1】 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 ( ? 5,0 ) 、F 2 (5,0 ) , 双曲线上一点 P 到 F1 、 F 2 的距离的差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程。 解:因为双曲线的焦点再 x 轴上,所以设它的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,

因为 2a=6,2c=10,所以 a=3,c=5。

所以 b 2 ? 5 2 ? 3 2 ? 16 , 所以所求双曲线的标准方程为
x
2

?

y

2

9

16

?1。

【变式】已知两个定点的坐标为 F1 ( ? 5,0 ) 、 F 2 (5,0 ) ,动点 P 到 F1 、 F 2 的距离的 差等于 6,求 P 点的轨迹方程。 解:因为 PF1 ? PF 2 ? 6 ,所以 P 的轨迹是双曲线的右支,设双曲线标准方程 为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,

因为 2a=6,2c=10,所以 a=3,c=5。 所以 b ? 5 ? 3 ? 16 ,
2 2 2

所以所求 P 点的轨迹方程为 【练习 1】已知方程 __
x
2

x
2

2

9
? y 9 m ?1

?

y

2

16

? 1( x ? 3 )

?1

表示双曲线,则 m 的取值范围是 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 是

m ? ?1

______ ? 10 ? m , 0 __________,焦距是________ 2 10 ? m ________; 【变式】若将 9 改成 2 ? m ,则 m 的取值范围是_____。
解:当方程表示双曲线时, (2 ? m )( m ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? 1 或 m ? ? 2 .

?

_______

?







【练习 2】双曲线

x

2

16

?

y

2

9

? 1 上一点 p 到焦点 5,0) ( 的距离为 15,那么该点到另一

( 个焦点 - 5,0) 的距离为_7 或 23__。
2 2 【变式 1】双曲线 4 x ? y ? 64 ? 0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1 , 求点 P 到另一个焦点的距离.

解: 双曲线可化为

y

2

?

x

2

64

16

? 1, a ? 8 ∴

| .∴ || PF1 | ? | PF2 ||? 16 , PF2 |? ? 16 ? | PF1 | ,

| PF2 |? 17 或 PF 2 ? ? 15 (舍去).

【变式 2】双曲线

x

2

64

?

y

2

36

? 1 上一点 P 到焦点 ? 10 , 0) ( 的距离为 17,那么该点到另

( 一个焦点 - 10 , 0) 的距离为_33__。

【学习评价】 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A.很好 B.较好 C.一般

) D.较差


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