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湖南省怀化市2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡 上按答题卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。 4.本试题卷共 4 页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

2013 年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷




命题人:王小平 张理科

学(文科)
审题人:龙泊廷、陈 娟、周 睿、

本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ 卷(选择题

共 45 分)

一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共计 45 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,3,4? ,集合 B ? ?2, 4? ,则 ? CU A? ? B 为 A. ?2,4,5? A. ? 2
2

B. ?1,3, 4? B. ? 1

C. ?1, 2, 4?

D. ?2,3,4,5?

2.若复数 (1 ? i)(a ? i) 是实数( i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 C.1 D.2 3.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2x ? 3 ? 0 ,命题 q : ?x0 ? R , sin x0 ? cos x0 ? 2 ,则下列 判断正确的是 A. p 为真命题 题 4.为了得到函数 y ? sin(2 x ? B. p ? q 为真命题 C. p ? q 为假命题 D. q 为假命
?

?
3

) 的图象,可由函数

y ? sin 2 x 的图象怎样平移得到

? 6 ? C.向右平移 3
A.向右平移 的 n 值为 A.1 C.3

? 6 ? D.向左平移 3
B.向左平移

5.执行如右图的程序框图,如果输入 a ? 5 ,那么输出 B.2 D.4

6.若 P 为 ?ABC 内一点,且 PB ? PC ? 2PA ? 0 ,在 ?ABC 内随机撒一颗豆子,则此豆子落在 ?PBC 内的概率为 A.

??? ??? ? ?

??? ?

?

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

7.已知 a ? 0,b ? 0 ,若直线 l : ax ? by ? 1 平分圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 3 ? 0 的周长,则

1 2 ? 的最小值为 a b
A. 4 2 B. 3 ? 2 2 C. 2 2 D.1 8.已知直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 有公共交点,则 k 的最大值为 A.1 B.

1 e

C.

2 e

D.

2 e

9.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在 [0, 2] 上单调递增,则 A. f (?25) ? f (19) ? f (40) C. f (19) ? f (40) ? f (?25) B. f (40) ? f (19) ? f (?25) D. f (?25) ? f (40) ? f (19)

第Ⅱ 卷(非选择题

共 105 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 10.在直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ?

? x ? 2t ? 1 (t 为参数) ;在极坐标系(与直角 ? y ? 2t   


坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 的正半轴为极轴)中,圆的极 坐标方程为 ? ? 2cos ? ,则此直线与此圆的位置关系是

? 2 x ?2      ? 2) (x 11.已知函数 f ( x) ? ? , (x ?log 2 ( x ? 1)    ? 2) 则 f ( f (5)) ? .
12.设 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ( x)在x ? 1 处的
3 2

切线与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值 为 .

?x ? y ? 1 ? 13.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , ? x ?1 ? 0 ?
则 z ? x ? 2 y 的最大值为 体积为 .
2 2



14.右图是某一个几何体的三视图,则该几何体的 15.若 M 为圆 C : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0 上的动点, 抛物线 E : y ? 4 x 的准线为 l , P 是抛物线 E 上的 点
2

任意一点,记点 P 到 l 的距离为 d ,则 d ? PM 的最 小值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 甲乙两班进行一门课程的考试,按照学生考试 成绩的优秀和不优秀统计后得到如右的列联表: (1)据此数据有多大的把握认为学生成绩优秀与 班级有关? (2)用分层抽样的方法在成绩优秀的学生中随机 抽取 5 名学生,问甲、乙两班各应抽取多少人? (3)在(2)中抽取的 5 名学生中随机选取 2 名学生介绍学习经验, 求至少有一人来自乙班 甲班 乙班 总计 优秀 15 10 25 不优秀 35 40 75 总计 50 50 100

n ? ad ? bc ? 的概率.( k ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P(k 2 ? k )
k

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

17. (本小题满分 12 分)

已 知 ? ?0 , 向 量 m?

??

?

3 s i? x n

? , ? ox s 向 量, n ? ? c o ? x? , c s

?

? o?x , 且 c s

?? ? 1 f ( x) ? m ? n ? 的最小正周期为 ? . 2 (1)求 f ( x ) 的解析式;
(2)已知 a 、b 、c 分别为 ?ABC 内角 A、B、C 所对的边,且 a ? 19 ,c ? 3 ,又 cos A 恰是 f ( x ) 在 [

, ] 上的最小值,求 b 及 ?ABC 的面积. 12 3

? 2?

18. (本小题满分 12 分) 如图,边长为 4 的正方形 ABCD 与正三角形 ADP 所 在的平面相互垂直,且 M 、N 分别为 PB 、 AD 中点. (1)求证: MN // 面PCD ; (2)求直线 PC 与平面 PNB 所成角的正弦值.
A

P

M D N C

B

19. (本小题满分 13 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,且 a10 ? 8, S3 ? 0 .

(1)求 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? ( ) n ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn ;
a

1 2

(3)若不等式

k ? 2an ? 3 对于 n?N * 恒成立,求实数 k 的取值范围. 4 ? Tn

20. (本小题满分 13 分) 双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与椭圆 ? ? 1 有相同的焦点 F1 , F2 ,且该双曲线 a2 b 9 5

的渐近线方程为 y ? ? 3x . (1)求双曲线的标准方程; (2) 过该双曲线的右焦点 F2 作斜率不为零的直线与此双曲线的左,右两支分别交于点

M 、 N ,设 MF2 ? ? F2 N ,当 x 轴上的点 G 满足 F F2 ? (GM ? ?GN ) 时,求点 G 的坐 1
标.

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

????

21. (本小题满分 13 分)
2 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x .

(1)若 f ( x ) 是单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 有两个极值点 x1 、 x2 ,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 2ln 2 .

2013 年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题( 5 ? 9 ? 45 )
/ /

题号 答案
/

1 A

2 C
/

3 D

4 A

5 C

6 C

7 B

8 B

9 D

二、填空题( 5 ? 6 ? 30 ) 12. ?1 ; 14. ? ?

10.相离; 三、解答题:

11.1;

13.3;

3 ; 3

15. 2 5 ?1 .

16 解: (1)由题知 K 的观测值 k ?
2

100 ? (15 ? 40 ? 35 ?10) 2 ? 1.33 ? 1.323 , 50 ? 50 ? 25 ? 75
5 1 ? , 25 5

所以至少有 75 %的把握认为学生成绩优秀与班级有关…………4 分 (2)成绩优秀的学生共有 25 人,抽取的比例为

所以甲班应抽取 ? 15 =3 人,乙班应抽取 ? 10 =2 人………… 6 分 (3)设至少有一人来自乙班的事情为 A ,记甲班的 3 人分别为 a1 , a2 , a3 ;乙班的 2 人 分别为 b1 , b2 ,则所有基本事件: (a1 , a2 ),(a1 , a3 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),

1 5

1 5

(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a3 , b1),(a3 , b2 ),(b1, b2 ) ,共有 10 种.
事情 A 包含的基本事件有 (a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(b1,b2 ) ,共 7

7 …………12 分 10 1 2 17 解: (1) f ( x) ? 3 sin ? x cos ? x ? cos ? x ? …………2 分 2
种.所以由古典概型得 p ( A) ? = sin(2? x ?

?

2? ? ? ?,知? ? 1 .? f ( x) ? sin(2 x ? ) …………6 分 2? 6 2? ? 2? ? 7? 1 ?x? ,? 0 ? 2 x ? ? (2)? ,当 x ? 时 f ( x) min ? ? , 3 12 3 6 6 2 1 2? 则 cos A ? ? , 又 A ? (0, ? ), ? A ? …………8 分 2 3 2? 2 由余弦定理得: 19 ? 9 ? b ? 6b cos 解得 b ? 2 …………10 分 3 由T ?

6

) …………4 分

1 3 3 3 ………… 12 分 ? ? ?ABC 的面积为 S ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2
18 解: (1)取 PC的中点G, 连 MG 、 DG ,在 ?PBC 中,

? M 、 G 分 别 为 PB, PC 的 中 点 ,

P G M D N H A B C

1 1 ? MG ∥BC 且 MG ? BC ,又 ND ? AD , 2 2

// ? MG ? DN ,故四边形 DNMG 为平行四边形,
? MN ∥DG ,又 DG ? 面PDC,MN ? 面PDC , ? MN ∥面PDC ………… 6 分

(2) 连接 BN 、 NC 、 PN ,因为面 ADP ? 面 ABCD ,且 PN ? AD ,所以 PN ? 面 ABCD ,又 PN ? 面 PNB ,所以面 PNB ? 面 ABCD . 过点 C 作 CH ? BN , 垂足为 H ,连 PH ,? CH ? 面PNB , 故 ?CPH 为直线PC与平面PNB 所成的角…………8 分 在正方形 ABCD 中,易知 ?ABN ? ?BCH ? ? (令) ,

? CH ? BC cos ? ? 4 ?

2 8 ? …………10 分 5 5

在Rt?PNC中, PN ? 2 3,NC=2 5 ? PC ? 4 2 , ?
在 Rt ?CHP 中, sin ?CPH ?

CH 8 10 …………12 分 ? ? PC 4 2 ? 5 5

19 解: (1)? ?

? a1 ? 9d ? 8, ?a ? ?1 , an ? n ? 2 …………4 分 ?? 1 ? d ?1 ?3a1 ? 3d ? 0,
1 2
n?2

(2)? bn ? ( )

1 1 ? 2( ) n ?1 ,??bn ? 是首项为b1 ? 2, 公比为 的等比数列, 2 2

1 ? ? 2 ?1 ? ( )n ? 1 ? 1 2 ? ? 故Tn ? ? ? 4 ?1 ? ( )n ? ? 4 ? ( ) n?2 …………7 分 1 2 ? 2 ? 1? 2
(3)由
k 2n ? 7 k k ? 2n 对n ? N *恒成立 . ? ? 2n ? 7对n ? N *恒成立 ,? ? 4 2n 4 ? Tn 4

令 Cn ?

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 7 9 ? 2 n ? n ?1 , ,由Cn ?1 ? Cn ? n ?1 ? n 2 2 2n 2

当 ? n ? 5时Cn?1 ? Cn ,当n ? 5时Cn?1 ? Cn …………10 分 1
??Cn ?中的最大项为C5 ?
20 解: (1) 由题可知:

3 k 3 3 , 故k ? …………13 分 ,? ? 32 4 32 8

b ? 3 , c ? 2 , c 2 ? a 2 ? b2 ,解得 a 2 ? 1 , b2 ? 3 , a
2

y2 ? 1…………5 分 所求双曲线方程为 x ? 3
(2)设过点 F2 的直线方程为: x ? ky ? 2 ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 联立方程组 ? ,消去 x 得: (3k ? 1) y ? 12ky ? 9 ? 0 , 3 ? x ? ky ? 2 ?
?12k ? ? y1 ? y2 ? 3k 2 ? 1 ? 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 ? ? yy ? 9 ? 1 2 3k 2 ? 1 ?
由 MF2 ? ? F2 N 得: ? ? ?

① …………7 分

???? ?

???? ?

y1 ,② y2

设 G (t , 0) ,由 F F2 ? (4,0) , 及 F F2 ? (GM ? ?GN ) 得: 1 1

???? ?

???? ?

???? ?

????

( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) ? (4,0) ? 0 ,即 x1 ? t ? ? x2 ? ?t ? 0 ,③…………10 分
由② ,③ ky1 ? 2 ? t ? 得

y1 y (ky2 ? 2) ? 1 t ? 0 , y2 y2

即 2ky1 y2 ? (2 ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ,④ 由① ,④ 得: k (2t ? 1) ? 0, 又k ? 0, 故t ?

1 1 , 即G ( , …………13 分 0) 2 2

(2)解法二:设过点 F2 的直线方程为: y ? k ( x ? 2) ,与双曲线方程联立,消去 y 得

(3 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0 ,由题知: 3 ? k 2 ? 0 且 ? >0,
? 4k 2 x1 ? x2 ? 2 ? ? k ?3 设 M x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 ? ……………… 7 分 ( 2 ? x x ? 4k ? 3 ? 1 2 k2 ?3 ?

由 MF2 ? ? F2 N 得: ? ?

???? ?

???? ?

2 ? x1 x2 ? 2

设 G (t , 0) ,由 F F2 ? (4,0) 及 F F2 ? (GM ? ?GN ) 得: 1 1

???? ?

???? ?

???? ?

????

( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) ? (4,0) ? 0

即 x1 ? t ? ? x2 ? ?t ? 0 …… 10 分

t 0 ? 2x1 x2? ( t? 2 ) (x ? x ) 4 ?,代入上述条件得: t ? 1 2 ?
21 解: (1) f ?( x) ? 1 ? 2ax ?

1 1 ,即 G ( ,0) .……13 分 2 2

1 2ax 2 ? x ? 1 ?? ( x ? 0) …………2 分 x x

记? ( x) ? 2ax2 ? x ? 1( x ? 0) ,则关于 x 的方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 8a
1 当a ? 时? ? 0,? x) ? 0, 故f ?( x) ? 0 ,? 函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减……… 4 分 ( 8

1 当0 ? a ? 时,? ? 0, 方程f ?( x) ? 0 有两个不相等的正根 x1 , x2 ,不妨设x1 ? x2 , 8
, 则当x ? (0, x1 )及x ? ( x2 , ??)时f ?( x) ? 0 , 当x ? ( x1, x2 )时f ?( x) ? 0 ,f ( x) 不是单调函数,

?1 ? 综上 , a 的取值范围为 ? ,? ? …………6 分 + ?8 ?
1 (2)由(1)知当且仅当a ? (0, )时f ( x)有极小值x1和极大值x2 , 且 x1 , x2 是方程 8

2a x2 ? x? 1 ? 0 的两正根,则 x1 ? x2 ?

1 1 , x1 x2 ? , 2a 2a

2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? a ?? x1 ? x2 ? ? 2x1x2 ? ? (ln x1 ? ln x2 ) ? ?

? l n? 2 ? ? a

1 ? ? 1 4a

la? n

1 ? 4 a

l? 2 ?1 (? n a0

1 ) ………… 9 分 8

令g (a) ? ln a ?

1 1 4a ? 1 ? ln 2 ? 1 , 当a ? (0, )时,g ?(a ) ? ?0 4a 8 4a 2

1 1 ? g (a)在(0,)内单调递减 , 故g (a) ? g ( ) ? 3 ? 2 ln 2 …………13 分 8 8


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