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高二上11月数学试题(教师)

时间:2016-12-24


高二上 11 月数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.抛物线 x2 ? 8 y 的焦点坐标为( )

A. B. C. (2,0) (4,0) (0,2) D. (0,4) 故选:C 2.某人睡午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台中的整点报时, 则他等待时间不多于 15 分钟的概率为( ) A.

1 2

B.

1 4

C.

2 3

D.

3 4

分析:因 15 分钟是 60 的四分之一,所以 P ? 3.执行如图所示的程序框图,则输出的 S=(

15 1 ? ,应选 B.考点:几何概型的公式及运用. 60 4


(A)7

(B)11

(C)26

(D)30

分析:第一次循环: S ? 0 ? 1 ? 1, k ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 ;第二次循环: S ? 4, k ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 ; 第三次循环: S ? 11 , k ? 2 ? 7 ? 1 ? 15 ,结束循环,输出 11 ,故选 B. 考点:算法初步.

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( 4.方程 k ? 4 10 ? k
A.



? 7,10?

B. ? 4, 7 ?
?10 ? k ? 0, ? k ? 4 ? 10 ? k , ?

C. ? 4,10?

D.

? 4, ???

k ? 4 ? 0, 分析:由题意可知 ? ?

解得 7 ? k ? 10 ,应选 A. 考点:椭圆的标准方程及几何性质.

5.过点 M (0, 4) 作直线 l,使它与抛物线 y ? 8x 只有一个公共点,则直线 l 的条数为(
2



A.0 条

B.1 条

C.2 条

D .3 条

分析:因点 M (0, 4) 在抛物线外,只有一个公共点的直线 l 有 3 条,应选 D. 考点:直线与抛物线的位置关系.
2 2 6.与圆 C1 : x ? ? y ? 1? ? 1 及圆 C2 : x ? ? y ? 4 ? ? 4 都外切的动圆的圆心在( 2 2



A.一个圆上

B.一个椭圆上

C.双曲线的一支上

D.一条抛物线上

分析:设动圆的圆心为 M ? x, y ? ,半径为 r ,则由题知 ?

? ? MC1 ? 1 ? r ,相减得 MC2 ? MC1 ? 1 ,由双 MC ? 2 ? r ? 2 ?

曲线的定义可知,动点 M 的轨迹在双曲线的一支上,故选 C.考点:双曲线的定义. 7.高二年级参加学校纪念“长征”胜利八十周年合唱比赛的一位同学得分如茎叶图所示, 根据比赛规则应去掉一个最高分和一个最低分,则最后成绩的中位数和平均数分别是( ) A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 91 8 9 7 0 C.91 和 91.5 D.92 和 92 9 3 1 6 4 0 2 8 试题分析:按照从小到大的顺序排列为 86,87,89,90,91,92,93,94,96,98. 去掉一个最高分和一个最低分后按照从小到大的顺序排列为 87,89,90,91,92,93,94,96,
-1-

∵有 8 个数据,∴中位数是中间两个数的平均数: 平均数为

91.5,

.5, 故选 A. 考点:数据的数字特征.

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90? , 8.若点 P 在椭圆 2 则 ?F1 PF2 的面积是( )
A. 2
2

B. 1

C.

分析: S ?F1 PF2 ? b tan

?
2

3 2

D.

1 2

? tan 45o ? 1 , 应选 B.


2 2 5 9.已知双曲线 C : x 2 ? y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b

A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

分析:因

b 1 c 5 ,令 c ? 5t, a ? 2t ,故 b ? t ,所以 ? ,应选 C. ? a 2 a 2

10.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 16 4

2 ? 0 的最大距离是 (
C. 2 2 D.3



A. 10

B. 11

分析:设 x ? 4cos ? , y ? 2sin ? ,则 d ? 4cos ? ? 4sin ? ? 2

5 ? 4 2 sin(? ? 45o ) ? 2

5 ? 10 ,应选 A.

11.设 F1、F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两个焦点,P 在双曲线上, a 2 b2 uuu r uuu r uuu r uuu r 若 PF1 ? PF2 =0, PF1 ? PF2 =2ac ( c 为半焦距),则双曲线的离心率为( )
3 ?1 2

A.

B.

3 ?1 2

C.2

D.

5 ?1 2

分析:由题意得 ?PF 1 F2 是直角三角形,由勾股定理得

(2c) 2 ? PF1 ? PF2 ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? 4 PF1 PF2 ? 4a 2 ? 4ac ,

2

2

?c2 ? ac ? a 2 ? 0,?e2 ? e ?1 ? 0 , Q e ? 1,? e ?

5 ?1 ,故选 D. 2

考点:(1)双曲线的离心率; (2)向量的数量积; (3)方程的应用. 12. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A ,点 P 在椭圆上(不同于点 A ), a2 b2 O 为坐标原点,且 OP ? PA , 则椭圆的离心率的取值范围是( )
2 ) 2
B. ( 2 ,1)
2

A. (0,

C.(

2 ?1 ,1) 2

D. (

3 ,1) 3

2 2 2 分析:设椭圆上点 P( x, y) ,则由 x 2 ? y2 ? 1 得 y 2 ? b2 ? b 2 x 2 ,又 A(a, 0) , OP ? ( x, y), AP=( x ? a, y) 。 a b a

uu u r

uu u r

-2-

b2 2 c 2 2 x ? 2 x ? ax +a 2 ? c 2 =0 2 a a 3 2 即 c2 x2 ? a3 x ? a4 ? a2c2 ? (c2 x ? a3 ? ac2 )( x ? a)=0 ,∴ x1 = a ?2ac , x2 =a (舍) , c
∴ OP ? PA ? OP ? AP ? 0 , ∴ x( x ? a) ? y 2 ? x 2 ? ax ? b 2 ? 又∵ 0 ? x ? a ∴ 0 ?

uu u r uu u r

a 3 ? ac 2 2 2 ? a ,解得 e ? Q 0 ? e ? 1, ? ? e ? 1 ,故选 B. 2 c 2 2

考点:(1) 椭圆的离心率; (2)几何关系的应用; (3)方程与不等式的应用.

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的相应位置上。 13. 已知抛物线 x2 ? 4 y 上一点 A( m,4) 到其焦点 F 的距离为_____5____
2 2 14. 如果椭圆 x ? y ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是_ x ? 2 y ? 8 ? 0 _ 36 9

15.如图,抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 和圆 C2 : ? x ?

? ?

p? p2 2 ,其中 p ? 0 ,直线 l ? y ? ? 2? 4

2

经过 C1 的焦点,依次交 C1 、 C2 于 A、B、C、D 四点,则 AB ? DC 的值为_

uu u r uuu r

p2 _. 4

分析:法一: (特值法)当直线 l 垂直于 x 轴时, AB ? CD ?

p p2 ,所以 AB ? CD ? ; 2 4 p p ? ? x1 , 2 2

法二:设抛物线的焦点为 F 、 A ? x1 , y1 ?、C ? x2 , y2 ? ,则 AB ? AF ? BF ? x1 ?

同理 DC ? x2 ,所以 AB ? CD ? x1 x2 ?

p2 . 考点:1、抛物线的定义;2、圆的标准方程. 4

16 .若直线

x ? y ? m ? 0 上存在点 P 可作圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 的两条切线 PA、PB ,切点为 A、B ,且

?APB ? 60? ,则实数 m 的取值范围为 ? ?2 2, 2 2 ? .分析:若 ?APB ? 600 ,则 OP ? 2 ,直线 ? ? x ? y ? m ? 0 上存在点 P 可作 O : x2 ? y 2 ? 1 的两条切线 PA, PB 等价于直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 有
公共点,由圆心到直线的距离公式可得 m ? 2 ,解之可得 ? ?2 2, 2 2 ? . ? ? 2 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知双曲线 C 的两焦点为 (?5, 0), (5, 0) ,且经过点 (3, 0) 。 (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)求与双曲线 C 有共同的渐近线,且经过点 A(?3, 2 3) 的双曲线方程。 解: (1)由题意可知,双曲线焦点在 x 轴,实轴顶点为 (3, 0) ,∴ a ? 3, c ? 5 ,
2 2 2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 16 ,双曲线方程为 x ? y ? 1 . 9 16
2 2 (2)依题意设所求双曲线方程为 x ? y ? ? , ? ? ? 0 ? ,

9

16

-3-

?3 将点 A ? ?3, 2 3 ? 代入可得 ? ? 9

2

?2 3? ?
16

2

? ? ,解得 ? ?

1 , 4

所以所求双曲线方程为

x2 y2 1 4x2 y 2 ? ? 1. ? ? ,即 9 4 9 16 4

考点:1 双曲线方程;2 双曲线的简单几何意义. 18.某城市理论预测 2012 年到 2016 年人口总数与年份的关系如下表所示 年份 2012+x(年) 人口数 y(十万) 0 5 1 7 2 8 3 11 4 19

(1)请根据上表提供的数据,求最小二乘法求出 Y 关于 x 的线性回归方程; (2) 据此估计 2017 年该城市人口总数。 参考公式: ?
b?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

? xi2 ? nx
i ?1

2

? ? ? y ? bx ,a

解: (1) Q x ? 2, y ? 10 ,

?x y
i ?1 i
2

5

i

= 0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,

?x
i ?1

5

2 i

= 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30
2 2 2 2

?? ?b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ?3.6 ? ? y ? bx =3.2,a

? =3.2x+3.6 故 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? =3.2x+3.6 y ? =19.6 ,据此估计 2012 年该城市人口总数约为 196 万. ? ,即 y (2)当 x=5 时, y
考点:回归分析的初步应用. 19.某校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成 绩,被抽取学生的成绩均不低于 160 分,且低于 185 分,图是按成绩分组 得到的频率分布直方图的一部分(每一组均包括左端点数据而不包括右端 点数据) ,且第 3 组、第 4 组、第 5 组的频数之比依次为 3:2:1. (1)请完成频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,该高校决定在笔试成绩较高的第 3 组、第 4 组、第 5 组中用分层抽样 的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试; (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生由考官 A 面试,求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率. 【解答】解: (1)由题意知第 1,2 组的频数分别为:100×0.01×5=5, 100×0.07×5=35.故第 3,4,5 组的频数之和为:60,从而可得其频数依次 为 30,20,10,其频率依次为 0.3,0.2,0.1,其频率分布直方图如右图. (2)由第 3,4,5 组共 60 人,用分层抽样抽取 6 人.故第 3,4,5 组中应抽取的学生人数依次为:第 3 组: 30 ? 6 ? 3 人;第 4 组: 20 ? 6 ? 2 人;第 5 组: 10 ? 6 ? 1 人. 60 60 60 (3)由(2)知共有 6 人(记为 A1,A2,A3,B1,B2,C)被抽出,其中第 4 组有 2 人(记为 B1,B2) . 有题意可知:抽取两人作为一组共有 15 种等可能的情况。
-4-

设事件“第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试”为事件 A ,事件 A 共有(A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2, B2) , (A3, B1) , (A3, B2) , (B1, B2) , (B1, C) , (B2, C) 共 9 种, 因此所求事件的概率为 P ( A) ? 9 ? 3 . 15 5 法二:设事件“第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试”为事件 A ,则事件 A 的对立事件 A 为““第 4 组没有一 名学生被考官 A 面试”,即从第 3 组和第 5 组共 4 人抽取两人作为一组共有(A1,A2) , (A1,A3) , (A2, A3) , (A3,C) , (A1,C) , (A2,C)共 6 种,∴所求事件的概率为 P ( A) ? 1 ? 6 ? 3
15 5

【考点】频率分布直方图;等可能事件的概率. 20.已知向量 a ? (?2,1), b ? ( x, y) 。 (1) 若将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次, r r 第一次出现的点数为 x ,第二次出现的点数为 y ,求事件“满足 a ? b ? ?1”的概率;
r r (2) 若 x, y 分别在连续区间 [1, 6] 上取实数值,求事件“满足 a ? b ? 0 ”的概率。

r

r

21.设抛物线 C : y 2 ? 4x , 直线 l 与 C 相交于 A, B 两点. (1) 若直线 l 的斜率为 2 且过抛物线 C 的焦点 F , 求弦 AB 的值; (2)若直线 l 过点 M (m, 0) ,且满足 OA ? OB ( O 为坐标原点) ,求实数 m 的值.

解:依题意得 F(1,0), 所以直线 l 的方程为 y=2(x-1). 设直线 l 与抛物线的交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 消去 y 整理得 x2-3x+1=0, ∴x1+x2=3, x1x2=1. ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5. (Ⅱ)法一: ①当斜率存在时,设直线 AB 方程为 y=k(x﹣m) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 ,得 ky2﹣4y﹣4km=0,∴ ,

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.即 m2﹣4m=0 ∴m=0 或 m=4.但 m=0 不合题意,舍去。 ②当斜率不存在时, m=4. 综上,m 的值为 4.
-5-

法二:显然,直线 AB 的斜率不为 0,故设直线 AB 方程为 ty ? x ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 联立 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 ,∴ y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4m ,∴ x1 x2 ? ( y1 y2 ) ? m2 ,
16
2

∵ OA ? OB ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 m ? 4m=0 ,∴ m =0 或 m =4 .但 m =0 不合题意,舍去。
2

综上, m 的值为 4. 22.已知定点 E (?1,0),F (1,0) ,动点 P( x, y) 满足 PE ? PF ? 4 ,记动点 P 的轨迹为曲线 G 。 (I)求曲线 G 的标准方程; (Ⅱ)过点 F 作不垂直于坐标轴的直线 l ,交曲线 G 与 A,B 两点,点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点。 (ⅰ)求证:直线 BC 恒过 x 轴上的定点 N ,并求出定点 N 的坐标; (ⅱ)求 V ABN 的面积的取值范围。

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.

-6-

22.如图,已知椭圆 C:

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,点(2,1) 2 a b 2

在椭圆 C 上. (ⅰ)求椭圆 C 的方程; (ⅱ)设直线 l 与圆 O : x2 ? y 2 ? 2 相切,与椭圆 C 相交于 P,Q 两点. ①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F,求△OPQ 的面积; ②求证: OP⊥OQ.

试题分析: (1) 求椭圆标准方程, 一般利用待定系数法, 即列出两个独立条件, 解方程组即可: 由

c 2 ? , a 2

4 1 2 2 (2)①直线过一定点,又与圆相切,因此可先利用直线与圆位置关系确 ? 2 ? 1 ,解得 a =6,b =3. 2 a b 6 6 定直线方程 y=± 2 (x- 3 ).再根据弦长公式求底长 PQ= ,根据点到直线距离求高 2 ,最后 5 6 3 根据面积公式求面积: ②研究直线与椭圆位置关系,一般联立方程组,利用韦达定理求解:因为 5 uuu r uuu r 2 2 OP ? OQ =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m 而直线 PQ 方程代入椭圆方程,
得 (1 + 2k ) x + 4kmx + 2m - 6 = 0. 则有 x1 + x2 =-
2 2 2

2m 2 ? 6 4km , x .因为直线与圆相切,所以 1x2 = 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

|m| k2 ?1

uu u r uuu r ? 2 ,即 m2=2k2+2.代入化简得 OP ? OQ =0

解: (1) 由题意得

x2 y2 c 2 4 1 2 2 ? ? 1 (2)①法一 椭 ? , 2 ? 2 ?1, 解得 a =6, b = 3. ∴椭圆的方程为 6 3 a 2 a b

圆 C 的右焦点 F( 3 ,0).设切线方程为 y=k(x- 3 ),即 kx-y- 3 k=0, 所以

|? 3k| k2 ?1

? 2 ,解得 k=± 2 ,所以切线方程为 y=± 2 (x- 3 ).

? x2 y 2 8 3 6 ? ?1 由方程组 ? 解得 5x2 ? 8 3x ? 6 ? 0 ,∴ ? ? 72, x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 3 ? 6 5 5 ? y= 2 ( x- 3) ?
∴PQ= | PO |? 1 ? k
2

( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

6 6 .又 O 到直线 PQ 的距离为 d ? 2 5

∴△OPQ 的面积为 SVOPQ ?

1 1 6 6 6 3 | PO | d ? ? ? 2? . 2 2 5 5
6 3 . 5

因为椭圆的对称性,当切线方程为 y=- 2 (x- 3 )时,△OPQ 的面积也为 综上所述,△OPQ 的面积为

6 3 . 5
2

解法二 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2),消去 y 得 5x -8 3 x+6=0.则有 x1+x2=

8 3 . 5

-7-

由椭圆定义可得,PQ=PF+FQ=2a-e( x1+x2)=2× 6 -

2 8 3 6 6 × = . 2 5 5

② (i)若直线 PQ 的斜率不存在,则直线 PQ 的方程为 x= 2 或 x=- 2 . 当 x= 2 时,P ( 2 , 2 ),Q( 2 ,- 2 ).∵ OP ? OQ =0, OP⊥OQ. 当 x=- 2 时,同理可得 OP⊥OQ. (ii) 若直线 PQ 的斜率存在,设直线 PQ 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0. 因为直线与圆相切,所以

uu u r uuu r

|m| k ?1
2

? 2 ,即 m2=2k2+2.
2 2 2

将直线 PQ 方程代入椭圆方程,得(1+2k ) x +4kmx+2m -6=0. 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2),则有 x1+x2=-

2m 2 ? 6 4km , x . 1x2= 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

因为 OP ? OQ =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m

uu u r uuu r

2m 2 ? 6 4km 2 +km×(- )+m . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 uu u r uuu r 2 2 将 m =2k +2 代入上式可得 OP ? OQ =0,所以 OP⊥OQ.
=(1+k )×
2

综上所述,OP⊥OQ. 考点:椭圆标准方程,直线与圆相切,直线与椭圆位置关系

-8-


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