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高一数学三角函数的周期性


课题:三角函数的周期性 教学目标: 1.使学生理解函数周期性的概念。 2.使学生掌握简单三角函数的周期的求法. 3.培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。 教学重点:函数周期性的概念. 教学难点:周期函数与最小正周期的意义。 课时安排:一课时 授课类型:新授课 教学过程与设计: 一、 问题情境: 1、 引入:通过前面三角函数线的学习,我们知道每当角增加或减少 2k? 时,所 得

角的终边与原来角的终边相同,因而两角的正弦函数值也相同,正弦函数的 这种性质叫周期性.不但正弦函数具有这种性质,其它的三角函数和不少的函 数也都具有这样的性质,这就是今天研究的课题:函数的周期性. 2、 问题:那么如何用数学语言来刻画函数的周期性呢? 二、 建构数学 1、我们先看函数周期性的定义. 定义 对于函数 f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个 值时, f ( x ? T ) ? f ( x) 都成立,那么就把函数 f ( x) 叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做 这个函数的周期. 2、需要注意的几点: ①T 是非零常数。 ②任意 x ? D ,都有 x ? T ? D , T ? 0 ,可见函数的定义域无界是成为周期函数的必 要条件。 ③任取 x ? D ,就是取遍 D 中的每一个 x ,可见周期性是函数在定义域上的整体性质。 理解定义时,要抓住每一个 x 都满足 f ( x ? T ) ? f ( x), 成立才行 周期也可推进,若 T 是 y ? f (x) 的周期,那么 2T 也是 y ? f (x) 的周期.这是因为 若 f (2T ? x) ? f [T ? (T ? x)] ? f (t ? x) ? f ( x) , T 是 y ? f (x) 的周期,k ? Z且k ? 0, 则 kT 也 是 f(x) 的 周 期 . 即 2? 是 函 数 y ? sin x和y ? cos x 的 周 期 , 那 么 (一)、周期函数定义

2k? (k ? Z且k ? 0)也是y ? sin x和y ? cos x 的周期.
如: sin(

?

? ? 3? ? 3? ? ) ? sin( ), sin( ? ) ? sin( ), ? 4 2 4 4 2 4
?
6 ?

但 sin(

?

2

) ? sin

?

, ? 不是y ? sin x 的周期. 6 2

?

(二) 、最小正周期的概念. 对于一个函数 f(x), 如果它所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数叫 f(x) 的最小正周期. 例如函数 y ? sin x 的周期中,2π ,-2π ,4π ,-4π ,…,存在最小正数 2π ,那么, 2π 就是 y ? sin x 的最小正周期. 函数 y ? cos x 的最小正周期也是 2π ,今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周 期,不是每个周期函数都有最小正周期.

例 1.求下列函数的最小正周期 T. (1) f ( x) ? 3 sin x (2) f ( x) ? sin 2 x (3) f ( x) ? 2 sin( x ?

1 2

?
4

)
T ? 2?

解: (1) f ( x) ? 3 sin x ? 3 sin(x ? 2? ) ? f ( x ? 2? )

(2) f ( x) ? sin 2 x ? sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? f ( x ? ? ) ∴ 函数的最小正周期为π . (3) f ( x) ? 2 sin(1 x ? ? ) ? 2 sin(1 x ? ? ? 2? ) ? 2 sin[1 ( x ? 4? ) ? ? ] ? f ( x ? 4? ) 2 4 2 4 2 4 ∴ 函数的最小正周期为 4π . 总结一般规律: y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos( x ? ? ) 的最小正周期是 ?

2? |? |

.



z ? ? x ? ? ,由 y ? A sin z, z ? R 的周期是 2? ,
2? ? z ? 2? ? ?? x ? ? ? ? 2? ? ? ? x ? ? ? ? ? ?? ?



因而自变量 x 只要并且至少要增加到 x ?

2?

?

,即 T ?

2?

?



例 2.求证: (1) y ? cos 2 x ? sin 2 x 的周期为π ; (2) y ?| sin x | ? | cos x | 的周期为 .

?

2

证明: (1) f ( x ? ? ) ? cos 2( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? cos(2? ? 2 x) ? sin(2? ? 2 x)

? cos 2 x ? sin 2 x ? f ( x)
2 2 2

? y ? cos 2 x ? sin 2 x的周期是?

(2) f ( x ? ? ) ?| sin(x ? ? ) | ? | cos(x ? ? ) ?| cos x | ? | ? sin x |?| sin x | ? | cos x |? f ( x) ∴ y ?| sin x | ? | cos x | 的周期是 总结: (1)一般函数周期的定义 (2) y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos( x ? ? ) 周期求法 ? 课堂教学设计说明 函数周期性概念的教学是本节课的重点.概念教学是中学数学教学的一项重要内容, 不能因其易而轻视.也不能因其难而回避.概念教学应面向全体学生,但由于函数的周期的 概念比较抽象,所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻.因此,进行概念教学时,除 了逐字逐句分析,还要通过不同的例题,让学生暴露出问题,通过老师的引导,使学生对概 念的理解逐步深入 布置作业:练习 2,习题 1.3 1

?
2

.


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