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7章 第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

时间:2012-12-23


第七章

立体几何

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第一节 空间几何体的结构特征及三视
图和直观图
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1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱 柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立
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体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.

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3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形 的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特

征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

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一、空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ,上下底面是 全等 的 多边形,并且相互 平行 .

多面体
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(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个
公共顶点的三角形. (3)棱台可由 平行于底面 的平面截棱锥得到, 其上下底面是 相似 多边形.

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(1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边旋转得到.

(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边 旋转得到.
(3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰 或等腰梯形绕 旋转体 上下底中点连线 旋转得到,也可由 平行于底面 的平面截圆锥得到.
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(4)球可以由半圆或圆绕 直径 旋转得到.

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二、三视图与直观图

空间几何体的三视图是用 正投影 得到的,这

三视图

种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子
与平面图形的形状和大小是 完全相同 的, 三视图包括 正视图、侧视图、俯视图 .

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直观图

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空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,基 本步骤是: (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交 于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴、y′ 轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′= 45°(或135°) ,已知图形中平行于x轴的线段, 在直观图中长度 保持不变 ,平行于y轴的线段 ,长度变为 原来一半 . (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直 观图中对应的z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图 形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z′轴 且长度 . 不变

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空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别?
提示:观察角度:三视图是从三个不同位置观察几何体 而画出的图形;直观图是从某一点观察几何体而画出的图 形.

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1.下列命题中正确的是(

)

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱


B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体 叫棱柱
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C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体 叫棱锥 D.有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点 的三角形的几何体叫棱锥

解析:根据棱柱、棱锥的定义判断.
答案:D
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2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆,则 这个几何体一定是( A.圆柱 C.球体 ) B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体

解析:当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为
矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.
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答案:C

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3.三视图如下图的几何体是(

)

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A.三棱锥 C.四棱台

B.四棱锥 D.三棱台

解析:由三视图知该几何体为一四棱锥,其中有一侧棱

垂直于底面,底面为一直角梯形.
答案:B
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4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a的正方形,则原平面四边形的面积等于____________. 解析:如图所示.

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原平面四边形面积为a×2 2a=2 2a2. 答案:2 2a2

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5.如图所示,图①、②、③是图④表示的几何体的三视 图,其中图①是________,图②是________,图③是 ________(说出视图名称).

解析:结合三视图的有关概念知,图①是正视图,图②
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是侧视图,图③是俯视图. 答案:正视图 侧视图 俯视图

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1.几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.特别地,当底面是 正多边形时,叫正棱柱(如正三棱柱,正四棱柱).
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(2)正棱锥:指的是底面是正多边形,且顶点在底面的射 影是底面中心的棱锥.特别地,各条棱均相等的正三棱锥又 叫正四面体. 2.理解并掌握空间几何体的结构特征,对培养空间想象

能力,进一步研究几何体中的线面位置关系或数量关系非常
重要,每种几何体的定义都是非常严谨的,注意对比记忆.
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下面有四个命题: (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; (2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥; (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥; (4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心,又是外心

的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是
A.1
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B.2

C.3

D.4

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【思路点拨】

【自主解答】命题(1)不正确;正棱锥必须具备两点,一

是:底面为正多边形,二是:顶点在底面内的射影是底面的
中心;命题(2)缺少第一个条件;命题(3)缺少第二个条件;而
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命题(4)可推出以上两个条件都具备. 答案:A

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【活学活用】 1.设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体;

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.
其中真命题的序号是______________.
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解析:命题①符合平行六面体的定义,
故命题①是正确的, 底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直, 故命题②是错误的, 因直四棱柱的底面不一定是平行四边形,

故命题③是错误的,
命题④由棱台的定义知是正确的. 答案:①④
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几何体的三视图的排列规则:
俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样,侧视图 放在正视图右面,高度与正视图一样,宽度与俯视图一样, 即“长对正,高平齐,宽相等”,如图所示(以长方体三视图 为例):
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(2011课标全国高考)在一个几何体的三视图中,正视图 和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为

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正?主?视图 【思路点拨】 ―→ 直观图 与俯?左?视图 ―→ 侧视图
【自主解答】由题目所给的几何体的正视图和俯视图, 可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体,如图所示:

可知侧视图为等腰三角形,且轮廓线为实线,故选D.
答案:D
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【特别提醒】画几何体的三视图时,能看到的轮廓线画 成实线,看不到的轮廓线画成虚线.

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【活学活用】 2.(北京高考)一个长方体去掉一个小长方 体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示,则 该几何体的俯视图为( )

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解析:由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何体的直 观图如图所示,所以该几何体的俯视图为C. 答案:C

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平面图形与立体图形的实物图与直观图之间的关系
图形 实物图?直观图 ①水平放置的平面图形?直观图(斜二测画法,即平行 x 轴的线 段长度不变,而平行于 y 轴的线段长度变为原来长度的一半) 平面 图形
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②设其面积 S?直观图面积为

2 S 4

③由直观图求原图形元素间的关系,利用逆向思维,寻求突破 口 立体 空间几何体?直观图(只比平面图形的直观图多画了一个 z′轴 图形 且其长度不变)

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(12分)(1)如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画 出它的直观图.

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(2)已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观 图△A′B′C′的面积为______. 【思路点拨】(1)由三视图确定几何体结构,然后画直观 图;(2)根据规则求出△A′B′C′的高即可. 【规范解答】(1)由三视图知该几何体是一个简单的组合

体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥.2分
画法:①画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=
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45°,∠xOz=90°.3分

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②画底面.利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截 取O′,使OO′等于三视图中相应高度,过O′作Ox的平行线 O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′.4 分

③画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于三视图
中相应的高度.5分
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④成图.连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、 D′D,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图②所示.6分

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(2)如图③、④所示的实际图形和直观图.

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1 3 由图可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a, 2 4 8分 2 在图④中作 C′D′⊥A′B′于 D′,则 C′D′= 2 6 O′C′= a. 8 10 分

1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′= A′B′· C′D′= ×a× a= a . 2 2 8 16
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12 分

6 2 【答案】 a 16

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【特别提醒】画空间几何体的直观图时,只是比画平面 图形的直观图的画法多了一个z轴和相应的z′轴,并且使平行 于z′轴的线段的平行性与长度都不变.

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【活学活用】 3.若将例3中△A′B′C′的边长为a改为 △ABC的边长为a,求原△ABC的面积改为求直观图△A′B′C′ 的面积?

解:解法一:由于直观图的面积 S′与原图形的面积 S S′ 2 间满足 = , S 4 6 2 ∴易知△A′B′C′的面积为 a . 16

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解法二:如图(1)(2)所示的实际图形和直观图.

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1 3 由(2)可知:A′B′=AB=a,O′C′= OC= a, 2 4 2 在图(2)中作 C′D′⊥A′B′于 D′,则 C′D′= 2 6 O′C′= a, 8 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′= A′B′· C′D′= ×a× a= a . 2 2 8 16

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错源:三视图识图不准致误

一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个空间几
何体的表面积是______.

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【错答】4π或3π+4 【纠错】(1)由三视图还原成直观图,并注意数据的对 应.

(2)表面积包括哪些部分.
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【正解】这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的 组合体,其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面 积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和,故这个表面积 1 1 12 2 是 2× ×π×1 + ×2π×1×2+2×2+4π×( ) =4(π+1). 2 2 2
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【心得】1.本题考查的是三视图和表面积计算问题.在 由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综 合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三 视图中为实线,不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实

际形状时一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综
合考虑.
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2.解本题易出现的错误有:(1)还原空间几何体形状时 出错,不能判断出俯视图中的半圆所对应的几何体;(2)计算 表面积时漏掉部分表面,如漏掉了半圆柱的截面矩形或是漏

掉了上下两个半圆等.

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课时作业

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