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2011年深圳二模文科数学答案(word版)

时间:2011-05-08


年深圳市高三年级第二 2011 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)答案及评分标准 数学(
说明: 说明: 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 对计算题当考生的解答

在某一步出现错误时, 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 选择题: 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 B 2 B 3 D 4 B 5 C 6 C 7 A 8 D 9 C 10 C

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: 11. [?1,1] . 12. c . 13.

1 ; 298 . 8

14. 2 3 .

15. 30 .

o

说明: 说明:第 13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin

x x x x cos ? (cos 2 ? sin 2 ). 2 2 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的最大值并求出此时 x 的值;

sin x + cos(π + x) 的值. π sin x + sin( ? x) 2 x x x π 2 x 解: (1) f ( x ) = 2 3 sin cos ? (cos ? sin 2 ) = 3 sin x ? cos x = 2sin( x ? ) 2 2 2 2 6
(2)若 f ( x ) = 0 ,求 …………2 分 当x?

π π 2π = 2kπ+ , k ∈ Z ,即 x = 2kπ+ , k ∈ Z 时, f ( x) 取得最大值为 2 . 6 2 3
…………6 分

(2)令 f ( x ) = 0 时,得 tan x =

3 . 3

…………8 分



sin x + cos(π + x) sin x + sin( ? x) 2

π

=

sin x ? cos x tan x ? 1 = = 3 ? 2. sin x + cos x tan x + 1

…………12 分

17. (本小题满分 12 分) 某校高三(1)班共有 40 名学生,他们每天自主学习的时间全部在 180 分钟到 330 分钟之间,按他们学习时间的长短分 5 个组统计得到如下频率分布表:

分组 [180,210) [210,240) [240,270) [270,300) [300,330)

频数

频率

4 8 12 10 n

0.1 s 0.3 0.25 t

( 1 )求分布表中 s , t 的值; (2) 某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性, 需要在这 40 名学生中 按时间用分层抽样的方法抽取 20 名学生进行研究,问应抽取多少名第一组的学生? (3)已知第一组的学生中男、女生均为 2 人.在(2)的条件下抽取第一组的学生,求既 有男生又有女生被抽中的概率. 解: (1) s =

8 = 0.2 , t = 1 ? 0.1 ? s ? 0.3 ? 0.25 = 0.15 .……………………………4 分 40 x 20 (2)设应抽取 x 名第一组的学生,则 = ,得x = 2. 4 40 ……………………………6 分 故应抽取 2 名第一组的学生. (3)在(II)的条件下应抽取 2 名第一组的学生.
记第一组中 2 名男生为 a1 , a2 , 2 名女生为 b1 , b2 . 按时间用分层抽样的方法抽取 2 名第一组的学生共有 6 种等可能的结果,列举如下:

a1a2 , a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2b2 , b1b2 .

……………………………9 分

其中既有男生又有女生被抽中的有 a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2b2 这 4 种结果, ………………10 分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为 P = 18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ⊥ AD ,且 AB = AD =

4 2 = . 6 3

…………………………12 分

1 CD = 1 . 2

现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面

ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM ∥平面 BEC ;
(2)求证: BC ⊥ 平面 BDE ; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.
E M

E F M D C B

D

C

F

A

B

A

图1

图2

(1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN, BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点,
F

E M D A G N C B

所以 MN ∥ CD ,且 MN = 由已知 AB ∥ CD , AB =

1 CD . 2

1 CD , 2

所以 MN ∥ AB ,且 MN = AB . 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM ∥平面 BEC . (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ⊥ AD .

…………………………3 分 …………………………4 分 ………………………5 分

又因为平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ,且平面 ADEF I 平面 ABCD = AD , 所以 ED ⊥ 平面 ABCD . 所以 ED ⊥ BC . ………………………7 分

在直角梯形 ABCD 中, AB = AD = 1 , CD = 2 ,可得 BC = 在△ BCD 中, BD = BC = 所以 BD + BC = CD .
2 2 2

2.

2 , CD = 2 ,

所以 BC ⊥ BD . 所以 BC ⊥ 平面 BDE . (3)解法一:由(2)知, BC ⊥ 平面 BDE 又因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ⊥ 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ⊥ 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 在直角三角形 BDE 中, S ?BDE = 所以 DG =

…………………………8 分 …………………………10 分

……………………11 分

………………………12 分

1 1 BD ? DE = BE ? DG 2 2

BD ? DE = BE

2 3

=

6 3
6 . 3
………………………14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

解法二:由(2)知, BC ⊥ BE , BC ⊥ BD 所以 S ?BCD =

1 1 BD ? BC = ? 2 ? 2 = 1, 2 2

S ?BCE =

1 1 6 BE ? BC = ? 2 ? 3 = . 2 2 2

………………………12 分

又 V E ? BCD = V D ? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h. 则

1 1 S ?BCD ? DE = ? S ?BCE ? h 3 3

所以

h=

S ?BCD ? DE 1 6 = = S ?BCE 3 6 2 6 . 3
………………………14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于 19. . (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C 的两焦点为 F1 ( ?1 , 0) , F2 (1 , 0) ,并且经过点 M ?1 , (1)求椭圆 C 的方程;

? ?

3? ?. 2?

(2)已知圆 O : x 2 + y 2 = 1 ,直线 l : mx + ny = 1 ,证明当点 P (m , n ) 在椭圆 C 上运 动时,直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 解:(1)解法一:设椭圆 C 的标准方程为 由椭圆的定义知:

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , a 2 b2

?3 ? 2a = (1 + 1) + ? ? 0 ? + ?2 ?
2

2

3 (1 ? 1) + ? ? 0 ? = 4 , c = 1 , b 2 = a 2 ? c 2 = 3 ? ? ?2 ?
2

2



a = 2, b = 3
...............4

x2 y2 故 C 的方程为 + = 1. 4 3
分 解法二:设椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , a 2 b2
2

?3? ? ? 2 1 ? 3? ? 2 ? = 1② 2 2 依题意, a ? b = 1 ①, 将点 M ?1, ? 坐标代入得 2 + a b2 ? 2?
故 由①②解得 a 2 = 4, b 2 = 3 , C 的方程为

x2 y2 + = 1. 4 3

...............4 分

(2)因为点 P (m, n ) 在椭圆 C 上运动,所以

m2 n2 m2 n2 + = 1 ,则 m 2 + n 2 > + = 1, 4 3 4 3

从而圆心 O 到直线 l : mx + ny = 1 的距离 d = 所以直线 l 与圆 O 相交. 直线 l 被圆 O 所截的弦长为

1 m + n2
2

<1= r ,
............... 8 分

L = 2 1? d 2 = 2 1?

1 = 2 1? m + n2
2

1 ? m2 m 2 + 3?1 ? ? 4 ?

? ? ? ?

= 2 1?

1 1 2 m +3 4
...............10 分

Q 0 ≤ m2 ≤ 4∴3 ≤

1 2 1 1 1 m + 3 ≤ 4, ≤ ≤ , 3 4 4 1 2 m +3 4
...............14 分



2 6 ≤L≤ 3. 3

20.(本小题满分 14 分) 执行下面框图所描述的算法程序,记输出的一列数依次为 a1 , a 2 ,…, a n , n ∈ N * ,

n ≤ 2011 . (注:框图中的赋值符号“ = ”也可以写成“ ← ”或“: = ” )

2 ,写出输出结果; 1 (2)若输入 λ=2 ,令 bn = ,证明 {bn } 是等差数列,并写出数列 {an } 的通项公式; an ? 1 2a n ? 1 5 8 (3) 若输入 λ = , c n = 令 ,T = c1 + 2c2 + 3c3 + L + 2011c2011 . 求证:T < . 2 an ? 2 9
开始

(1)若输入 λ =

输入 λ 的值

i = 1, a = 0

a=

1 λ?a

i ≤ 2011 且 a ≠ λ ?




结束

i = i +1

输出 a

解:(1)输出结果为 0,

2 , 2. 2

………………4 分

(注:写对第一个数给 1 分,写对二个数得 2 分.) (2)当 λ=2 时, bn +1 ? bn =

1

a n +1 ? 1

?

1 = an ? 1

1 1 ? 1 ? 1 an ? 1 2 ? an

=

2 ? an 1 ? = ?1 (常数) n ∈ N * , n ≤ 2010 . , an ? 1 an ? 1
…………………………6 分

所以, {bn } 是首项 b1 = ?1 ,公差 d = ?1 的等差数列. 故 bn = ? n ,

1 1 = ? n ,数列 {an } 的通项公式为 a n = 1 ? , n ∈ N * , n ≤ 2011 . a n ?1 n
……………………………9 分

(3)当 λ=

cn+1 cn

2a n ? 1 5 1 时, a n +1 = , cn = 5 2 an ? 2 ? an 2 2 ?1 5 ? an 2 1 ? 2 1 2a ? 1 2a n+1 ? 1 5 ? n ? an 4 an ? 2 1 a n+1 ? 2 = = 2 = = , ……………………………11 分 2a n ? 1 2a n ? 1 2an ? 1 4 an ? 2 an ? 2 an ? 2
n ?1

1 1 1?1? ∴ {cn } 是以 为首项, 为公比的等比数列. cn = ? ? 2? 4? 2 4
2 3

?1? = 2? ? ?4?

n

?1? ?1? ?1? ?1? Tn = c1 + 2c2 + 3c3 + L + n ? cn = 2? ? + 4? ? +6? ? +L+2n? ? ?4? ?4? ?4? ?4? 1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn = 2? ? + 4? ? +6? ? +L+2n? ? 4 ?4? ?4? ?4? ?4?
2 2 3 4 n +1

n

? 1? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 两式作差得 ?1 ? ?Tn = 2? ? + 2? ? + 2? ? +2? ? +L + 2? ? ? 2n? ? ? 4? ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?

3

4

n

n +1

n ? 1 ?? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ? n +1 n n +1 ? 4?? ? 4? ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? = 2 ?1 ? ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ? 即 Tn = ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 3? ?4? ? ?4? ?4? ? ? 1? 4
n n +1 n n +1 8 ? ? 1 ? ? 8n ? 1 ? 8 8 ? 1 ? 8n ? 1 ? ∴Tn = ?1 ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 9? ?4? ? 3 ?4? 9 9?4? 3 ?4? ? ?

……………………………13 分

8 8?1? 当 n = 2011 时, T = ? ? ? 9 9?4?
21. (本小题满分 14 分)

2011

8 ?1? ? ? 2011 ? ? ? 3 ?4?

2012

<

8 9

……………………14 分

, 已 知 函数 f ( x) = e x ( e 为 自然 对 数的 底 数) g ( x ) = f ( x ) ? f ( ? x ) ? ? a +

? ?

1? ?x , a?

x∈ R ,a > 0.
(1)判断函数 g (x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)求函数 g (x ) 的单调递增区间; (3)证明:对任意实数 x1 和 x2 ,且 x1 ≠ x2 ,都有不等式

f(

x1 + x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) )< < 成立. 2 2 x1 ? x2

解: (1)Q 函数 g (x ) 的定义域为 R , 且 g ( ? x ) = f (? x ) ? f ( x ) + ? a + ∴ 函数 g (x ) 是奇函数. (2) g ′( x ) = e + e
x ?x

? ?

1? ? 1? ? ? ? x = ? ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? ? a + ? x ? = ? g ( x) a? a? ? ? ?
………………2 分

1? ? 1? ? 1 ? ? ? ? a + ? = e ? x ? e2 x ? ? a + ? e x + 1? = e ? x (e x ? a )(e x ? ) a? a? a ? ? ? ?
………………3 分

当 a = 1 时, g '( x ) = e ? x (e x ? 1) 2 ≥ 0 且当且仅当 x = 0 时成立等号,故 g ( x ) 在 R 上递增; ………………4 分 当 0 < a < 1 时, a <

1 1 x x ,令 g '( x ) > 0 得 e > 或 e < a , a a
………………5 分

故 g ( x ) 的单调递增区间为 (?∞, ln a ) 或 ( ? ln a, +∞ ) ; 当 a > 1 时, a >

1 1 x x ,令 g '( x ) > 0 得 e > a 或 e < , a a

故 g ( x ) 的单调递增区间为 ( ?∞, ? ln a ) 或 (ln a, +∞) .

………………6 分

(3)不妨设 x1 > x2 ,
1 2 e x1 ? e x2 e x1 + e x2 x1 + x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 < ?e < < , f( )< x1 ? x2 2 2 x1 ? x2 2

x +x

?1<
令x=

e

x1 ? x2 2

?e x1 ? x2

x2 ? x1 2

<

e

x1 ? x2 2

+e 2

x2 ? x1 2

………………7 分

e x ? e? x e x + e? x x1 ? x2 < > 0 ,则只需证 1 < 2 2x 2 e x ? e? x , 由(2)知 g ( x ) = e x ? e ? x ? 2 x 在 R 上递增, 2x

………………8 分

先证 1 <

∴ 当 x > 0 时, g ( x ) > g (0) = 0 ∴ e ?e
x ?x

e x ? e? x > 2 x ,从而由 x > 0 知 1 < 成立; 2x

………………10 分

再证

e x ? e? x e x + e? x e x ? e? x < ,即证: x <x, 2x 2 e + e? x e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? x ,则 h( x) = 2 x ? x = 1 ? 2x ? x 是减函数, x ?x e +e e +1 e +1
………………13 分

令 h( x) =

e x ? e? x ∴当 x > 0 时, h( x ) < h(0) = 0 ,从而 x < x 成立. e + e? x
综上,对任意实数 x1 和 x2 ,且 x1 ≠ x2 ,都有不等式

f(

x1 + x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) )< < 成立. 2 x1 ? x2 2

………………14 分


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