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湖北省天门市2015届高三四月调考文科数学试卷

时间:2015-05-10


绝密★启用前

试卷类型:A

天 门 市 2015 年 高 三 年 级 四 月 调 研 考 试


注意事项:

学(文史类)

本试卷共4页,共22题。全卷满分150分,考试时间120分钟。 大数据分析,提升学习力。

1. 答卷前,先将自己的姓

名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2. 选择题的作答,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答: 用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将答题卡上交。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R, A ? ?x | x ? 1? , B ? ? x | x ? 2? ,则集合?U(A∪B)= A、 ?x |1 ? x ? 2?
2

B、 ?x |1 ? x ? 2?
3

C、 ? x | x ? 1? C、 1 ? i

D、 ? x | x ? 2? D、 ? 1 ? i

2.已知 z 为复数, ?1 ? i ? z ? ?1 ? i ? (i 为虚数单位) ,则 z = A、 1 ? i B、 ? 1 ? i 3.一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三 角形。若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的 坐标分别是(0,0,0) , (2,0,0) , (2,2,0) , (0,2,0) , 则第五个顶点的坐标可能为 A、 (1,1,1) C、 (1,1, 3 ) B、 (1,1, 2 ) D、 (2,2, 3 )
俯视图
甲 乙 7 8 9 5 8 3 6 8

正视图

侧视图

4.甲、乙两名同学,在班级的演讲比赛中,得分情况如图所示,记甲、 乙两人的平均得分分别为 x甲 、 x乙 ,则下列判断正确的是 A、 x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 C、 x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 B、 x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定 D、 x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定
4 6 7 8 0

数学(文史类)试题

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5.已知双曲线 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 5 ,抛物线 y ? x 2 ? 1与双曲线 C 的渐 2 16 a b 近线相切,则双曲线 C 的方程为 2 2 2 2 x2 y2 A、 x 2 ? B、 C、 x ? y ? 1 D、 x ? y ? 1 ? y2 ? 1 ?1 4 4 2 8 8 2

6.已知多项式 f ( x) ? 4x5 ? 2x4 ? 3.5x3 ? 2.6x2 ? 1.7 x ? 0.8 ,用秦九韶算法算 f (5) 时的 V1 值为 A、22 B、564.9 C、20 D、14130.2 7.数列{cn}为等比数列,其中 c1=2,c8=4, f ( x) ? x( x ? c1 )(x ? c2 ) ? ? ? ( x ? c8 ) , f ?( x ) 为 函数 f(x)的导函数,则 f ?(0) = A、0 B、26 C、29 D、212 8.“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 1246),在两位的“序数”中任取一个 数比 36 大的概率是 1 A、 2 2 B、 3 3 C、 4 4 D、 5

?2 x?1 ? 1,0<x ? 2 9.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x>0 时, f ( x) ? ? . 则关于 x 的方程 ?1 ? f ( x ? 2), x>2 ?2

6? f ?x?? ? f ?x? ?1 ? 0 的实数根个数为
2

A、6

B、7

C、8

D、9

10.若函数 f ? x ? ? 2sin ?x ?? ? 0? 的图象在 ? 0,3? ? 上恰有一个极大值和一个极小值,则 ? 的取值范围是
?2 ? A、 ? ,1? ?3 ?

? 1 5? B、 ? , ? ? 2 6?

? 2 4? C、 ? , ? ? 3 3?

? 3 5? D、 ? , ? ? 4 4?

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置 上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 11.执行如图的程序框图,若输入 x ? 12 ,则输出 y ? ▲ . 12.在等比数列 ?an ? 中,对于任意 n ? N 都有 an?1a2n ? 3n ,
*

则 a1a2 ??? a6 ?





?x ? y ?1 ? 0 ? 13.点 P(x,y)在线性约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的区域内运动, ? x?2 ?
则|OP|的最小值为 ▲ . 14.若向量 m,n 的夹角为 45° ,且|m|=l,|2m –n|= 10 , 则| n|= ▲ .
数学(文史类)试题 第 2 页 (共 9 页)

15. 已知 a、 b 为实数, 则“a>b>1”是“ “必要不充分”及“充要”等) . 16.设 F 1 、 F2 是双曲线

1 1 < ”的 a-1 b-1



条件 (填“充分不必要”、

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P , a 2 b2

使 (OP ? OF2 ) ? PF2 ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 3 | PF 1 |? 4 | PF 2 | ,则双曲线的离心率为 ▲ . 17 .已知函数 f ( x) ? m ln x ? nx(m, n ? R) ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 (1) m ? n ? x ? 2y ? 2 ? 0 . 数 k 的取值范围是 ▲ . ▲ ; (2)若 x ? 1 时, f ? x ? ?

?

?

k ? 0 恒成立,则实 x

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答 案填在答题卡上对应题号指定框内。 18. (本题满分 12 分) 设 ? ? R, f ? x ? ? a ? b ,其中 a ? ? cos x , sinx? , b? ? ? sin x?

? ?

? ? cos x , cos( ? x? ,已知 ) 2 ?

? ?? f ? x ? 满足 f ? ? ? ? f ? 0 ? ? 3? (1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; ? (2)求不等式 2 cos( 2 x ? ) ? 3 的解集。 6

19. (本题满分 12 分)

已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 、 a7 ? 3 、 a8 成等比数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和

(1)求 ?an ? 的前项和 Sn ;

Tn ? an ?1 (其中 a 为正常数)

(2)已知 a2 ? N * , I n ? a1b1 ? a2b2 ???? ? anbn ,求 I n

数学(文史类)试题

第 3 页 (共 9 页)

20. (本题满分 13 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA ? 底面 ABCD, 底面 ABCD 是梯形, 其中 AD//BC, BA ? AD, AC 与 BD 交于点 O,M 是 AB 边上的点,且 AM=2BM,已知 PA=AD=4,AB=3,BC=2. (1)求平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的正切; PN (2)已知 N 是 PM 上一点,且 ON//平面 PCD,求 的值. P PM

N M B 21. (本题满分 14 分)

A O C

D

f ? x? 在 I 上是减函数,则 x 2 称 y ? f ? x ? 是 I 上的“单反减函数” ,已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? 2 x ? ? a ln x(a ? R) x (1)判断 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是否是“单反减函数” ;
若函数 f ? x ? 是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且 F ? x ? ? (2)若 g ? x ? 是 ?1, ?? ? 上的“单反减函数” ,求实数 a 的取值范围.

22. (本题满分 14 分) 15 x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 , F1 , F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆 4 a b 上任意一点,且?PF1F2 的周长是 8 ? 2 15 (1)求椭圆 C 的方程; 4 2 (2)设圆 T: ? x ? t ? ? y 2 ? ,过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E、F 两点, 9 当圆心在 x 轴上移动且 t ? ?1,3? 时,求 EF 的斜率的取值范围. y M F O E x

数学(文史类)试题

第 4 页 (共 9 页)

天 门 市 2015 年 高 三 年 级 四 月 调 研 考 试

数学(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题:ABCBB ADABB 二、填空题: 11. 17.

10 ; 3
1 , 2

12.729 =36; 13.

2 2 ;

14. 3 2 ;

15.充分不必要;

16.5;

1 (??, ] 。 2
?? ? ? x? ?2 ?

三、解答题: 18.解: (1) f ? x ? ? cos x ? ? sin x ? cos x ? ? sin x cos ?

? ? sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x
?

?

2

sin 2 x ? cos 2 x

??????2 分 ?????3 分

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? ? 3?

?? ? 2 3

?? ? ? f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ? ? ? ? ? ? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k ? Z ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ? k ? Z ? 2 6 2 6 3 ? ?? ? ? f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ????7 分 6 3? ? ? ? 3 (2)∵ 4 cos( 2 x ? ) ? 2 3 ,∴ cos(2 x ? ) ? 6 6 2 ? ? ? ? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k ? Z ? 6 6 6 ? ? k? ? x ? k? ? ? k ? Z ? 6 ? ? ? 不等式的解集是 ? x | k? ? x ? k? ? ? k ? Z ? ? ?????12 分 6 ? ? 19.解: (1)设 ?an ? 的公差是 d,则
a2 a8 ? ? a7 ? 3?
? d ? 1或 d ?
2

? ?1 ? d ??1 ? 7 d ? ? ?1 ? 6d ? 3?
???????4 分

2

3 29

数学(文史类)试题

第 5 页 (共 9 页)

1 1 n ? n ? 1? ?1 ? n ? n ? 1? 2 2 3 1 3 3 55 ? n2 ? n 当d ? 时, S n ? n ? 1 ? n ? n ? 1? ? 29 2 29 58 58 (2) a2 ? N ? an ? n 当 n ? 1 时, b1 ? a ? 1
当 d=1 时, S n ? n ?1 ? 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? an?1 ? a ?1?

?????6 分

b1 ? a ?1 ? a1?1 ? a ?1?
当 a ? 1时

?bn ? an?1 ? a ?1?? n ? N *?
?????9 分

????8 分

当 a ? 1 时, bn ? 0 ? I n ? 0

In ? 1? ? a ?1? ? 2a ? a ?1? ? 3a2 ? a ?1? ????? nan?1 ? a ?1? a ? a ?1? ? 2a2 ? a ?1? ????? ? n ?1? an?1 ? a ?1? ? nan ? a ?1? ? an ?1? nan ? a ?1?

?aIn ?

??1? a ? In ? ? a ?1? ? a ? a ?1? ????? an?1 ? a ?1? ? nan ? a ?1?
an ?1 ? I n ? na ? a ?1
n

???????11 分

?0 ? a ? 1? ? ? In ? ? an ?1 n na ? ? a ?1 ?

? a ? ? 0,1? ? ?1, ?? ??

???????12 分

20.解法 1: (1)连接 CM 并延长交 DA 的延长线于 E,则 PE 是平面 PMC 与平面 PAD 所成二面角的棱,过 A 作 AF 垂直 PE 于 F,连接 MF ∵PA⊥平面 ABCD ∵AF⊥PE∴MF⊥PE, ∴∠MFA 是平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的平面角??3 分 ∵BC=2, AD=4, BC//AD, AM=2MB ∴AE=4,又 PA=4,AF= 2 2 ∴PA⊥MA,又 MA⊥AD,∴MA⊥平面 PAD

tan∠MFA=

MA 2 = FA 2

所以平面 PMC 与平面 PAD 所成 锐二面角的正切为

2 ????6 分 2

(2)连接 MO 并延长交 CD 于 G,连接 PG
数学(文史类)试题 第 6 页 (共 9 页)

∵ON//平面 PCD, ∴ON//PG 在 BAD 中 ∵ ∴

BO BC 1 BM 1 ? ? ,又 ? OD AD 2 MA 2
∴MO//AD ??????????????????9 分

BO BM ? OD MA

又在直角梯形 ABCD 中,MO=OG= ∵ON//PG ∴PN=MN , ∴

4 , 3

PN 1 ? ??????????????12 分 PM 2

解法 2 (1)以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 为 x.y,z 轴建立如图所示直角坐标系,则 A(0, 0,0) 、B(3,0,0) 、C(3,2,0) 、D(0,4,0) 、M(2,0,0) 、P(0,0,4) 、 O(2,4/3,0) 设平面 PMC 的法向量是 u=(x,y,z),则 ∵ MC=(1,2,0) ,MP=(-2,0,4)

?x ? 2 y ? 0 令 y=-1,则 x=2,z=1 ?? ??2 x ? 4 z ? 0
∴u = (2,-1,1) 又 AB⊥平面 PAD, ∴v=(1,0,0)是平面 PAD 的法向量

? cos ? ?|

u ?v |? u v

2 3

?t a n ??

2 2 2 ??????6 分 2

所以平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的正切为 (2)设平面 PCD 的法向量 v’= (x’,y’,z’) ∵ PC =(-3,2,-4),PD =(0,4,4) ∴?

?3x '? 2 y '? 4 z ' ? 0 ?4 y '? 4 z ' ? 0

令 y ' ? 3 ,则 x ' ? 2, z ' ? 3

∴ v ' ? ? 2,3,3? 设 PN = ? PM,则∵PM =(2,0,-4)∴PN =(2 ? ,0,-4 ? ) ON = AN-AO = AP + PN -AO =(2 ? -2,-4/3,4-4 ? ) ∵ON⊥V‘ ∴4 ? -4-4+12-12 ? =0 ∴? ?

1 PN 1 ? ,∴ 2 PM 2

………………12 分

数学(文史类)试题

第 7 页 (共 9 页)

21.解: (1)由于 f(x)=lnx,在(0,1]上是增函数,且 F(x)= ∵ F′ (x)=

=



,∴ 当 x∈(0,1]时,F′ (x)>0,F(x)为增函数,

∴ f(x)在(0,1]上不是“单反减函数”;?????????????6 分 (2)∵ g(x)=2x+ +alnx, ∴ g′ (x)=2﹣ + = ,????????????????8 分

∵ g(x)是[1,+∞)上的“单反减函数”, ∴ g′ (x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴ g′ (1)≥0,∴ a≥0,?????????????????????9 分 又 G(x)= =2+ + 在[1,+∞)上是减函数, + ≤0 在[1,+∞)恒成立,

∴ G′ (x)≤0 在[1,+∞)恒成立,即﹣

即 ax﹣axlnx﹣4≤0 在[1,+∞)恒成立,??????????????????11 分 令 p(x)=ax﹣axlnx﹣4 则 p′ (x)=﹣alnx, ∴ 解得 0≤a≤4,

综上所述 0≤a≤4.????????????????14 分 22.解: (1)由 e ?

15 ,可知 a=4b, c ? 15b 4 因为 PF1 F2 的周长是 8 ? 2 15 ,
所以 2a ? 2c ? 8 ? 2 15 , 所以 a=4,b=1, 所求椭圆方程为

(2)椭圆的上顶点为 M(0,1),设过点 M 与圆 T 相切的直线方程为 y ? kx ? 1 , 由直线 y ? kx ? 1 与 T 相切可知
2 2 即 9t ? 4 k ? 18tk ? 5 ? 0

x2 ? y2 ? 1 16

??????????4 分

kt ? 1

?

?

2 ? , k 2 ?1 3

? k1 ? k2 ? ?

18t 5 , k1k2 ? 2 ,????6 分 2 9t ? 4 9t ? 4 ? y ? k1 x ? 1 ? 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 16k1 ? x ? 32k1 x ? 0 2 ? ? y ?1 ?16

数学(文史类)试题

第 8 页 (共 9 页)

? xE ? ?

yE ? yF ? k1 xE ? 1? ? ? k2 xF ? 1? k1 xE ? k2 xF ? ? xE ? xF xE ? xF xE ? xF k ?k 6t ?????11 分 ? 1 2 ? 1 ? 16k1k2 28 ? 3t 2 6t ? 6 ? 当 1<t<3 时, f ? t ? ? 为增函数,故 EF 的斜率的范围为 ? ,18 ? 2 28 ? 3t ? 25 ? kEF ?
?????14 分

32k1 1 ? 16k12

同理

xF ? ?

32k2 1 ? 16k2 2

???8 分

数学(文史类)试题

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