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函数的最大值与最小值二


函数的最大值与最小值二
课 题: 3.8 函数的最大值与最小值(二) 教学目的: 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法; ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点:解有关函数最大值、最小值的实际问题. 教学难点:解有关函数最大值、最小值的实际问题. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值

: 一般地, 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x) <f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) >f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:
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若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 , 且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号, 则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大 值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值
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5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负 右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么 f(x) 在这个根处无极值
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6.函数的最大值和最小值:在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小 值.⑴在开区间 ( a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是比较整 个定义域内的函数值得出的; 函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. ⑶函数 f ( x) 在闭区 间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4) 函 数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有 一个
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7. 利用导数求函数的最值步骤 : ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值;⑵将 f ( x) 的各极值与

f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值
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二、讲解范例: 例 1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如 图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少? 解法一:设箱底边长为 xcm,则箱高 h ?

60 ? x cm,得箱子容积 2
x x

60x 2 ? x 3 V ( x) ? x h ? 2
2

(0 ? x ? 60) .
x 60 x

V ?( x) ? 60 x ?

3x 2

2

(0 ? x ? 60)
60



3x 2 V ?( x) ? 60 x ? =0,解得 x=0(舍去) ,x=40, 2

并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是 最大值 3 答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm 解法二:设箱高为 xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积
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(后面同解法一,略) V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x (0 ? x ? 30) . 由题意可知, 当 x 过小或过大时箱子容积很小, 所以最大 值出现在极值点处.
2 事 实 上 , 可 导 函 数 V ( x) ? x h ?
60-2x

x
60-2x 60-2x

60x 2 ? x 3 、 2

60

60-2x

x

60

从 V ( x) ? (60 ? 2 x) x 在各自的定义域中都只有一个极值点,
2

图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数 值 例 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料 最省? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 2 S=2πRh+2πR
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由 V=πR h,得 h ?
2



V ,则 ? R2 V 2 2V 2 S(R)= 2πR + 2πR = +2πR 2 ?R R 2V s?( R) ? ? 2 +4πR=0 R V V ,从而 h= = ? R2 2?

解得,R= 3

V 4V V =3 =2 3 ? ? V 2 ? (3 ) 2?

即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值

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答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省

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变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用 材料最省? 提示:S=2 ?Rh + 2?R ? h=
2

S ? 2?R 2 2?R

?V(R)=

1 1 S ? 2?R 2 ? R 2 = ( S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2 2 2?R

V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R 2 ? 6?R 2 ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R .
例 3 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数关 系式为 p ? 25 ?

1 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润. 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ? q ? ? 25q ? q 2 ,

? ?

1 ? 8 ? ? ?

1 8

利润 L ? R ? C ? ? 25q ? q 2 ? ? (100 ? 4q) ? ? q 2 21q ? 100 (0 ? q ? 100)

? ?

1 8

1 8

1 L? ? ? q ? 21 4
令 L? ? 0 ,即 ?

1 q ? 21 ? 0 ,求得唯一的极值点 q ? 84 4
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答:产量为 84 时,利润 L 最大 三、课堂练习: 3 2 1.函数 y=2x -3x -12x+5 在[0,3]上的最小值是___________. 2.函数 f(x)=sin2x-x 在[-

? ? , ]上的最大值为_____;最小值为_______. 2 2

3.将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成______和___.

x2 y2 4.使内接椭圆 2 ? 2 =1 的矩形面积最大,矩形的长为_____,宽为_____. a b
5.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___时,它的面积最大 答案:1. -15 2.
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? 2



? 2

3.

a 2

a 2

4. 2 a

3 2 b 5. R 2

四、小结 :⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系, 找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义.⑵根据问 题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所 求最值,不必再与端点值比较.⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 五、课后作业: 1.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一个无 盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少?
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解: (1)正方形边长为 x,则 V=(8-2x)·(5-2x)x=2(2x -13x +20x)(0<x<

3

2

5 ) 2

V′=4(3x2-13x+10)(0<x<

5 ),V′=0 得 x=1 2
E A h B 600 b C

根据实际情况,小盒容积最大是存在的, ∴当 x=1 时,容积 V 取最大值为 18. 2.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时, 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最 小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的高 h 和下底边长 b. 解:由梯形面积公式,得 S=

D

1 3 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC,DE= h,BC=b 2 3


∴AD=

1 2 3 3 2 3 h+b, ∴S= ( h ? 2b)h ? ( h ? b)h 2 3 3 3
h 2 2 ? h ,AB=CD.∴l= h ×2+b cos30? 3 3


∵CD=

由①得 b=

4 3 S 3 S S 3 h,代入②,∴l= h? ? h ? 3h ? ? 3 h 3 h h 3
S S S S =0,∴h= , 当 h< 时,l′<0,h> 时,l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3

l′= 3 ?

∴h=

24 3 S 时,l 取最小值,此时 b= S 4 3 3
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六、板书设计(略) 七、课后记:
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函数的最大值与最小值二

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