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高一数学上册 讲义 集合与函数的概念


集合与函数的概念 内容讲解:
集合与函数的概念
学习过程
一、课前准备 复习 1:集合部分. ① 概念:一组对象的全体形成一个集合 ② 特征:确定性、互异性、无序性 ③ 表示:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} ④ 关系:∈、 ? 、 ? 、 、= ⑤ 运算:A∩B、A∪B、 CU A ⑥ 性质:A ? A; ? ? A,…. ⑦ 方法:数轴

分析、Venn 图示. 复习 2:函数部分. ① 三要素:定义域、值域、对应法则; ② 单调性: f ( x) 定义域内某区间 D, x1 , x2 ? D ,
x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 的 D 上递增; x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 的 D 上递减.

③ 最大(小)值求法:配方法、图象法、单调法. ④ 奇偶性:对 f ( x) 定义域内任意 x,
f (? x) ? ? f ( x) ? 奇函数; f (? x) ? f ( x)

? 偶函数.

特点:定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称.

二、课程导学

集合及其表示
※ 典型例题
例 1、集合 M ? ? 1,2,3,4,5?的子集个数是 A.32 B.31 C.16 D.15 ( )

例 2、已知集合 M={(x,y)|4x+y=6},P={(x,y)|3x+2y=7},则 M∩P 等于 A.(1,2) B.{1}∪{2} C.{1,2} D.{(1,2)}





例 3、设集合 A ? {x | x2 ? ax ? a2 ? 19 ? 0} , B ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} , C ? {x | x2 ? 2 x ? 8 ? 0} . (1)若 A
B=A B ,求 a 的值;

(2)若 ?

A

B ,且 A

C = ? ,求 a 的值;

(3)若 A

B=A

C ? ? ,求 a 的值.

例 4、集合 A ? {x | ?1 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? m ? x ? 3m ? 1} ,若 A B ? B ,求实数 m 的取值范 围.

※ 动手试试
1.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则C I A ∪C I B = ( A.{0} B.{0,1} C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4} ) )

2.集合A={a2,a+1,-1},B={2a-1,| a-2 |, 3a2+4},A∩B={-1},则a的值是( A.-1 B.0 或 1 C.2 D.0 (

3.设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z 且|x|≤5 },则 A∪B 中元素的个数为



A.11

B.10

C.16

D.15 .

4.设 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,则 m 的取值范围是

5.已知集合 A={x|-1<x<3 } ,A∩B= ? ,A∪B=R,求集合 B.

6.已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x<a};若 A B,求实数 a 的取值集合.

7.已知集合 A={-3,4},B={x|x2-2px+q=0},B≠φ,且 B ? A,求实数 p,q 的值.

函数概念及其基本性质
※ 典型例题
例 1、 已知 a,b 为常数, 若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10 x ? 24 , 则 5a ? b ? .

例 2、已知函数 f ( x) 是偶函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? (1)求 f (5) 的值;

1? x . 1? x

(2)求 f ( x) ? 0 时 x 的值;

(3)当 x >0 时,求 f ( x) 的解析式.

1 ? x2 . 1 ? x2 (1)求它的定义域;
例 3 、设函数 f ( x) ?

(2)判断它的奇偶性;

1 (3)求证: f ( ) ? ? f ( x) ; x

(4)求证: f ( x) 在 [1, ??) 上递增.

例 4、已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值 范围.

※ 动手试试 1. 判断下列函数的奇偶性: 2 x2 ? 2 x (1) f ( x) ? ; x ?1

(2) f ( x) ? x3 ? 2x ;

(3) f ( x) ? a ( x ? R) ;

? x(1 ? x) x ? 0, (4) f ( x) ? ? ? x(1 ? x) x ? 0.

2. 函数 y ? x2 ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 ( A. b ? ?2 B. b ? ?2 C . b ? ?2 D. b ? ?2 ).

).

3. 下列函数中,在区间 (0, 2) 上为增函数的是( A. y ? ? x ? 1 C. y ? x 2 ? 4 x ? 5 4. 已知函数 y= A. a ? 0 B. y ? x D. y ?

2 x
). D. a ? 0 . ,最小值为 .

ax2 ? b 为奇函数,则( x?c
B. b ? 0 C. c ? 0

5. 函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域为 6. f ( x) ? x2 ? 4x 在 [0,3] 上的最大值为

7. 已知 f ( x) 是定义在 ( ?1,1) 上的减函数,且 f (2 ? a) ? f (a ? 3) ? 0 . 求实数 a 的取值范围.

8. 已知函数 f ( x) ? 1 ? x2 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性,并证明;

(2)讨论 f ( x) 的单调性,并证明.

9. 将长度为 20 cm 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面

积之和最小,正方形的周长应为多少?

10.某产品单价是 120 元, 可销售 80 万件. 市场调查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万 件,写出销售金额 y(万元)与 x 的函数关系式,并求当降价多少元时,销售金额最大?最大 是多少?

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 A ? ?x | x2 ? 0? ,则下列结论中正确的是( ).
A. A ? 0 B. 0 A C. A ? ? ). C.不具有奇偶函数 ). C. y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 D. y ? 1 ? x 2 D.与 p 有关 D. ? A 2. 函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是( A.偶函数

B.奇函数

3. 在区间 (??,0) 上为增函数的是( A. y ? 1 B. y ?

x ?2 1? x

4. 某班有学生 55 人,其中音乐爱好者 34 人,体育爱好者 43 人,还有 4 人既不爱好体育也 不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.

5. 函数 f ( x) 在 R 上为奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则当 x ? 0 , f ( x) ?


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