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2014学年上戏附中第一学期期中考试高一数学试题


2014 学年上戏附中第一学期期中考试高一数学试题
一、填空题: (每题 4 分,共 40 分) 1.设 A ? ? x x ? ?2? , B ? ? x x ? 3? ,则集合 A B =
2、若 f(x)=x ,g(x)= 。

,则 f ( x) ? g ( x) ? ____________。 .

3、 命题

“若 a ? b ? 0 , 则实数 a ? 0 或 b ? 0 ” 的否命题是

? x 2 ? 1, x ? 0 4、 已知函数 f(x)= ? , 则 f(f(-2))=______。 ?? 2 x , x ? 0
5、函数 y ? x ? 6、函数 y ?

5 ( x ? 1) 的最小值为______________。 x ?1

x ?1 的定义域是________________。 x?2


7 、 若 二 次 函 数 y ? x 2 ? bx ? c 的 两 个 零 点 分 别 是 ? 1 , 2 , 则 不 等 式 f ( x ) ? 0的 解 集 是
2

8、 y ? x ? 4 x ? 1 x ? ? 0 , 3? 的最大值是 M ,最小值是 m ,则 M ? m 的值是
2

?

?



9、已知奇函数 y ? f ( x) 在区间 ?0, ??? 上的解析式为 f ( x) ? x ? 2x ,则 y ? f ( x) 在区间

? ??,0? 上的解析式 f ? x ? =



2 10、研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (1, 2) ,解关于 x 的不等式

cx 2 ? bx ? a ? 0 ”,有如下解法:
2 解:由 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) ? 0 ,令 y ?

1 x

1 x

1 1 ,则 y ? ( , 1) , 2 x

1 2 k x?b ? ? 0 的解集为 (?2, ? 1) ? (2, 3) ,则 参考上述解法,已知关于 x 的不等式 x?a x?c kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 关于 x 的不等式 . ax ? 1 cx ? 1
所以不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 ( , 1) . 二、选择题 ( 本大题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分 ) 11、下列四组函数中,函数 f ( x)与g ( x) 表示同一个函数的是(


2 x2 x

(A) f ( x) ? x ,g ( x) ? ( x ) 2 (C) f ( x) ? x,g ( x) ? 3 x3

(B) f ( x) ? 2 x,g ( x) ?

(D) f ( x) ? x,g ( x) ? x 2

12、 已知条件

p : x ?1

,条 件

q:

A.充分非必要条件; C.充要条件;
[来源:学科网 ZXXK]

,则 是 成立的 1 ?1 p q x





B.必要非充分条件; D.既非充分也非必要条件.

[来源:Z§xx§k.Com]

13、下列四个命题中,为真命题的是 A. 若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 C. 若 a ? b ,则 a 2 ? b 2

( B. 若 a ? b , c ? d 则 a ? c ? b ? d D. 若 a ? b ,则



1 1 ? a b


14、 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时 f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f (?) ? ( A. ?? B.

??

C.1

D.3

三、解答题: (8 分+8 分+10 分+10 分+12 分=48 分)
15.(本题满分 8 分)
2 已知集合 A ? ?1,4, x? ,集合 B ? 1, x ,且 B ? A ,求实数 x 的值及集合 A , B .

?

?

16. (本小题满分 8 分)若不等式 x ? 2 ? 2 ? 0 的解集为 A ,函数 g ( x) ? 义域为 B, U ? R, 求 A , B, 及 A

x 2 ? x ? 2 的定

CU B 。

17.(本题满分 10 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分) 设函数 f ( x) ? ax ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0) ,若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1,3) 。
2

(1)求 a , b 的值; (2)若函数 f ( x) 在 x ? [m,1] 上的最小值为 1,求实数 m 的值。

18. (本小题满分 10 分) 如图设计一幅矩形宣传画,要求画面 (阴影部分) 面积为 4840 cm2,画面上下边要留 .. ...... 8cm 空白,左右要留 5cm 空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张 面 .. 积最小?

8 5

19.( 满分 12 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3) 小题 4 分) 已知函数 f ( x) ?

x?a (a ? 0) ax

(1)判断并证明 y ? f ( x) 在 x ? (0,??) 上的单调性; (2)若存在 x0 ,使 f ? x0 ? ? x0 ,则称 x0 为函数 f ? x ? 的不动点,现已知该函数有且仅有 一个不动点,求 a 的值,并求出不动点 x0 ; (3)若 f ( x) ? 2 x 在 x ? (0,??) 上恒成立 , 求 a 的取值范围.

附加题: (4 分+16 分) 1、不等式 | x |? a( x ? 1) 对任意的实数 2、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ?

x 都成立,则实数 a 的取值范围是______。

a ( x ? [0 , ? ?) ,求函数 f ( x) 的最小值. x ?1

答案:
一、填空题: (每题 4 分,共 40 分) 1. {x | 0 ? x ? 1}
2、2x,x>0 3、 若 a ? b ? 0 ,则实数 a ? 0 且 b ? 0 4、-10 5、 2 5+1 6.. ? ??, ?2? [1, ??) 7、 (?1 , 2) 8、4 9 . f ( x) ? ? x ? 2 x
2

10、 (? , ? ) ? ( ,1)

1 2

1 3

1 2

二、选择题 ( 本大题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分 ) C A C A

三、解答题: (8 分+8 分+10 分+10 分+12 分=48 分)
15.解:
2

B ? A,? x2 ? 4 或 x 2 ? x ………………………2 分

由 x ? 4 ,解得 x ? 2 或 x ? ?2 由 x ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 1 (舍 x ? 1 )………………………….4 分
2

故 当 x ? 2 时, A ? ?1,4,2? , B ? ?1,4? ; 当 x ? ?2 时, A ? ?1,4, ?2? , B ? ?1,4? ; 当 x ? 0 时, A ? ?1,4,0? , B ? ?1,0? …………………………..8 分

16.解: x ? 2 ? 2 ? 0 ? A ? x x ? 0orx ? 4

?

?

--------2 分 --------2 分 --------2 分 --------2 分

( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? B ? ? x x ? ?2orx ? 1?

U ? R,? CU B ? ? x ?2 ? x ? 1? ? A ? (CU B ) ? ? x x ? 1或x ? 4?

b?2 ? ?? 1 ? 3 ? ? a 17、解: (1)由条件得 ? ,????????????????2 分 3 ? ? 1? 3 ? a ?
解得: a ? ?1, b ? 4 。
2

[来源:Z&xx&k.Com]

??????????????????????4 分

(2) f ( x) ? ? x ? 2x ? 3 ,?????????????????? ???5 分 对称轴方程为 x ? 1 ,? f ( x) 在 x ? [m,1] 上单调 递增,?????????6 分
[来源:Zxxk.Com]

? x ? m 时 f ( x) min ? ?m 2 ? 2m ? 3 ? 1 ,

????????????8 分

解得 m ? 1 ? 3 。 ? m ? 1,? m ? 1 ? 3 。????????????10 分

18 解:设画面高为 x cm,宽为 y cm,依意有 xy ? 4840, x ? 0, y ? 0 则所需纸张面积 S ? ( x ? 16)( y ? 10) ? xy ? 16y ? 10x ? 160, 即 S ? 5000? 16y ? 10x ,

--------2 分

--------4 分

? x ? 0, y ? 0, xy ? 4 8 4 0
?16y ? 10x ? 2 160xy ? 2 160? 4840 ? 6760
当且仅当 16y ? 10x ,即 x ? 88, y ? 55 时等号成立。 -----------8 分 ----------9 分

即当画面高为 88cm,宽为 55cm 时,所需纸张面积最小为 6760cm2 - -------10 分

19.解: (1) f ( x) ?

1 1 ? a x

对任意的 x 1 , x 2? (0, ??)且x 1 ? x 2 ------------------------------------------- 1 分

x ?x 1 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 -------------------------------- 3 分 a x1 a x2 x1 x 2
∵ x1 ? x 2 ? 0 ∴ x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在 x ? (0,??) 上单调递增。-----------------4 分 (2)解:令 x ?

x?a ? ax 2 ? x ? a ? 0 ,-------------------------------------5 分 ax 1 (负值舍去)---------------------------------------6 分 2

令 ? ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?
2

将a?

1 1 2 1 2 2 代入 ax ? x ? a ? 0 得 x ? x ? ? 0 ? x ? 2 x ? 1 ? 0 ? x0 ? 1 ---------8 分 2 2 2 1 1 ? 2x ? a x
----------------------------------------9 分

(3)∵ f ( x) ? 2 x ∴

∵x?0

∴ 2x ?

1 2 ? 2 2 (等号成立当 x ? )---------- ----------10 分 x 2



1 1 ? (2 x ? ) a x

min

?2 2?a?

2 4

?

? 2 ? , ?? a 的取值范围是 ? ? ? 4 ? ------------------------------------------12 分 ? ?

附加题: 1、[-1,0]

2、解 设 x1、x2是[0, + ? )内任意两个实数,且x1
f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 + a a - x2 x1 + 1 x2 + 1 a( x2 - x1 ) ( x1 + 1)( x2 + 1)

x2 ,则

= ( x1 - x2 ) +

= ( x1 - x2 )(1(i)当 a < 1 时,

a ). ( x1 + 1)( x2 + 1)

????????4 分

1-

x x + x1 + x2 + 1- a a a = 1 2 > 0, ( x1 - x2 )(1) < 0, ( x1 + 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 + 1) 7分 即f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0.
因此, f ( x)在[0, + (ii) 当 a ? 1 时,
f ( x) = x + a a = ( x + 1) + - 1 ? 2 a 1. x+ 1 x+ 1 a ,即x = x+ 1 a - 1( a - 1 ? [0, )) 时,等号成立.? 14 分

)上是单调增函数 ,故 ( f ( x))min = f (0) = a . ?9 分

当且仅当 x + 1 =

于是, ( f ( x))min = f ( a - 1) = 2 a - 1 .
ì ? a(a < 1) 所以, ( f ( x)) min = ? í ? ? ? 2 a - 1(a

?????15 分 ???16 分

1)




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