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2013-2014学年第一学期高数II期中试卷--答案

时间:2013-12-19


★厦门理工学院试卷(二)★
诚信考试承诺书
我保证在本科目考试中所提供的个人信息是真实、准确的。在我填写考生信息之后,表示我已阅读和理解 《厦门理工学院考场规则》和《厦门理工学院考试违纪处理办法》有关规定,我承诺在考试中自觉遵守该规定, 如有违反将接受处理。

座号

注意事项:
1、学生的系、专业、级别、班级

、姓名、学号必须写在考生信息栏内指定的位置。 2、学生在考试之前必须填写考试学年学期、课程名称、考试地点、时间及试卷卷别。 3、字迹要清楚,保持卷面清洁。试卷、草稿纸随答题纸一起交回。 4、采用流水作业评卷的,阅卷教师须在题号后签名。

学年学期:13-14 学年第 1 学期
线 学号

考试课程:高等数学 II 期中 考试时间: 考试方式:闭卷

考试地点: 试卷类别: A 卷(√)B 卷()



本试卷共五大题(4 页),满分 100 分,考试时间 120 分钟。
息 姓名












总分

统分人



一、填空题(本题共 6 个空格,每空 3 分,共
生 级 班级

得分

阅卷人

18 分)请把答案写在下面表格中对应的位置。



1
专业 装

? 1 1? ?? 3 , 2 ? ? ?

2

0

3

3 2

4

1 3

5

n!

6 得分

e x ( x ? n)

二、选择题: (每题 2 分,共 20 分) ,请把答


阅卷人

案写在下面表格中对应的位置。
1 B 2 A 3 B 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B 9 D 10 B

第 1 页 共4 页

三、计算题(每题 5 分,共 20 分)
1、求极限 lim n ? 1( 2n ? 4 ? 2n ? 8) .
n ??

得分

阅卷人

解: lim n ? 1( 2n ? 4 ? 2n ? 8)
n ??

? lim

n ??

n ? 1( 2n ? 4 ? 2n ? 8)( 2n ? 4 ? 2n ? 8) 2n ? 4 ? 2n ? 8

……………………………………2 分

12 n ? 1 ? lim ? lim n ?? 2n ? 4 ? 2n ? 8 n??

12 1 ?

1 n

4 8 2? ? 2? n n

…………………………………4 分

?

6 ?3 2 2
1

……………………………….……5 分

2、求极限 lim( x ? e x ) x .
x ?0
1 ? x?ex ?1 ?1
x

解: lim( x ? e x ) x ? lim(1 ? ( x ? e x ? 1)) x ?e
x ?0
x ?0

1

x

…………………………………2 分 ………………………..………3 分 …………………………….….5 分

? lim e
x ?0

x ? e x ?1 x

? e x ?0

lim 1? e

x ?1 x

? e2

3、求函数 y ? ln e x ? 1 ? e2 x 的导数. 解: y? ?
1 e x ? 1 ? e2 x

?

?

1 e x ? 1 ? e2 x
(

(e x ?

e2 x 1 ? e2 x
)e ?
x

)
ex 1 ? e2 x

………………………………3 分

?

e x ? 1 ? e2 x 1 ? e2 x

…………………..………5 分

4、设方程 ln(2 x ? y) ? x ? 2 y ? 1 确定函数 y ? f ( x) ,求 dy, dy x?1 .
y ??1

解:方程两边同时对 x 求导
1 (2 ? y?) ? 1 ? 2 y? 2x ? y 2x ? y ? 2 y? ? , 1 ? 4x ? 2 y 2x ? y ? 2 dy ? dx 1 ? 4x ? 2 y

………………………….………2 分 ………………………….………3 分 ………………………….………4 分 ………………………….………5 分

所以 dy x?1 ? dx
y ??1

第 2 页 共4 页

四、计算题(每题 7 分,共 28 分)
(1 ? cos x)(1 ? x 2 )1?cos x 1、求极限 lim . x ?0 ln(1 ? x 2 )
1 2 1?cos x 1

得分

阅卷人

解: lim

(1 ? cos x)(1 ? x ) x ?0 ln(1 ? x 2 )
x2 2 x 2 1? cos x 1

1 2 x (1 ? x 2 )1?cos x 1 1 ? lim(1 ? x 2 )1?cos x …………….4 分 ? lim 2 x ?0 2 x ?0 x2

1

?

1 lim(1 ? x ) 2 x ?0

?

1 e 2

x2 lim x?0 1? cos x

1 ? e 2

x2 1 2 x?0 x 2 lim

1 ? e2 2

…………….7 分

2、设 y ? arctan

a x?a 1 ? ln +arcsin ,求 y? 与 dy |x?0 . x x?a 2
2

解: y? ?

? a ? ??? 2 ? ? ?a? ? x ? 1? ? ? ?x? 1

1 1 ( x ? a) ? ( x ? a) ? ? ( x ? a )2 x?a x?a 2 x?a x?a

………………4 分

??

a a 2a 3 ? 2 ? 4 . x2 ? a2 x ? a2 x ? a4

………………5 分 ………………7 分

2 2 当x ? 0时,y? ? ? , 故dy |x ?0 ? ? dx. a a ax x?0 ? e , 3、若 f ( x) ? ? 处处可导,求 a,b 之值. 2 ?b(1 ? x ), x ? 0

解:因为 f ( x) 在 x ? 0 处可导,所以 f ( x) 在 x ? 0 处连续。 所以 b ? 1. f (0) ? 1, f (0? ) ? lim? e ax ? 1, f (0? ) ? lim b(1 ? x 2 ) ? b, ?
x ?0 x ?0

………………3 分

f ??(0) ? lim ?
x ?0

f ( x) ? f (0) 1 ? x2 ?1 f ( x) ? f (0) eax ? 1 ax ? lim ? 0, f ??(0) ? lim ? lim ? lim ? a, 6 分 ? ? ? ? x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x x x x x

由 f ( x) 在 x ? 0 处可导,则 f ??(0) ? f ??(0), 所以 a ? 0. 4、设函数 y ? y(x) 由方程 e y ? xy ? e 所确定,求 y ??(0) .
解:方程两边同时对 x 求导得: e y? ? y ? xy? ? 0, (1)
y
y y

………………7 分

? y? ? ?

y . e ?x
y

………2 分

方程(1)两边再对 x 求导得: e ? y? ? y? ? e ? y?? ? y? ? y? ? xy?? ? 0 所以

………………5 分

y?? ? ?

e y ( y?) 2 ? 2 y? y 2 e y ? 2 y (e y ? x ) 12 e1 ? 2 ?1? (e1 ? 0) 1 ?? , x ? 0时, y ? 1,所以y?? |x ?0 ? ? 当 ? 2. ey ? x (e y ? x ) 3 (e1 ? 0)3 e

………………7 分
第 3 页 共4 页

五、综合题(每题 7 分,共 14 分)
1、证明方程 x ? 2 ? 1 在 ( ,1) 内至少有一个根.
x

得分

阅卷人

1 2

证:设 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,则 f ( x) 在 ? , 1? 上连续, ……………2 分 ? ?
1 ?2 ?

1 1 f( )? 2 ?1 ? 0 , 2 2 f (1) ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 , 1 2

……………4 分 ……………6 分

由连续函数的零点存在定理,在( ,1)内至少存在一点 ? ,使得
f (? ) ? 0 , 即 方 程 x ? 2 x ? 1 在 (
1 , 1 ) 内 至 少 有 一 个 2
装 线
第 4 页 共4 页

根。

……………7 分

2、设函数 f ( x) 在 [?1,1] 上有定义,且满足 x ? f ( x) ? x 2 ? x, x ?[?1,1] , 证明: f ?(0) 存在且等于 1.

当 x ? 0 时, 又 x ? 0 时,

x ? x 2 f ( x) ? f (0) x ? ? x x x

由夹逼定理有 f ??(0) ? 1

……………4 分

x f ( x) ? f (0) x ? x 2 ? ? x x x

,由夹逼定理有 f ??(0) ? 1 ……………6 分 ……………7 分

所以 f ?(0) 存在且等于 1.



证:因为 x ? f ( x) ? x 2 ? x, x ?[?1,1] ,所以 f (0) ? 0 ,

……………2 分


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