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2007-全国卷1数学文


2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项: 1. 答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核

准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2. 每小题选出答案后 ,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

S ? 4? R2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次实验中发生的概率是 P,那么

V= ? R 3
其中 R 表示球的半径

4 3

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k pn ( k ) ? Cn p (1 ? p )n?k (k=0,1,2,??,n)

一、选择题 (1)设 S ? {x | 2 x ?1 ? 0} , T ? {x | 3x ? 5 ? 0} ,则 S ? T = A. ? C。 {x | x ? } (2) a 是第四象限角, cos a ? B。 { x | x ? }

1 2

5 3

D。 { x | ?

1 5 ?x? } 2 3

12 ,则 sin a ? 13

(A)

5 13

(B) ?

5 13

(C)

5 12

(D) ?

5 12

(3)已知向量 a=(-5,6) ,b=(6,5),则 a 与 b (A)垂直 (C)平行且同向 (B)不垂直也不平行 (D)平行且反向

(4)已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0) , (4,0) ,则双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 4 12
(C)

x2 y 2 ? ?1 (B) 12 4
(D)

x2 y 2 ? ?1 10 6

x2 y 2 ? ?1 6 10

(5)甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则 不同的选修方案共有 (A)36 种 (B)48 种 (C)96 种 (D)192 种

(6)下面给出的四个点中,位于 ? (A) (0,2)

? x ? y ?1 ? 0 ,表示的平面区域内的点是 ?x ? y ?1 ? 0
(C) (0,-2) (D) (2,0)

(B) (-2,0)

(7)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为

1 5 2 (B) 5 3 (C) 5 4 (D) 5
(A) (8)设 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? loga x 在区间 ? a, 2a? 上的最大值与最小值之差为 (A) 2 (B)2 (C) 2 2 (D)4

1 ,则 a ? 2

(9) f ? x ? , g ? x ? 是定义在 R 上的函数, h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,则“ f ? x ? , g ? x ? 均为 偶函数”是“ h ? x ? 为偶函数”的 (A)充要条件 (C)必要而不充分的条件 (B)充分而不必要的条件 (D)既不充分也不必要的条件

(10)函数 y ? 2cos2 x 的一个单调增区间是

? ? ? , ) (B) (0, ) 4 4 2 ? 3? ? (C) ( , ) (D) ( ,? ) 4 4 2 4 1 3 2 (11)曲线 y ? x ? x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角面积为 3 3 1 2 1 2 (A) (B) (C) (D) 9 9 3 3
(A) (? (12)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 的且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是 (A)4 (B) 3 3 (C) 4 3 (D)8

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前, 考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号 填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页, 请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 在试卷上作答无效。 3.本卷共 10 题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在横线上。 (13)从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取 20 袋,测得各袋的质量分别为(单位:g) : 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5 — 501.5g 之间的概率约为_____________________________. (14) 函数 y ? f ? x ? 的图像与函数 y ? log3 x( x ? 0) 的图像关于直线 y ? x 对称, 则 f ( x) = .

(15)正四棱锥 S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S、A、B、C、D 都在同一个 球面上,则该球的体积为______________.

(16)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 ______________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A 。 (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b 。 18.(本小题满分 12 分) 某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用 一次性付款的概率是 0.6.经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润 200 元; 若顾客采用分期付款,商场获得利润 250 元。 (Ⅰ)求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求 3 位顾客每人购买 1 件商品,商场获得利润不超过 650 元的概率. (19) (本小题满分 12 分) 四棱锥 S-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD, 已知 ? ABC=45o, AB=2,BC=2 2 ,SA=SB= 3 . (Ⅰ)求证:SA ? BC; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小.

(20) (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围.

(21)(本小题满分 12 分) 设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13. (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn ? bn ?

(22) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 + =1 的左、右焦点分别在 F1、F2,过 F1 的直线交椭圆与 B、D 两点, 3 2

过 F2 的直线交椭圆于 A、C 两点,且 AC ? BD,垂足为 P。 (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x0,y0) ,证明:
2 x0 y2 ? 0 ?1; 3 2

(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值。

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案
一、选择题 1.D 7.D 二、填空题 13.0.25 三、解答题 17.解: (1)由 a ? b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A , 所以 14. 3x ? x ? R ? 15. 2.B 8.D 3.A 9.B 4.A 10.D 5.C 11.A 6.C 12.C

4? 3

16.

1 3

sin B =

1 2

由△ABC 为锐角三角形得 B= (2)根据余弦定理,得

? 6

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
? 27 ? 25 ? 45 ? 7,
所以, b ? 18.解: (1)记 A 表示事件: “3 位顾客中至少 1 位采用一次性付款” , 则 A 表示事件“3 位顾客中无人采用一次性付款”.

7。

P A ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 ,

? ?

P ? A? ? 1 ? P A ? 1 ? 0.064 ? 0.936 .
(2)记 B 表示事件: “3 位复课每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元” , B0 表示事件: “购买该商品的 3 位顾客中无人采取分期付款” , B1 表示事件: “购买该商品的 3 位顾客中恰有 1 位采取分期付款”.

? ?



B =B0 + B1 ,

P ? B0 ? ? 0.63 ? 0.216 , P ? B ? ? P ? B0 ? B1 ? ? P ? B0 ? ? P ? B1 ?
? 0.216 ? 0.432 ? 0.648
19.解法一:

1 P ? B1 ? ? C3 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.432 ,

(1)作 SO ? BC ,垂足为 O,连结 AO,由侧面 SBC ? 底面 ABCD,得 SO ? 底面 ABCD. 因为 SA=SB,所以 AO=BO.
0 又 ?ABC ? 45 ,故为△AOB 等腰直角三角形, AO ? BO ,

由三垂线定理,得 SA ? BC . (2)由(1)知 SA ? BC ,依题设 AD‖BC,故 SA ? AD , 由 AD=BC= 2 2 ,SA= 3 ,AO= 2 ,得 SO=1,SD= 11 . △SAB 的面积 S 1 ?

1 AB 1

SA 2 ? ( AB )2 ?

1 2

2.

连结 DB,得△DAB 的面积 S 2 ?

1 AB AD sin 135o ? 2 . 2
1 3 1 SO S 2 , 3

设 D 到平面 SAB 的距离为 h,由 VD-SAB=VS-ABD ,得 h S1 ? 解得 h ?

2.

设 SD 与平面 SAB 所乘得夹角为 ? ,则 sin ? ?

h 2 22 . ? ? SD 11 11
22 . 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成得角为 arcsin 解法二:

(1) 作 SO⊥ BC,垂足为 O,连接 AO,由侧面 SBC⊥ 底面 ABCD,得 SO⊥ 平面 ABCD. ∵ SA=SB , ∴ AO=BO.

又∠ ABC=45° ,△ AOB 为等腰直角三角形,AO⊥ OB. 如图,以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O-xyz.

? ? ? ? ? SA ? ? 2, 0, ?1? , CB ? ? 0, 2 2, 0 ? , SA CB ? 0 ,
A
∴SA⊥ BC. (2)取 AB 中点 E, E ?

?

2, 0, 0 , B 0, 2, 0 , C 0, ? 2, 0 , S ? 0,0,1? ,

? 2 2 ? ? 2 , 2 ,0? ?. ? ?

连接 SE,取 SE 中点 G,连接 OG,

? 2 2 1? ? 2 2 1? ? 2 2 ? G? , , , , , , ? 1 , OG ? , SE ? ? ? ? ? 4 4 2? ? 4 4 2? ? 2 2 ? , AB ? 2, 2, 0 ? ? ? ? ? ?

?

?

SE OG ? 0 , AB OG ? 0 ,OG 与平面 SAB 所成的角记为 ? ,则 ? 与 ? 互余.
D

?

2, ?2 2, 0 , DS ? 2, 2 2,1 ,

?

?

?

cos ? ?

OG DS OG DS

?

22 22 , sin ? ? , 11 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin 20 解: (1) f '( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b
2

22 . 11

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有

f '(1) ? 0


, f '(2) ? 0

.

6? 6 a? 3 b? 0 , 24 ? 12a ? 3b ? 0 .

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由(1)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,
3 2

f '( x) ? 6x2 ?18x ?12 ? 6 ? x ?1?? x ? 2? .
当 x ? ? 0,1? 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? 0 ;

当 x ? ? 2,3? 时, f '( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0,3? 时, f ( x ) 的最大值 f (3) ? 9 ? 8c . ∵ 对于任意的 x ??0,3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, ∴ 解得

9 ? 8c ? c 2 ,
c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 ? ??. ?1? ? ?9, ??? . 21 解: (1)设 ?an ? 的公差为 d, ?bn ? 的公比为 q, 则依题意有 q>0 且

1 ? 2d ? q4 ? 21 1 ? 4d ? q2 ? 13 .
解得 d ? 2 , q ? 2 . ∴

an ? 1 ? (n ?1 ) d ? 2 n ?1 bn ? qn?1 ? 2n?1 .

(2)

an 2n ? 1 ? n?1 . bn 2
Sn ? 1 ? 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ??? ? n ? 2 ? n ?1 , 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2 n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ??? ? n ?3 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ??? ? n ?2 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 2
① ②

②-①得

22.证明: ;

(1)椭圆的半焦距 c ? 3 ? 2 ? 1 .
2 2 由 AC⊥ BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径的圆上,故 x0 ? y0 ? 1,
2 x0 y 2 x2 y 2 1 ? 0 ? 0 ? 0 ? ?1 3 2 2 2 2

所以,

(2) (ⅰ )当 BD 的斜率 k 存在且 k≠0 时,BD 的方程为 y=k(x+1) ,代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 ,并化简得 3 2

(3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 .

设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x x ? , 1 2 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2
2

BD ? 1 ? k

x1 ? x2 ? (1 ? k2 ) ?? x1 ? x2 ? ? ? 4 x1 x2 ? ? ?
2

4 3 ? k 2 ? 1? 3k 2 ? 2

因为 AC 与 BD 相交于点 P,且 AC 的斜率为 ? 四边形 ABCD 的面积

1 ; k

S?

1 24(k 2 ? 1)2 24(k 2 ? 1)2 96 , BD AC ? ? ? 2 2 ?3k 2 ? 2?? 2k 2 ? 3? ? ?3k 2 ? 2?? 2k 2 ? 3? ? 25 ? ? 2 ? ? ? ?

当 k2=1 时,上式取等号. (ⅱ) 当 BD 的斜率 k=0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S=4. 综上。四边形 ABCD 的面积的最小值为

96 . 25


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