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怎样求二次函数的解析式专题


让学习变的简单 ------------------------------------------------------------------------------

怎样求二次函数的解析式
二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点,往往会综合其他函数和几何而作 为压轴题,有一定的难度。这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点,因

此 学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的首要条件。 一、 三点型 若已知二次函数图像上任意三点的坐标,则可以用一般式 y= ax +bx+c. 解题策略:通过各种途径搜索题目的各个信息找到三个点的坐标,然后用待定系数法 球解析式,此类问题是中考中考得最频繁的一类。 例 1 式. 解:设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c, 已知二次函数图像经过(1,0)(-1,-4)和(0,-3)三点,求这个二次函数解析 、
2

?a ? b ? c ? 0 ? 由已知可得 ? a ? b ? c ? ?4 ? c ? ?3 ?

? a ? 1, ? , 解之得 ?b ? 2, 故所求二次函数解析式为 y=x2+2x-3. ?c ? ?3. ?

例 2 (2010 四川宜宾)将直角边长为 6 的等腰 Rt△AOC 放在如图所示的平面直角坐标系 中,点 O 为坐标原点,点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点 A、C 及点 B(–3,0). 求该抛物线的解析式; 解:由题意知:A(0,6) ,C(6,0) , 设经过点 A、B、C 的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,

?6 ? c ? 则: ?0 ? 9a ? 3b ? c ?0 ? 36 a ? 6b ? c ?

y

1 ? ?a ? ? 3 ? 解得: ?b ? 1 ?c ? 6 ? ?
∴该抛物线的解析式为 y ? ?

A

B O

C

x

1 2 x ? x?6 3

1

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------例 3 (2010 山东省德州)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象经过点 A(3,0),B(2,-3),
2

C(0,-3). 求此函数的解析式及图象的对称轴; 解:∵二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象经过点 C(0,-3),
2

y

∴c =-3. 将点 A(3,0),B(2,-3)代入 y ? ax ? bx ? c 得
2

Q O A M P B N

?0 ? 9a ? 3b ? 3, ? ?? 3 ? 4a ? 2b ? 3.
解得:a=1,b=-2. ∴ y ? x ? 2x ? 3 .
2

x

C

(x ? 1)? 4 ,所以对称轴为 x=1. 配方得: y ?
2

例 4

(2010 山东莱芜)在平面直角坐标系中,已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 交 x 轴于
2

A(2,0), B(6,0) 两点,交 y 轴于点 C (0,2 3 ) .求此抛物线的解析式;
2 解:∵抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过点 A(2,0) , B(6,0) , C (0, 3 ) .
2

? 3 ?a ? ?4a ? 2b ? c ? 0 6 ? ? ∴ ?36 a ? 6b ? c ? 0 , 解得 ?b ? ? 4 3 . ? 3 ? ? ?c ? 2 3 ?c ? 2 3 ? ?
∴抛物线的解析式为: y ?

3 2 4 x ? 3x ? 2 3 . 6 3

例 5. (2010 湖北鄂州)如图,在直角坐标系中,A(-1,0) ,B(0,2) ,一动点 P 沿过 B 点且垂直于 AB 的射线 BM 运动,P 点的运动速度为每秒 1 个单位长度,射线 BM 与 x 轴交 与点 C. (1)求点 C 的坐标. (2)求过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式.

2

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解: (1)点 C 的坐标是(4,0) ; (2)设过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ,将点 A、B、C 三点的 坐标代入得:

1 ? ?a ? ? 2 ?0 ? a ? b ? c ? 3 1 3 ? ? 解得 ?b ? ,∴抛物线的解析式是:y= ? x2+ x+2. ?2 ? c 2 2 2 ?0 ? 16a ? 4b ? c ? ? ?c ? 2 ? ?

二、 顶点型 若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标,则可以用顶点式 y=a(x-h)2+k. 解题策略:想方设法找到顶点的坐标,然后用待定系数法球解析式,此法比较简单。 例 1 已知抛物线的顶点坐标为(2,3) ,且经过点(3,1) ,求其解析式. 解:设二次函数解析式为 y=a(x-h)2+k,由条件得 1=a(3-2)2+3. 解得 a=-2. 所以,抛物线的解析式为 y=-2(x-2)2+3,即:y=-2x2+8x-5.

例2 解析式.

将抛物线 y=x2+2x-3 向左平移 4 个单位, 再向下平移 3 个单位, 求所得到的抛物线的

解:函数解析式可变为 y=(x+1)2-4. 因向左平移 4 个单位,向下平移 3 个单位,所求函数解析式为 y=( x+1+4)2-4-3,即 y=x2+10x+18. 例 3 (2010 山东滨州)如图,四边形 ABCD 是菱形,点 D 的坐标是 (0, 3 ) ,以点 C 为顶 点的抛物线 y ? ax ? bx ? c 恰好经过 x 轴上 A、B 两点.
2

(1) 求 A、B、C 三点的坐标; (2) 求经过 A、B、C 三点的的抛物线的解析式; (3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点,求平移后抛物线的解析式,并 指出平移了多少各单位?

3

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解:(1)由抛物线的对称性可知 AM=BM. 在 Rt△AOD 和 Rt△BMC 中, ∵OD=MC,AD=BC, ∴△AOD≌△BMC ∴OA=MB=MA 设菱形的边长为 2m,在 Rt△AOD 中,

m 2 ? ( 3 ) 2 ? (2m) 2 ,解得 m ? 1 .
∴DC=2,OA=1,OB=3. ∴A、B、C 三点的坐标分别为 (1,0) 、 (2,0) 、 (2, 3 ) (2)设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 2) ? 3 ,带入 A 点的坐标 (1,0) ,得 a ? ? 3
2

∴抛物线的解析式为 y ? ? 3 ( x ? 2) ? 3
2

(3) 设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 2) ? k ,代入 D 点的坐标 (0, 3 ) ,得 k ? 5 3
2

∴平移后的抛物线的解析式为 y ? ? 3 ( x ? 2) ? 5 3
2

∴平移了 5 3 ? 3 ? 4 3 个单位.

例 4 (2010 江苏无锡)如图,矩形 ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为(-4,0)和(2,0) ,

BC= 2 3 .设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E.
(1)求以直线 x=4 为对称轴,且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线 一定过点 E; (2)设(1)中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N,M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一 动点,求△CMN 面积的最大值.

解: (1)点 C 的坐标(2,2 3).
4

让学习变的简单 y -----------------------------------------------------------------------------设抛物线的函数关系式为 y ? a ( x ? 4) ? m ,
2

D

C

E

则?

?16 a ? m ? 0 ?4a ? m ? 2 3

,解得 a ? ?

3 6

,m ?

8 3 3

.

A
2

O B x=4

x

∴所求抛物线的函数关系式为 y ? ?

3 6

( x ? 4) ?

8 3 3

例 5 (2010 云南红河哈尼族彝族自治州)二次函数 y ? x 的图像如图所示,请将此图像
2

向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位. (1)画出经过两次平移后所得到的图像,并写出函数的解析式. (2)求经过两次平移后的图像与 x 轴的交点坐标,指出当 x 满足什么条件时,函数值大 于 0? 解:画图如图所示: 依题意得: y ? ( x ? 1) ? 2
2

= x ? 2x ? 1 ? 2
2

= x ? 2x ? 1
2

∴平移后图像的解析式为: x ? 2 x ? 1
2

(2)当 y=0 时, x ? 2 x ? 1 =0
2

( x ? 1) 2 ? 2

x ?1 ? ? 2
x1 ? 1 ? 2,x2 ? 1 ? 2
∴平移后的图像与 x 轴交与两点,坐标分别为( 1? 2 ,0)和( 1? 2 ,0) 由图可知,当 x< 1? 2 或 x> 1? 2 时,二次函数 y ? ( x ? 1) ? 2 的函数值大于 0.
2

例 6 (2010 湖北孝感) 如图,已知二次函数图像的顶点坐标为(2,0) ,直线 y ? x ? 1 与 二次函数的图像交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上。二次函数的解析式为 y= ;
5

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解: y ?

1 2 1 x ? x ? 1(或y ? ( x ? 2) 2 ). 4 4

例 7 (2010 山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,顶点为( 4 , ?1 )的抛物线交 y 轴于

A 点,交 x 轴于 B , C 两点(点 B 在点 C 的左侧). 已知 A 点坐标为( 0 , 3 ).求此抛
物线的解析式;

y
解:设抛物线为 y ? a( x ? 4) ? 1 .
2

∵抛物线经过点 A (0,3) ,

D A

∴ 3 ? a(0 ? 4) ? 1
2

1 .∴ a ? . 4
∴抛物线为 y ?

O

B

C

x

1 1 ( x ? 4)2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 3 . 4 4

例8

改革开放后, 不少农村用上了自动喷灌设备, 如图所示, 设水管 AB 高出地面 1.5 米,

在 B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间,喷出的水流呈抛物线状,喷头 B 与水流最高点 C 的连线与水平面成 45°角,水流的最高点 C 比喷头 B 高出 2 米,在所建的坐标系中,求水 流的落地点 F 到 A 点的距离是多少?

6

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------分析:要求点 F 到 A 点的距离,也就是求 A、F 两点横坐标的差.又 A 点横坐标为 0,所以 只需求出 F 点横坐标.F 点在抛物线上是抛物线与 x 轴的交点,所以要根据已知条件,求出 抛物线的解析式. 解: 过 C 点作 CD⊥Ox 于 D,BE⊥CD 于 E,则有 CE=BE=2,AB=DE=1.5,则 B(0,1.5),C(2, 3.5). ∵C 为抛物线的最高点,

2 例 9 (2010 四川凉山)已知:抛物线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,顶点 C (1, ?4) ,与 x 轴交

于 A、B 两点, A(?1, 0) 。求这条抛物线的解析式;

例 10

(2010 四川眉山)如图,Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y

轴的正半轴上,O 为坐标原点,A、B 两点的坐标分别为( ?3 ,0)(0,4) 、 ,抛物线

y?

2 2 5 x ? bx ? c 经过 B 点,且顶点在直线 x ? 上.求抛物线对应的函数关系式; 3 2
y

B N M

C

7

A

O

D

E

x

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------2 5 解:由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为 y ? ( x ? )2 ? m 3 2 2 5 ∴ 4 ? ? (? ) 2 ? m 3 2 1 ∴m ? ? 6 2 5 1 2 10 ∴所求函数关系式为: y ? ( x ? )2 ? ? x 2 ? x ? 4 3 2 6 3 3 三、 交点型 若直接或间接已知二次函数图像与 x 轴的两交点坐标, 则可以用交点式 y=a(x-x1)· 2). (x-x 解题策略: 要注意题目所给的点的坐标特征, 如果已知或可求出与 x 轴的交点坐标 (纵 坐标为 0) ,就可以采用此法。 例 1 已知二次函数图像与 x 轴交于(-1,0)(3,0)两点,且经过点(1,-5) 、 ,求其解析 式. 5 解:设二次函数解析式为 y=a(x+1)(x-3), 由条件得-5=a(1+1)(1-3). 解得 a= . 4 故所求二次函数解析式为 y= 5 (x+1)(x-3), 4 则 y= 5 2 5 15 x — x— . 4 2 4

例 2 如下图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,若 AC=20,BC=15,∠ABC=90°,求这个二次函数解析式. 解:在 Rt△ABC 中,AB=

AC 2 ? BC 2 + 202 ? 152 =25,

1 1 ∵S△ABC= AC·BC= AB·OC, 2 2 AC·BC 20×15 ∴OC= = =12. AB 25 ∵AC2=AO·AB, ∴OB=9. 从而得 A、B、C 三点坐标分别为(-16,0)(9,0) 、 、 (0,12). 1 2 7 于是,利用交点型可求得函数解析式为:y=- x - x+12. 12 12 例3 已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是 x-1=0,抛物线与 x 轴两交点的距离 AC 20 ∴OA= = =16, AB 25
2 2

为 4,求这个二次函数的解析式.

8

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------分析∵对称轴方程是 x-1=0,抛物线与 x 轴两交点的距离为 4,由抛物线的对称性知,抛物 线与 x 轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).由抛物线的交点式:y=a(x-x1)(x-x2)求出解析 式. 变式练习 1 将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.

已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与 x 轴的两个交点间距离是 4.求这个二次函 数的解析式. 变式练习 2 将与 x 轴两交点的距离改为已知一交点坐标.

已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A(3,0),B 两点,与 y 轴交于(0,3)点, 对称轴是 x=1,求二次函数的解析式. 变式练习 3 将对称性在等腰三角形中体现.
2

已知:抛物线 y=mx -(3m+43)x+4 与 x 轴交于两点 A,B,与 y 轴交于 C 点,若△ABC 是等腰 三角形,求抛物线的解析式.

例4

(2010 重庆綦江县)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 B(12,0)和

C(0,-6) ,对称轴为 x=2.求该抛物线的解析式;
y

P A

O

D B Q x

C

解: (1)方法一:∵A、B 关于 x=2 对称 ∴A(-8,0) 设 y=a( x+8)(x- 12)
1 16

C 在抛物线上,∴-6=a×8× (?12) ,即 a= ∴该抛物线解析式为: y ?
1 2 1 x ? x?6 16 4

方法二:∵抛物线过点 C(0,-6)

9

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------∴c=-6,即 y=ax2 +bx-6
? b ? 2, 1 1 ?? 由 ? 2a 解得: a ? , b ? ? 16 4 ?144a ? 12b ? 6 ? 0 ?

∴该抛物线的解析式为 y ? 例 5

1 2 1 x ? x?6 16 4
2

(2010 山东莱芜)在平面直角坐标系中,已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 交 x 轴于

A(2,0), B(6,0) 两点,交 y 轴于点 C (0,2 3 ) .求此抛物线的解析式;
2 解:∵抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过点 A(2,0) , B(6,0) , C (0, 3 ) .
2

? 3 ?a ? ?4a ? 2b ? c ? 0 6 ? ∴ ?36 a ? 6b ? c ? 0 , 解得 ?b ? ? 4 3 . ? ? 3 ? ? ?c ? 2 3 ?c ? 2 3 ? ?
∴抛物线的解析式为: y ? 用交点式会更方便

3 2 4 x ? 3x ? 2 3 . 6 3

例 6 (2010 湖南株洲) 在平面直角坐标系中, 抛物线过原点 O, 且与 x 轴交于另一点 A , 其顶点为 B .孔明同学用一把宽为 3cm 带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量: ① 量得 OA ? 3cm ; ② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合, 使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合 (如图 1) , 测得抛物线与直尺右边的交点 C 的刻度读数为 4.5 . 请完成下列问题: (1)写出抛物线的对称轴; (1) x ? (2)求抛物线的解析式;

3 2

(2)设抛物线的解析式为: y ? ax( x ? 3) ,

3 9 3 9 时, y ? ? a ,即 B( , ? a) ; 2 4 2 4 9 27 9 27 当 x ? 时, y ? a ,即 C ( , a) , 2 4 2 4 27 9 1 依题意得: a ? (? a) ? 4.5 ,解得: a ? . 2 4 4
当x?
10

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------∴抛物线的解析式为: y ?

1 2 3 x ? x. 2 2
2

例 7 (2010 云南楚雄)已知:如图,抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴相交于两点 A(1,0), B(3,0).与 y 轴相较于点 C(0,3) . (1)求抛物线的函数关系式; (2)若点 D( 的面积.

7 , m )是抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 上一点,请求出 m 的值,并求处此时△ABD 2

y
4
3

2 1 ? 2 ?1 O ?1 ?2 1 2
3

4

x

?a ? b ? c ? 0 ? 解: (1)由题意可知 ?9a ? 3b ? c ? 0 ?c ? 3 ?
2

?a ? 1 ? 解得 ?b ? ?4 ?c ? 3 ?

所以抛物线的函数关系式为 y ? x ? 4 x ? 3 . (2)把 D( 所以 S?ABD

7 7 7 5 , m )代人函数解析式 y ? x 2 ? 4 x ? 3 中,得 m ? ( )2 ? 4 ? ? 3 ? . 2 2 2 4 1 5 5 ? ? (3 ? 1) ? ? . 2 4 4

四、 混合型 解题策略:选用合适的方法综合利用题目所给条件。抛物线 y ? ax ? bx ? c 的顶点坐
2

? b 4ac ? b 2 ? , 标为 ? ? ? ,这是中考中最多的题型。 4a ? ? 2a
(一)—-—退化三点型 例1 (2010 广东东莞)已知二次函数
y ? ? x ? bx ? c 的图象如图所示,它与 x 轴的一
2

个交点坐标为(-1,0) ,与 y 轴的交点坐标为(0,3)

11

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------⑴求出 b,c 的值,并写出此时二次函数的解析式; ⑵根据图象,写出函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围. y 3

-1 O

x

⑴根据题意,得: ?? 1 ? b ? c ? 0 ,解得 ?b ? 2 ,所以抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ?c ? 3 ?c ? 3 ? ? ⑵令 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x 2 ? 3 ;根据图象可得当函数值 y 为正数时,自变量

x 的取值范围是-1< x <3.
例2 (2010 山东东营) 如图, 已知二次函数 y ? ax2 ? 4 x ? c 的图象与坐标轴交于点 A (-1,

0)和点 B(0,-5) .求该二次函数的解析式; y A
O

x

B

解:根据题意,得 ? 解得

?0 ? a ? (?1) 2 ? 4 ? (?1) ? c, ? ?? 5 ? a ? 0 2 ? 4 ? 0 ? c. ?

?a ? 1, ? ?c ? ?5.

∴二次函数的表达式为 y ? x 2 ? 4 x ? 5 .

例3

1 2 x ? bx ? c 与 x 轴交于 A (-4,0) 和 B(1, 2 0)两点,与 y 轴交于 C 点.求此抛物线的解析式;
(2010 湖南常德)如图, 已知抛物线 y ?
12

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------y

A O C

B

x

解:由二次函数 y ?

1 2 x ? bx ? c 与 x 轴交于 A(?4,0) 、 B(1,0) 两点可得: 2 ?1 2 3 ? ? 2 (?4) ? 4b ? c ? 0, ?b ? , ? 解得: ? 2 ? ?c ? ?2. ? 1 ?12 ? b ? c ? 0. ? ? 2 ? 1 3 故所求二次函数的解析式为 y ? x 2 ? x ? 2 . 2 2
2

例 4 (2010 湖北恩施自治州) 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y ? x ? bx ? c 的 图象与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0) ,与 y 轴交于 C(0, -3)点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.求这个二次函数的表达式. 解:将 B、C 两点的坐标代入得 ?

?3b ? c ? 0 ?c ? ?3

解得: ?

?b ? ?2 ?c ? ? 3
2

所以二次函数的表达式为: y ? x ? 2 x ? 3

例 5 (2010 广东中山)已知二次函数 y ? ? x ? bx ? c 的图象如图所示,它与 x 轴的一个
2

交点坐标为(-1,0) ,与 y 轴的交点坐标为(0,3) . (1)求出 b,c 的值,并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象,写出函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围.

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让学习变的简单 ------------------------------------------------------------------------------

解: (1)把(-1,0)(0,3)分别代入 y ? ? x ? bx ? c , ,
2

得?

?? 1 ? b ? c ? 0 ?b ? 2 ,解得 ? ?c ? 3 ?c ? 3
2

所以, y ? ? x ? 2 x ? 3 (2)令 y=0,得 ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

解得 x1 ? ?1, x2 ? 3 所以,由图象可知,函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围是 -1<x<3.

1 与 x ? 1 的图象与 x 轴交于点 A. y 轴交于点 B ; 2 1 2 1 二次函数 y ? x ? bx ? c 图象与一次函数 y= x ? 1 的图象交于 B 、 C 两点,与 x 轴交 2 2
例6 (2010 湖北荆门) 已知一次函数 y= 于 D 、 E 两点且 D 点的坐标为 (1,0) ,求二次函数的解析式;

解: ∵ 由题意知:当 x=0 时,y=1, ∴B(0,1),当 y=0 时,x=-2, ∴A(-2,0)

?c ? 1 ?c ? 1 1 2 3 ? ? ∴ ?1 解得 ? 3 , 所以 y ? x ? x ? 1 2 2 ?2 ? b ? c ? 0 ?b ? ? 2 ? ?
(二)—-—混合顶点型

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让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------例7 (2010 山东聊城)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 x=1,且抛 物线经过 A(-1,0) 、C(0,-3)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和 最小,并求此时点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点,求使∠PCB=90? 的点 P 的坐标.

E

解:∵抛物线经过点 C(0,-3)∴c=-3,∴y=ax2+bx-3,又抛物线经过点 A(-1,0) ,

?a ? b ? 3 ? 0, ?a ? 1, ?  解得  对称轴为 x=1,所以 ? b ? ?b ? ?2. ?? 2a ? 1.  ?
∴抛物线的函数关系式为 y=x2-2x-3 例 8. 2010 山东临沂) ( 如图, 二次函数 y ? x ? ax ? b 的图象与 x 轴交于 A(? , 0) , B(2,0)
2

1 2

两点,且与 y 轴交于点 C .求该抛物线的解析式, 解:根据题意,将 A( ? 代入 y=-x2+ax+b 中,

1 ,0),B(2,0) 2

? 1 1 ?? ? a ? b ? 0, 得? 4 2 ??4 ? 2a ? b ? 0. ? 3 ? ?a ? , 解这个方程,得 ? 2 ?b ? 1. ?

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15

让学习变的简单 -----------------------------------------------------------------------------所以抛物线的解析式为 y=-x2+

3 x+1. 2

例 9 (2010 福建福州)如图,在平面直角坐标系中,点 B 在直线 y=2x 上,过点 B 作 x 轴 1 的垂线,垂足为 A,OA=5.若抛物线 y= x2+bx+c 过 O、A 两点.求该抛物线的解析式; 6 1 解:把 O(0,0) 、A(5,0)分别代入 y= x2+bx+c, 6

5 ?c ? 0, ? ? ?b ? ? , 得 ? 25 解得 ? 6 ? 6 ? 5b ? c ? 0. ?c ? 0. ? ?
1 5 ∴ 该抛物线的解析式为 y= x2- x. 6 6

例 10(2010 年上海)已知平面直角坐标系 xOy, 抛物线 y=-x2+bx+c 过点 A(4,0)、 B(1,3) . 求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; 解:抛物线 y=-x2+bx+c 过点 A(4,0)B(1,3).∴ ?
??16 ? 4b ? c ? 0 ?b ? 4 ,? , ??1 ? b ? c ? 3 ?c ? 0

∴ y ? ? x 2 ? 4 x , y ? ?( x ? 2)2 ? 4 ,对称轴为直线 x ? 2 ,顶点坐标为 (2, 4)

例 11 (2010 四川成都)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴交于
2

(点 A 在点 B 的左侧) 与 y 轴交于点 C , A 的坐标为 (?3, , , 点 0) 若将经过 A、C A、B 两点 两点的直线 y ? kx ? b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点, 且抛物线的对称轴是直线

x ? ?2 .求直线 AC 及抛物线的函数表达式;
解:∵ y ? kx ? b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点, ∴ b ? 3 , C (0, 。 3) 将 A (?3, 代入 y ? kx ? 3 ,得 ?3k ? 3 ? 0 。解得 k ? 1 。 0) ∴直线 AC 的函数表达式为 y ? x ? 3 。 ∵抛物线的对称轴是直线 x ? ?2

16

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?9a ? 3b ? c ? 0 ?a ? 1 ? b ? ? ? ?2 ∴ ?? 解得 ?b ? 4 ?c ? 3 ? 2a ? ?c ? 3 ?
∴抛物线的函数表达式为 y ? x ? 4 x ? 3 。
2

例 12. (2010 山东聊城)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 x=1,且抛 物线经过 A(-1,0) 、C(0,-3)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和 最小,并求此时点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点,求使∠PCB=90? 的点 P 的坐标.

E

解: (1)∵抛物线经过点 C(0,-3)∴C=-3,∴y=ax2+bx-3,又抛物线经过点 A(-1,

?a ? b ? 3 ? 0, ?a ? 1, ?  解得  0) ,对称轴为 x=1,所以 ? b ? ?b ? ?2. ?? 2a ? 1.  ?
∴抛物线的函数关系式为 y=x2-2x-3 (2)∵点 A(-1,0) ,对称轴为 x=1,∴点 B(2,0) . 设直线 BC 的函数关系式为 y=kx+b,根据题意得

?? k ? b ? 0, ?k ? ?3,  解得 ? ? ?b ? ?3? ?b ? ?3?

∴直线 BC 的函数关系式为 y=-3x-3,当 x=1 时, y=-6, ∴点 P 的坐标为 (1, -6) .

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