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2014届杨浦区高三数学一模试卷(理科含答案)


上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(理科)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 计算: lim

n ??

3n ? 3n ? 1


r />2.若直线 y ? 3x ? 1 ? 0 的倾斜角是 ? ,则 ? ?

(结果用反三角函数值表示).

3.若行列式

2 x ?1 1

4 2

? 0 ,则 x ?
1 2

.

4.若全集 U ? R ,函数 y ? x 的值域为集合 A ,则 CU A ? 5.双曲线 x ?
2

.

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3 x ,则 b ? ________. b2
x ?1

6.若函数 f ?x ? ? 3 ? 2 的反函数为 f

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?



7. 若将边长为 1 cm 的正方形绕其一条边所在直线旋转一周,则所形成圆柱的体积 等于

?cm ? .
3
2 2

8. 已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? _________. 9. 已知函数 f ( x) ? ?sin ?x ? cos?x ? ? 1 的最小正周期为 ? ,则 ? ? _________.
2

10. 某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储费 用为 2 x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.

11. 已知复数 ? ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z ?

5

?

? ? ? 2 ,则一个以 z 为根的实系数一

1

元二次方程是________. 12 . 若 ( x 2 ? )n 的二项展开式中,所有二项式系数和为 64 ,则该展开式中的常数项 为 .
2 2

1 x

13.设 a , b 随机取自集合 {1, 2,3} ,则直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 1有公共点的 概率是 .
x

14.已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?

? f ( x), ?? f ( x),

x ? 0, x ? 0.

给出下列命题:

① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总 有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应 在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 若空间三条直线 a 、 b、 c 满足 a ? b , b // c ,则直线 a 与 c ???( ).

( A) 一定平行

( B) 一定相交

(C ) 一定是异面直线

( D) 一定垂直
???( ).

16. “ x ? 1 ? 2 成立”是“

x ? 0 成立”的 x ?1

( A) 充分非必要条件.
(C ) 充要条件.

( B) 必要非充分条件.
( D) 既非充分又非必要条件.

17. 设锐角 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? 1 , B ? 2 A , 则 b 的取值范围为 ???( ).

( A)

?

2,

3 . ( B)

?

?1 , 3 ?

. (C )

?

2, 2 .

?

( D)

?0 , 2?



18.定义一种新运算: a ? b ? ?

?b, (a ? b) 4 ,已知函数 f ( x) ? (1 ? ) ? log 2 x ,若函数 x ? a, ( a ? b)
2

k 的取值范围为 g ( x)? f ( x? ) 恰有两个零点,则 k
( A)

???( ). . ( 0 , 1)

?1, 2 ?



( B)

. (1, 2 )

(C ) (0, 2)

. ( D)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a . (1)求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小; (2)求四棱锥 A1 ? ABCD 的体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分 . 已知向量 m ? x , 1 , n ? ?a , 1? 2ax ? ,其中 a ? 0 .函数 g ? x ? ? m ? n 在区间 x ? ?2 , 3?
2

?

?

上有最大值为 4,设 f ?x ? ? (1)求实数 a 的值; (2)若不等式 f 3

g ?x ? . x

? ?? k3
x

x

? 0 在 x ? ?? 1 , 1?上恒成立,求实数 k 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分 . 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域) ” ,其中 AC 、 BD 是过抛物线 ? 焦

3

点 F 的两条弦,且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA ? ? ,其 中 ? 为锐角. (1) 求抛物线 ? 方程; (2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求 ? 的大小?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 10 分,第①问 5 分,第②问 5 分,第(2)小题满分 6 分.

4

已知椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1. 4

(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图),直线 AM , BM 分 别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ,且 2?

m?? 3.
①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (2)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 ? 于 T 、
2 2

R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 13 分, 第①问 5 分,第②问 8 分.

5

设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N* 都有 2S n ? ?kn ? b ??a1 ? a n ? ? p 成立, (其中

k 、 b 、 p 是常数) .
(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 S n ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, ①若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; ②设数列 ?an ? 中任意 (不同) 两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是 “ ? 数列” . 如果 a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在数列 ?an ? 为“ ? 数列” ,使得对任意 n ? N* ,都有

Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所 12 S1 S2 S3 Sn 18

有取值构成的集合;若不存在,说明理由.

6

杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三模拟测试

2014.1.2

一.填空题(本大题满分 56 分) 1. 1 ; 2. arctan3 ; 3.2;
2

4. ?? ? , 0 ? ; 5.

3 ; 6. 1 ; 7. ? ; 8. 2;

9. 理 ? 1 ; 10. 30 ; 11. x ? 6 x ? 10 ? 0 ; 12. 理 15 ;13.理 14.理②、③, 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题 15. D ; 16. B; 17. A ; 18.理 B; 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题 19. 【解】 (1)因为 B1C // A1 D ,

5 , 9

?直线 A1 B 与 A1 D 所成的角就是异面直线 A1 B 与 B1C 所成角. ??2 分
又 ?A1 BD 为等边三角形,

7

?异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 60? .

??6 分

(2)四棱锥 A1 ? ABCD 的体积 V ?

1 2 1 ? a ? a ? a3 3 3

??12 分

20. 【解】 (1)由题得 g ?x ? ? m ? n ? ax ? 1 ? 2ax ? a( x ? 1) ? 1 ? a
2 2

??4 分

又 a ? 0 开口向上,对称轴为 x ? 1 ,在区间 x ? ?2 , 3? 单调递增,最大值为 4,

? g ?x ?max ? g ?3? ? 4

所以, a ? 1

??7 分

(2)由(1)的他, f ?x ? ?
x

g ( x) 1 ? x? ?2 x x

??8 分

x x 令 t ? 3 ,则 t ? ? ,3? 以 f 3 ? k 3 ? 0 可化为 f (t ) ? kt , 3

?1 ? ? ?

? ?

即k ?

f (t ) 恒成立, t

??9 分

1 ?1 ? 1 f (t ) 1 f (t ) 最小值为 0, ? ( ? 1) 2 且 ? ? ,3? ,当 ? 1 ,即 t ? 1 时 t ?3 ? t t t t

??13 分

?k ? 0
21. 【解】

??14 分

理科 (1) 由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x ? 4 y
2

??5 分 ??6 分 ??7 分

(2) 设 AF ? m ,则点 A(?m sin? , m cos? ? 1) 所以, (?m sin? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin
2

2

2

? ? 4m cos? ? 4 ? 0

解得

AF ?

2( c o? s ? 1) 2 s i n?

??8 分

8

同理: BF ?

2(1 ? sin ? ) cos2 ? 2(1 ? sin ? ) DF ? cos2 ? 2(1 ? cos? ) CF ? sin 2 ?
蝶 形 图

??9 分 ??10 分 ??11 分 案 ” 的 面 积





S ? S ?AFB ? S ?CFD ?

1 1 4 ? 4 sin ? cos? AF ? BF ? CF ? DF ? 2 2 (sin ? cos? ) 2
? 1?

令 t ? sin ? cos? , t ? ? ? 0 , 2 ? , ?t ? ?2,?? ? ? ?
2

1

??12 分

1? t 1 ? ?1 1 ? 则 S ? 4 2 ? 4? ? ? ? 1 , ? ? 2 时,即 ? ? “蝴蝶形图案”的面积为 8 t t 4 ?t 2?
??14 分 22. 【解】 理科 解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 ),且 m ? 0 , 2 1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , ?直线 AM 的斜率为 k1= ? 2m 2m
3 ?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

2m

……2 分

? x2 ? y 2 ? 1, ? 由? 4 得 m 2 ? 1 x 2 ? 4mx ? 0 , 1 ?y ? ? x ? 1, 2m ?

?

?

9

? x ? 0, x ?

4m ? 4m m 2 ? 1 ? , ?E ? 2 , 2 ?, 2 m ?1 ? m ?1 m ?1?

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 , ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

12m 12m 9 ? m 2 ? ; , ?F ? , 2 2 ? ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?
2

……4 分

据已知, m ? 0, m ? 3 ,
m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 ?直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m

?直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ? ? ?x? 2 ?, 2 m ?1 4m ? m ?1 ?

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. ② S?AMF ?

……5 分

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

……7 分

?

5m m ? ,? m?0, 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

?整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ? 1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

2 2 又有 m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ? m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.

……10 分

(2) 因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 ,

10

直线 l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , k

……12 分

所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 1? k2


,

所以直线 l1 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 所截的弦 TR ? 2 4 ? d ?
2

2 3 ? 4k 2 1? k 2

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

8k xQ ? xP ? ? 2 k ?4
所以 S ?TRQ ?

1 64 k 2 8 k2 ?1 ? 2 所以 QP ? (1 ? 2 ) 2 k (k ? 4) 2 k ?4

……14 分

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

当 4k ? 3 ?

2

13 4k ? 3
2

? k2 ?

5 10 ?k?? 时等号成立, 2 2
……16 分

此时直线 l1 : y ? ? 23【解】 (理科)

10 x ?1 2

解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,由 2S n ? ?kn ? b ??a1 ? a n ? ? p 得
3(a1 ? an ) ? 4 ? 2S n

① ② ……2 分

用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2S n?1 , ②—①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an ,

11

在①中令 n ? 1得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴

an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴ Sn =
3n ? 1 2

…….5 分

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,
n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,

③ ④ …….7 分

用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an ?1 ) , ④—③得,
(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,

⑤ ⑥

用 n ? 1 去代 n 得, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? a1 ? 0 ,

⑥—⑤得, nan? 2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an , ∴数列 {an } 是等差数列.∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 , ∴公差 d ?

…….8 分

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 9?3

……10 分

易知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) . 又 ?an ? 是“ ? 数列” ,得:对任意 m, n ? N* ,必存在 p ? N* 使
a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,

得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, 又由已知, 一方面,当 都有
1 1 11 18 ? ? ,故 ? a1 ? 12 12 S1 18 11

…….12 分

18 ? a1 ? 12 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N* , 11

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S2 S3 Sn S1 12
12

.…….13 分

另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) , 则
1 1 1 1 1 , ? ? ??? ? 1? S1 S2 S3 Sn n ?1

1 1 1 , ? ? Sn n n ? 1

取 n ? 2 ,则

1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意. S1 S2 3 3 18
1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

…….14 分

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

…….15 分

当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

…….16 分 …….17 分
?? 18 分



18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 11

所以,首项 a1 的所有取值构成的集合为 ?4, 6, 8, 10?

(其他解法,可根据【解】的评分标准给分)

13


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