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2014年吴川一中第五届高一数学竞赛试题及答案


2014 年吴川一中第五届“步青杯”数学邀请赛

初赛试题(高一)
说明:(1)全卷满分 150 分,共 20 小题; (2)时间:120 分钟; (3)必须将所有答案写在答题卷上. 一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.设函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 A,值域为 B,则 A A. (0, ??)

2. sin 2025 ? ( A. ? ). B. ? B. (1, ??) C. (0,1)

B =(

).

D. (??,1)

2 2

1 2

C.

1 2
).

D.

2 2

3.如下图所示的几何体,其俯视图正确的是(

4.若直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ? ,则( ). A. ? 内的所有直线与 l 异面 B. ? 内不存在与 l 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 l 平行 D. ? 内的直线与 l 都相交

5.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? ? A. ?4 B.2
x 2

?log 2 (16 ? x ), x ? 0 ,则 f ? 3? 的值为( x?0 ? f ( x ? 1),
D.4

).

C. log 2 13

6.已知 a 是函数 f ( x) ? 2 ? log1 x 的零点,若 0 ? x0 ? a ,则 f ( x0 ) 的值满足( A . f ( x0 ) ? 0 B . f ( x0 ) ? 0 C . f ( x0 ) ? 0

).

D. f ( x0 ) 的符号不能确定 7.某工厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检 测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96,106],则该样本数据的众数、 中位数和平均数分别为( A. 101 、 101 、 101 C. 101 、 101.3 、 101.3 ). B. 101.3 、 101.3 、 101.3 D. 101 、 101.3 、 101
(第 1 页 共 9 页)

(参考数据: 0.2 ? 99 ? 0.3 ? 101 ? 0.25 ? 103 ? 0.15 ? 105 ? 91.6 ) 8.若点 A(1, 0) 和点 B(4, 0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有( ).

A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 9. 将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次, 使点 (2, 0) 与点 (?2, 4) 重合,则与点 (5,8) 重合的点是( A. (6, 7) B. (7, 6) ). C. (?5, ?4) D. (?4, ?5) d ? b ? a 10.定义区间 (a, b),[a, b),(a, b],[a, b] 的长度均为 ,多个区间并集的长度为各 区间长度之和,例如,( ?2, ?1)

[3,5) 的长度 d ? [(?1) ? (?2)] ? (5 ? 3) ? 3 .用 [ x ]

表示不超过 x 的最大整数,记 {x} ? x ? [ x ] ,其中 x ? R .设 f ( x) ? [ x] {x} ,

g ( x ) ? x ? 1 ,当 0 ? x ? 5 时,则不等式 f ( x ) ? g ( x ) 的解集区间的长度为(
A.1 B.2 C.3 D.4

).

二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11.某单位有 200 名职工,现用系统抽样法,从中抽取 40 名职工作样本,将全体职工随 机按 1-200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号, 6-10 号,?,196-200 号). 若第 5 组抽出的号码为 22,则第 9 组抽出的号码应是 12.已知实数 m ? 0 ,函数 f ( x) ? ? 为____. 13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 5,则判断 框内 m 的取值范围是________________. 14.在平面直角坐标系中,若两点 P,Q 满足条件: ① P,Q 都在函数 y ? f ( x) 的图象上; ② P,Q 两点关于直线 y ? x 对称,则称点对 P,Q 是 函数 y ? f ( x) 的一对“和谐点对”. (注:点对 {P, Q} 与 {Q, P} 看作同一对“和谐点对”). S<m? 是 .

?2 x ? m, x ? 1 ,若 f (1 ? m) ? f (1 ? m) ,则 m 的值 ?? x ? 2m, x ? 1
开 始

k=1 S=0


S=S+2k k=k+1
对. .

输出 k
结 束

? x 2 ? 3x ? 2, x ? 0 f ( x ) ? 已知函数 ,则此函数的“和谐点对”有 ? log x , x ? 0 ? 2
15.若 f ( x) ? ( x ? a) 3x?2?a ? ( x ? a) 38? x 为偶函数,则实数 a ?
2

16.在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面 BCD, CD ? BD , AB ? BD ? CD ? 1 ,
(第 2 页 共 9 页)

则该三棱锥外接球的表面积为 三、解答题:共 4 小题,共 70 分. 17.(本题满分 15 分) 设 f (? ) ?

.

2sin ? cos ? ? cos ? (1 ? 2sin ? ? 0) . ?? 2 2 ? 1 ? sin ? ? cos( ? ? ) ? sin ( ? ? ) 2 2 (1)化简 f (? ) ;
(2)求 f (1 ) ? f (2 ) ? f (3 ) ?

? f (89 ) 的值.

18.(本题满分 15 分)汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从 2014 年开始,将 对二氧化碳排放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品 牌轻型汽车各抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km).

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120g / km . (1)从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过

130 g / km 的概率是多少?
(2)求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.

(第 3 页 共 9 页)

B、 E ? ABC 组合而成, 19. (本题满分 20 分)一个几何体是由圆柱 ADD1 A 点A、 1 和三棱锥

C 在圆 O 的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,如图所示,
其中 EA ? 平面ABC , AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: AC ? BD ; (2)求三棱锥 E ? BCD 的体积.

2 20.(本题满分 20 分)已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) , g ( x ) ? ( ) ? m .
x

1 2

(1)若存在 x1 ?[0,3] ,对任意 x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意 x1 ?[0,3] ,存在 x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 x1 ?[0,3] ,任意 x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 m 的取值范围; (4)若存在 x1 ?[0,3] ,存在 x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 m 的取值范围.

(第 4 页 共 9 页)

2014 年吴川一中第五届“步青杯”数学邀请赛高一初赛参考答案
一、选择题:1~4 DACB 5~8 DBCB 9~10 AC 1.D 由 1 ? x ? 0 得 x ? 1 ,即 A ? ( ??,1) ,而 1 ? x ? 0 知 f ( x) ? R ,即 B ? R , 于是 A

B ? ( ??,1) .

2.A sin2025 ?sin(360

? 5 ? 225 ) ? sin225

sin(180 ?

45 ?)

? sin45 ?

??

2 . 2

3.C 俯视图是从上而下的投影,于是只有 C 正确. 4.B 由题意知直线 l 与平面 ? 相交,只有 B 正确. 5.D 由题意得 f (3) ? f (2) ? f (1) ? f (0) ? log2 16 ? 4 . 6.B 由函数 y ? 2 x 与 y ? ? log 1 x 在 (0, ??) 上均为增函数,得 f ( x) ? 2 x ? log 1 x 在
2

2

(0, ??) 上均为增函数,又 0 ? x0 ? a , f (a ) ? 0 ,则 f ( x0 ) ? f (a) ? 0 . 100 ? 102 ? 101 ;中位数:设中位数为 x ,有 0.05 ? 2 ? 0.1 ? 2 ? 7.C 众数: 2 ( x ? 100) ? 0.15 ? 0.5 , 解得 x ? 100 ?
4 0.05 ? 2 ? 97 ? 0.1 ? 2 ? 99 ? ? 101.3 ; 平均数: 3

0.15 ? 2 ? 101 ? 0.125 ? 2 ? 103 ? 0.075 ? 2 ? 105 ? 0.1 ? 97 ? 0.2 ? 99 ? 0.3 ? 101 ? 0.25 ? 103 ? 0.15 ? 105 ? 9.7 ? 91.6 ? 101.3 . 2 2 2 2 8. B 原题转化为圆 A : ( x ? 1) ? y ? 1 与 B : ( x ? 4) ? y ? 4 的公切线的条数问题.画出
图形知两圆外切,于是它们有 3 条公切线. 9.A 设 A(2,0), A?( ?2,4) ,则 AA? 的中点为 (0, 2) ,而 k AA? ? ?1 ,则 AA? 的垂直线平分 线为 l : y ? 2 ? 1 ? ( x ? 0) ,即 y ? x ? 2 ,设点 B(5,8) 关于直线 l 的对称点为 B?(m, n) ,

? n ?8 1 ? ?1 ? ?m ? 6 ?m ? 5 则? ,解得 ? ,即与点 (5,8) 重合的点是 (6,7) . ?n ? 7 ?n ? 8 ? m ? 5 ? 2 ? ? 2 2
10.C ①当 0 ? x ? 1 时, [ x ] ? 0 , f ( x) ? [ x ] {x} ? 0 ,由 f ( x ) ? g ( x ) 得 0 ? x ? 1 ,

[ x ] ? 1 ,f ( x) ? [ x] {x} ? x ? 1 , 无解; ②当 1 ? x ? 2 时, 由 f ( x) ? g ( x) 得 x ? 1 ? x ? 1 ,
无解;③当 2 ? x ? 3 时, [ x ] ? 2 , f ( x) ? 2( x ? 2) ? 2 x ? 4 ,由 f ( x ) ? g ( x ) 得

2 x ? 4 ? x ? 1 ,则 x ? 3 ;∴ 2 ? x ? 3 ; ④当 3 ? x ? 4 时,同理得 3 ? x ? 4 ;⑤当 4 ? x ? 5 时,同理得 4 ? x ? 5 ; ⑥当 x ? 5 时, f ( x) ? [ x] {x} ? 0 ,由 f ( x ) ? g ( x ) 得 0 ? 5 ? 1 ,即 x ? 5 成立; 综上, f ( x ) ? g ( x ) 的解为 2 ? x ? 5 ,则 d ? 5 ? 2 ? 3 .
(第 5 页 共 9 页)

二.填空题:11.42

12. ?

11.42∵第 5 组抽出 22 号,组距为 200 ? 40 ? 5 ,∴第 5 组抽出 22 ? 4 ? 5 ? 42 号.

3 4

13. (12,20]

14.2

15. ? 10

16. 3?

3 当 m ? 0 时, 1 ? m ? 1,1 ? m ? 1 ,由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 得 4 3 2(1 ? m) ? m ? ?(1 ? m) ? 2m ,即 m ? ? (舍去);当 m ? 0 时, 1 ? m ? 1,1 ? m ? 1 , 2 3 由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 得 ?(1 ? m) ? 2m ? 2(1 ? m) ? m ,即 m ? ? . 4 13. (12,20] 输入: k ? 1, S ? 0 ,
12. ? 输出:

S :2,6,12,20.

k :2,3, 4, 5.
此时 20 ? m 判断为“否” ,于是 m ? 20 ,而 12 ? m 判断为“是” , ∴ m 的取值范围是 12 ? m ? 20 . 14.2 先作出 f ( x ) ,再结合函数的图象考虑问题. 作出函数 f ( x) 的图像,然后作出

f ( x) ? log 2 x( x ? 0) 关于直线 y ? x 对称的图像,
与函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 2( x? 0) 的图像有 2 个不 同交点,所以函数的“和谐点对”有 2 对.
2

15. ? 10 由 f ( x ) 为偶函数得 f ( ?a ) ? f (a ) , ∴ ?(?a ? a) 38?a ? 2a 3a?2?a , 则 8 ? a ? a ? 2 ? a ,解得 a ? ? 10 . 16. 3? 可推断得 AC 的中点为该三棱锥外接球的球心.如图,由 AB ? 平面 BCD, AB ? 平面 ABD,得平面 ABD ? 平面 BCD, 又平面 ABD 平面 BCD ? BD , CD ? BD , A ∴CD ? 平面 ABD,而 AD ? 平面 ABD, ∴CD ? AD ,
2
2

又 AB ? BC ,则 BC ?

BD2 ? CD2 ? 2 ,
B

O D C

∴ AC ? AB2 ? BC 2 ? 3 ,取 AC 的中点 O , 则 OA ? OB ? OC ? OD , ∴O 是三棱锥 A ? BCD 外接球的球心,得 2 R ? ∴ 该三棱锥外接球的表面积为 S ? 4?R ? 3? .
2

3 ,即 R ?

3 , 2

17.解:(1)∵ cos(

?? ? ? ? ) ? sin ? , sin 2 ( ? ? ) ? cos2 ? ,??????????2 分 2 2
(第 6 页 共 9 页)

cos ? (2sin ? ? 1) cos ? (2sin ? ? 1) cos ? (2sin ? ? 1) ? ? 2 2 1 ? sin ? ? sin ? ? cos ? 2sin 2 ? ? sin ? sin ? (2sin ? ? 1) cos ? ? ; ?????????????????????????????7 分 sin ? (2) f (1 ) ? f (2 ) ? f (3 ) ? ? f (89 )
∴ f (? ) ?

cos1 cos 2 cos 45 cos88 cos89 ? ? ? ? ? ? ???????????????9 分 sin1 sin 2 sin 45 sin88 sin89 cos1 cos89 cos 2 cos88 cos 45 ? )?( ? )? ? =( ???????????????12 分 sin1 sin89 sin 2 sin88 sin 45 cos1 sin1 cos 2 sin 2 cos 45 ? )?( ? )? ? ? 1 .??????????????15 分 =( sin1 cos1 sin 2 cos 2 sin 45
= 18.解:(1)从被检测的 5 辆甲品牌的轻型汽车中任取 2 辆,共有 10 种不同的二氧化碳排 放量结果:(80,110),(80,120),(80,140),(80,150),(110,120),(110,140), (110,150),(120,140),(120,150),(140,150). ????????????3 分

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km”为事件 A,则事件 A 包含以下 7 种不同的 结果:(80,140),(80,150),(110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140, 150),∴ P ( A) ?

7 ? 0.7 .?????????????????????????6 分 10 480 ? x ? 120 ,解得 x ? 120 . 5

答: 至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率为 0.7.???????????7 分 (2)由题可知, x乙 ? 120, ? 又 x甲 ? 120 , ????????9 分

???????????????????????????10 分

1 2 2 2 2 2 2 ? 80-120) ? ? ( ? (110-120) ? (120-120) ? (140-120) ? (150-120) ∴ s甲 ? ? 600 , 5?
1 2 2 2 2 2 2 ? 100-120) ? ? ( ? (120-120) ? (120-120) ? (100-120) ? (160-120) ∴ s乙 ? ? 480 ,??14 分 5?
2 2 ∵ x甲 ? x乙 ? 120 , s甲 ? s乙 ,

∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ???????????15 分 19.(1)证明:由 AB ? AC ,知 BD 是 O 的直径, 又 AD ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , ∴ AD ? AC ,??????????????????????????????4 分 而 AB AD ? A , ∴ AC ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , ∴ AC ? BD ;??????????????????????????????9 分 (2)解:由(1)及 AB ? AC 得 △ ABC 为等腰直角三角形,????????????10 分
(第 7 页 共 9 页)

设 OA ? r, AD ? h ,又 AE ? 2 ,
1 ? 2rh ? r ? 2 ? 10 ? ?r ? 2 ? 2 由其正视图、侧视图的面积分别为 10 和 12,有 ? ,解得 ? ,15 分 ?2rh ? 1 (2r ) ? 2 ? 12 ?h ? 2 ? ? 2 又 EA ? 平面ABC , BC ? 2r ? 4, OA ? r ? 2 ,???????????????16 分 1 1 ∴三棱锥 E ? BCD 的体积 V ? VE ? ABC ? VD ? ABC ? S△ ABC AE ? S△ ABC AD 3 3
1 1 1 1 1 ? S△ ABC ( AE ? AD )? ( ? BC ? OA AE ) ( ? AD ? ) ?( ? 4 ? 2 ) (?2 3 3 2 3 2 20.解:∵ f ( x) ? lg( x 2 ? 1) ,当 x ? [0, 3] 时, f ( x) ? [0,1] , 16 . 20 分 2?????? ) 3

1 x 1 1 ? m ] ,???????????4 分 2 4 2 (1)若存在 x1 ?[0,3] ,对任意 x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 1 1 即存在 f ( x1 ) ? [0,1] ,对任意 g ( x2 ) ? [ ? m, ? m ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 4 2
而 g ( x ) ? ( ) ? m ,当 x ? [1, 2] , g ( x ) ? [ ? m,
?1 ?m ? 0 ? 1 1 1 1 ? 则 [ ? m, ? m] ? [0,1] ,有 ? 4 ,解得 ? ? m ? ,????????????7 分 4 2 2 4 ?1 ? m ? 1 ? ?2

1 1 , ] ;????????????????????????8 分 2 4 (2)若对任意 x1 ?[0,3] ,存在 x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 1 1 即对任意 f ( x1 ) ? [0,1] ,存在 g ( x2 ) ? [ ? m, ? m ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 4 2
即 m 的取值范围是 [ ?
1 1 则 f ( x ) min ? g ( x ) min ,∴0 ? ? m ,即 m ? ,?????????????????11 分 4 4

1 4 (3)若对任意 x1 ?[0,3] ,任意 x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

即 m 的取值范围是 [ , ??) ;???????????????????????12 分

1 1 即任意 f ( x1 ) ? [0,1] ,任意 g ( x2 ) ?[ ? m, ? m] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 4 2 1 1 则 f ( x)min ? g ( x)max ,∴0 ? ? m ,即 m ? ,?????????????????15 分 2 2 1 即 m 的取值范围是 [ , ??) ;????????????????????????16 分 2 (4)若存在 x1 ?[0,3] ,存在 x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 1 1 即存在 f ( x1 ) ? [0,1] ,存在 g ( x2 ) ?[ ? m, ? m] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 4 2 1 3 则 f ( x)max ? g ( x)min ,∴1 ? ? m ,即 m ? ? ,????????????????19 分 4 4
(第 8 页 共 9 页)

3 即 m 的取值范围是 [? , ??) .????????????????????????20 分 4

(第 9 页 共 9 页)


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