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第二篇函数与基本初等函第5讲对数与对数函数


第5讲
【2013 年高考会这样考】 1.考查对数函数的定义域与值域.

对数与对数函数

(2)对数的重要公式 ①换底公式:logb N= ②loga b= loga N (a,b 均大于零且不等于 1); loga b

1 ,推广 loga b· b c· cd=loga d. log log logb

a

2.考查对数函数的图象与性质的应用. 3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质. 4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系. 【复习指导】 复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性质.判断与对数函数相关的 复合函数图象的重要依据,同时熟练把握对数函数的有关性质,特别注意底数对函数单调 性的影响.

(3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga (MN)=loga M+loga N;②loga =loga M-loga N; N n ③loga Mn =nloga M(n∈R);④log am Mn = loga M. m 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象 基础梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果 a =N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=loga N,其中 a 叫做 对数的底数,N 叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①aloga N=N;②loga aN=N(a>0 且 a≠1).
-1x

定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0) 性质 当 x>1 时,y>0 当 0< 特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 loga N lg N ln_N 4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. x<1,y<0 是(0,+∞)上的增函数 当 x>1 时,y<0 当 0<x <1 时,y>0 是(0,+∞)上的减函数

一种思想

对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指 数式的互化进行证明. 两个防范 解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围. 三个关键点 ?1 ? 画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0), ? ,-1?. ?a ? 四种方法 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0 或 1). (4)化同真数后利用图象比较. 双基自测 1.(2010· 四川)2 log5 10+log5 0.25=( ).

则 y=log2 t,t=3x+1,x∈R. 由 y=log2 t,t>1 知函数 f(x)的值域为(0,+∞). 答案 A

4.(2012· 汕尾模拟)下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是 ( A.(-∞,1] ? 3? C.?0, ? ? 2? 解析 法一 4? ? B. ?-1, ? ? 3? D.[1,2) 当 2-x≥1,即 x≤1 时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数 f(x)在(-∞, ).

1]上单调递减.当 0<2-x≤1,即 1≤x<2 时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数 f(x) 在[1,2)上单调递增,故选 D. 法二 f(x)=|ln(2-x)|的图象如图所示.

A.0 解析 答案

B.1

C.2

D.4

原式=log5 100+log5 0.25=log5 25=2. C 由图象可得,函数 f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选 D. 答案 B.a<c<b D.c<a<b D

2.(人教 A 版教材习题改编)已知 a=log0.7 0.8,b=log1.1 0.9,c=1.10.9 ,则 a,b,c 的大小 关系是( A.a<b<c C.b<a<c 解析 答案 ).

2 5.若 loga >1,则 a 的取值范围是________. 3 ?2 ? 答案? ,1? ?3 ?

将三个数都和中间量 1 相比较:0<a=log0.7 0.8<1,b=log1.1 0.9<0,c=1.10.9 >1. C ).

3.(2012· 黄冈中学月考)函数 f(x)=log2 (3x+1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 解析 设 y=f(x),t=3x+1. B.[0,+∞) D.[1,+∞)

考向一 【例 1】?求值:(1)
-2-

对数式的化简与求值

log8 9 ;(2)(lg 5)2 +lg 50· 2; lg log2 3

1 32 4 (3) lg - lg 2 49 3

8+lg

245.

1 - f(log4 7),b=f(log 3),c=f(0.2 0.6 ),则 a,b,c 的大小关系是( 2 A.c<a<b C.b<c<a B.c<b<a D.a<b<c

).

[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式. 解 log23 32 2 (1)原式= = . log2 3 3
2

10 (2)原式=(lg 5) +lg(10×5)lg 5 =(lg 5)2 +(1+lg 5)(1-lg 5)=(lg 5)2 +1-(lg 5)2 =1. (3)法一 1 4 3 1 原式= (5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (2lg 7+lg 5) 2 3 2 2

[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小. 解析 1 1 log 3=-log2 3=-log4 9,b=f(log 3)=f(-log4 9)=f(log4 9),log4 7<log4 9,0.2-0.6 = 2 2

5 ?1? 3 5 ? ?- = 125> 32=2>log4 9, ?5? 5 又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故 f(x)在[0,+∞) 上是单调递减的, 1 ∴f(0.2-0.6 )<f(log 3)<f(log4 7),即 c<b<a,故选 B. 2 答案 B 一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理,一般是利用中间值来比

5 1 1 1 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5= (lg 2+lg 5)= lg 10= . 2 2 2 2 2 法二 原式=lg 4 2 4 2×7 5 -lg 4+lg(7 5)=lg = 7 7×4

1 lg 10= . 2 对数源于指数,对数与指数互为逆运算,对数的运算可根据对数的定义、对数 的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行.在解决对数的运算和与对数的相关问题 时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化. 1 1 【训练 1】 (1)若 2 =5 =10,求 + 的值. a b
a b

较大小,同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决.

1 【训练 2】 (2010· 全国)设 a=log3 2,b=ln 2,c=5- ,则( 2 A.a<b<c B.b<c<a 解析 1 5 法一 a=log3 2= C.c<a<b D.c<b<a

).

(2)若 xlog3 4=1,求 4 +4 解

x

-x

的值.

(1)由已知 a=log2 10,b=log5 10,

1 1 1 ,b=ln 2= ,而 log2 3>log2 e>1,所以 a<b,c=5- = log2 3 log2 e 2

1 1 则 + =lg 2+lg 5=lg 10=1. a b (2)由已知 x=log4 3, 1 10 则 4x+4-x=4log4 3+4-log4 3=3+ = . 3 3 考向二 对数值的大小比较

,而 5>2=log2 4>log2 3,所以 c<a,综上 c<a<b,故选 C. a=log3 2= 1 1 1 1 1 ,b=ln 2= ,1<log2 e<log2 3<2,∴ < < <1;c= log2 3 log2 e 2 log2 3 log2 e

法二

1 1 1 1 5- = < = ,所以 c<a<b,故选 C. 2 5 4 2 答案 C 考向三
-3-

【例 2】?已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=

对数函数性质的应用

【例 3】?已知函数 f(x)=loga (2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是关于 x 的减 函数,若存在,求 a 的取值范围. ?a>1 [审题视点] a>0 且 a≠1,问题等价于在[0,1]上恒有 ? . ?2-ax>0 解 ∵a>0,且 a≠1,

?1? 又 f? ?=0,f(2)=log4 15, ?2? ?1 ? 因此 f(x)在? ,2?上的值域为[0,log4 15]. ?2 ?

∴u=2-ax 在[0,1]上是关于 x 的减函数. 又 f(x)=loga (2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数, ∴函数 y=loga u 是关于 u 的增函数,且对 x∈[0,1]时,u=2-ax 恒为正数. ?a>1 其充要条件是? ,即 1<a<2. ?2-a>0 ∴a 的取值范围是(1,2). 研究函数问题,首先考虑定义域,即定义域优先的原则.研究复合函数的单调 性,一定要注意内层与外层的单调性问题.复合函数的单调性的法则是“同增异减”.本 题的易错点为:易忽略 2-ax>0 在[0,1]上恒成立,即 2-a>0.实质上是忽略了真数大于 0 的条件. 【训练 3】 已知 f(x)=log4 (4x-1) (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; ?1 ? (3)求 f(x)在区间? ,2?上的值域. ?2 ? 解 (1)由 4x-1>0 解得 x>0,

难点突破 4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法 指数与对数函数问题,高考中除与导数有关的综合问题外,一般还出一道选择或填空题, 考查其图象与性质,其中与求值或取值范围有关的问题是热点,难度虽然不大,但要注意 分类讨论. 一、与对数函数有关的求值问题 ?lg x,x>0, ? 【示例】? (2011· 陕西)设 f(x)=?x+?a 3t2 dt,x≤0, ? ?0 ? 若 f(f(1))=1,则 a=________.

因此 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设 0<x 1 <x 2 ,则 0<4x1 -1<4x 2 -1, 因此 log4 (4x 1 -1)<log4 (4x 2 -1),即 f(x1 )<f(x 2 ),f(x)在(0,+∞)上递增. ?1 ? (3)f(x)在区间? ,2?上递增, ?2 ? 二、与对数函数有关的解不等式问题 ?21 -x ,x≤1, 【示例】 (2011· ? 辽宁改编)设函数 f(x)= ? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范 ?1-log2 x,x>1, 围是________.

-4-

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