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安徽省蚌埠市怀远县2013届高三联考数学(理)试题


数学试卷(理科)
一、选择题。(本题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分)
1.已知复数 A.

1+i 的虚部是( 4 ? 3i

)

1 1 1 1 B. C. ? D. ? i i 25 25 25 25 2 x 2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | y= 2x ? x

,集合 B ? y | y ? 2 , x ? R , 则 B ? CU A ? ( ) A. ?x | x ? 2? B. ?x | 0 ? x ? 1? C ?x | 1 ? x ? 2? D. ?x | x ? 0?

?

?

?

?

?log x x ? 0 11 3.已知 f ( x) ? ? 2 ,则 f (? ) ? ( 4 ? f ( x ? 1) x ? 0
A.2 B.

)
C.-2 D.-

1 2

1 2

3 4.设向量 a, b 满足: | a |? 2, a ? b ? , | a ? b |? 2 2 , 则 | b |? ( 2 1 3 A. B.1 C. 2 2
5.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

)
D.2

3 , 则 cos 2? ? ( 3
C.

)

A.

- 5 3

B. -

5 9

5 9

D.

5 3

6.下列命题中错误的是( ) 2 A.命题:“若 x ? 5x ? 6 ? 0, 则x ? 2”的逆否命题是“若 ? 2, 则 x 2 x ? 5x ? 6 ? 0 ” B.已知命题 P 和 q,若 PVq 为假命题,则命题 P 与 q 中必一真一假。 C.对于命题 P: ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0,则?P: ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0 。 1 D.“ x ? 1”是“ ? 1 ”的充分不必要条件。 x 7 . 设 奇 函 数 f ( x)在(0,?? ) 上 为 单 调 递 减 , 且 f (2) ? 0, 则 不 等 式

3 f ( ? x) ? 2 f ( x) ? 0 的解集为( ) 5x A. (- ? ,?2 ] ? (0,2] C.(- ? ,?2 ] ? [2,+ ? )

B.(-2,0] ? [2,+ ? ] D. [-2,0) ? (0,2]

第 1 页 共 8 页

8.下列函数图象是一个函数与其导函数在同一个坐标系中的图象,其中一定错误 的是( )

9 . 定 义 在 (?? ,0) ? (0,?? ) 上 的 函 数 f (x), 如 果 对 任 意 给 定 的 等 比 数 列 ?an ??f (an )? 仍是等比数列,称 f (x) 为“保等比数列函数 ”,现有定义在 , (?? ,0) ? (0,?? ) 上的如下函数: ① f ( x) ? x 2 ② f ( x) ? 2 x ③ f ( x) ? | x | ④ f ( x) ? ln | x | ,则其中是“保等比数列 函数”的 f (x) 的序号为( ) A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④

10.等差数列 ?an ? 的公差 d ? (0,1) ,且

sin2 a 2 ? sin2 a6 sin( 2 ? a6 ) a

? ?1 ,当 n ? 10 时,
)

数列 ?an ?的前 n 项和 S n 取得最小值,则首项 a1 的取值范围为(

5 9 A. (? ? ,? ? ) 8 16 5 9 C. [- ? ,? ? ] 4 8

5 9 B. ? ? ,? ? ] [ 8 16 5 9 D. (? ? ,? ? ) 4 8

二、填空题(每小题 5 分,共计 25 分)
11、计算定积分 ? ( x 2 ? sin x)dx ?
?1 1

12、在△ABC 中,M 是边 BC 上的点,N 为 AM 中点, AN ? ? AB ? u AC , 则

? ?u ?
1 13、设等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ? ( ) n ? a ? 2012,则 a = 3
14、 知 函 数 f ( x) ? 2 sin( wx ? ? )(w ? 0), 若 f ( ) ? 0, f ( ) ? 2 则 实 数 w 的 已 3 2 最小值为

?

?

15、某同学在研究函数 f ( x) ? x 2 e x 的性质时,得到如下的结论:
第 2 页 共 8 页

① f (x) 的单调递减区间是 (?2,0) ; ② f (x) 无最小值,无最大值 ③ f (x) 的图象与它在(0,0)处切线有两个交点 ④ f (x) 的图象与直线 x ? y ? 2012 ? 0 有两个交点 其中正确结论的序号是 三.解答题。 (本题共 6 小题,共 75 分) 16、(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(-1,-2) ,B(2,3) ,C(-2,-1) 。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 (2)设实数 t 满足 ( AB ? t OC ) ? OC ? 0 ,求 t 的值

17.(本小题满分 12 分) 已知三角形的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量
m ? (2a ? c ,b) , n ? (cos C, B), m// n 。 cos 若

(1)求角 B 的大小; (2)若△ABC 的面积为 3 , AC 边的最小值, 求 并指明此时三角形的形状。

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( x ? R,? ? 0 , ? ? ? ? 0 部分图象如图所示 (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

)的

) ? f ( x ? ) 的单调递增区间。 12 12

?

?

19. (本大题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n 满足: n ? t (Sn ? an ? 1) (t ? 0) , 且 4a3 是 a1 与 S
第 3 页 共 8 页

2a 2 的等差中项。
(1)求 t 的值及数列 ?an ?的通项公式; (2) 设 bn ?

2n ? 1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。 an

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax2+ (a ? 0),g( x) ? x3 ? bx. 1 (1)若曲线 y ? f (x) 与曲线 y ? g (x) 在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求

a , b 的值;
- (2)当 a 2 ? 4b 时, 求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间, 并求其在区间 (?? , 1] 上

的最大值。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?1n(1 ? x 2 ) (1)当 a ?

4 + 时,求函数 f (x) 在 (0 , ?) 上的极值; 5

(2)证明:当 x>0 时, 1n(1 ? x 2 ) ? x ; (3)证明:(1 ? 数)

1 1 1 )(1 ? 4 )?(1 ? 4 ) ? e(n ? N ?,n ? 2 ,其中 e 为自然对数的底 4 2 3 n

第 4 页 共 8 页

数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案
11、

1 A

2 A
12、

3 C

4 B
13、-2012

5 A

6 B
14、3

7 D

8 C
15、①④

9 C

10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

2 3

1 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16、(本题满分 12 分) 解析(1)由题设知 AB ? (3,5), AC ? (-1,1) ,则 AB ? AC ? (2,6), AB-AC ? (4,4). 所以

| AB ? AC |? 2 10 , | AB ? AC |? 4 2. 故 所 求 的 两 条 对 角 线 的 长 分 别 为

4 2, 10 .…………………6 分 2
(2)由题设知

OC ? (?2, 1).AB ? t OC ? (3 ? 2t ,5 ? t ). ( AB ? t OC ) ? OC ? 0得(3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2,?1) ? 0, ? 由
从而 5t ? ?11,所以 t ? ? 17、(本小题满分 12 分) 解:(1) m ? (2a ? c, b), n ? (cos C, cos B)

11 .????????12 分 5

? m // n,? (2a ? c) cos B ? b cos C
由正弦定理得: (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C 整理得: 2 sin AcosB ? sinC cosB ? sinB cosC 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A

? sin A ? 0,

?c o B ? s

(2)由已知得: S ?ABC ?

1 ? acsinB ? 3, B ? ,? ac ? 4 2 3

1 2

?0 ? B ? ?

?B ?

?
3

??6 分

2 2 2 2 由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? 4

当且仅当“ a ? c ”时,上式取等号。 ? AC 的最小值为 2,此时三角形为等边三角形。????12 分 18、(本题满分 12 分)
第 5 页 共 8 页

11 ? 5? 2? ? ) ? ? ,所以 ? ? ? 2 ,因为点 12 12 T 5? 5? 5? ( ,0) 在函数图象上,所以 A sin( ? 2 ? ? ) ? 0 ,即 sin( ? ? ) ? 0. 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? 又因为 0 ? ? ? , 所以 ,从而 ? ?? ? ? ? ? ? ,即 ? ? . 2 6 6 3 6 6
解析(Ⅰ)由题设图象知,周期 T ? 2( 又点(0,1)在函数图象上,所以 A sin

?

6

? 1,得 A=2.

故函数 f (x ) 的解析式为 f ( x) ? 2 sin( x) ? 2 (Ⅱg ( x) ? 2 sin[ ( x ? ) 2

?
6

. ??6 分

) ? ] ? 2 sin[ ( x ? ) ? ] 2 12 6 12 6

?

?

?

?

= 2 sin2 x ? 2 sin( x ? 2

?

1 3 cos 2 x) ) = 2 sin 2 x ? 2( sin 2 x ? 2 2 3

= sin2x ? 3 cos2x = 2 sin( x ? 2 由 2k? ?

?
3

).

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

所以函数 g (x) 的单调递增区间是 [k? ? 19、(本题满分 12 分)

?
12

, k? ?

5? ], k ? Z . ???12 分 12

5? , k ? Z. 12

解(Ⅰ n ? 1 时, S1 ? t (S1 ? a1 ? 1) ,所以 a1 ? t , )当 当 n ? 2 时, Sn ? t (Sn ? an ? 1) ①

Sn ?1 ? t (Sn ?1 ? an?1 ? 1) , ②
① ,得 an ? t ? an?1 ,即 -②

an ? t. an?1

n ?1 ? t n ………………4 分 故 ?an ?是首项 a1 ? t ,公比等于 t 的等比数列,所以 a n ? t ? t

2 3 3 2 故 a 2 ? t , a3 ? t 由 4a3 是 a1 与 2a 2 的等差中项,可得 8a3 ? a1 ? 2a2 即 8t ? t ? 2t
2 因 t ? 0 ,整理,得 8t ? 2t ? 1 ? 0 ,即 (2t ? 1)(4t ? 1) ? 0 ,

解得 t ?

1 1 1 1 n 1 n 或 t ? ? (舍去) ,所以 t ? ,故 a ? ( ) ? n . …………6 分 4 2 2 2 2
2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n , an
第 6 页 共 8 页

(Ⅱ )由(Ⅰ ),得 bn ?

2 3 n ?1 n 所以 Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 , ③

2Tn ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? 7 ? 2 4 ? ? (2n ? 1) ? 2 n ? (2n ? 1)2 n ?1 ,



2 3 n n ?1 ③ ,得 ? Tn ? 3 ? 2 ? 2(2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (2n ? 1) ? 2 -④ ……………………8 分
2 n = 6 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? ?2 ? 2 n? 2 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? ?2 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? 11 分 1? 2

n ?1 所以 Tn ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 .…………12 分

20、(本题满分 13 分) 解析(Ⅰ f ?( x) ? 2ax, g ?( x) ? 3x 2 ? b. ) 因为曲线 y ? f (x) 与曲线 y ? g (x) 在它们的交点 (1, c ) 处具有公共切线, 所 以

f (1) ? g (1), 且

f ?(1) ? g ?(1). 即 a ? 1 ? 1 ? b, 且 2a ? 3 ? b. 解 得

a ? 3, b ? 3. ????6 分
(Ⅱ h( x) ? f ( x) ? g ( x). 当 b ? )记
h( x) ? x 3 ? ax 2 ?

1 2 a 时, 4

1 ? 1, a a 4a 2 x 令 h ?( x ) ? 0, 得 x1 ? ? , x2 ? ? . 2 6 1 h ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? a 2 . 4

a ? 0 时, h (x ) 与 h ?(x ) 的情况如下:

x
h ?(x ) h (x )

a (??,? ) 2 +

?
0

a 2

a a ( ? ,? ) 2 6

?
0

a 6

a (? ,??) 6 +

所以函数 h (x ) 的音调递增区间为 (??,? ) 和 (? 当?

a 2

a a a ,??) ;单调递减区间为 (? ,? ). 6 2 6

a ? ?1, 即 0 ? a ? 2 时 , 函 数 h (x ) 在 区 间 (?? ,?1] 上 单 调 递 增 , h (x ) 在 区 间 2 1 (?? ,?1] 上的最大值为 h(?1) ? a ? a 2 . 4 a a 当 ? ? ?1,且 ? ? ?1,即 2 ? a ? 6 时, 2 6 a a 函数 h (x ) 在区间 (??,? ) 内单调递增,在区间 (? ,?1] 上单调递减, h (x ) 在区间 2 2
第 7 页 共 8 页

a (?? ,?1] 上的最大值为 h(? ) ? 1. 2 a a a a 当 ? ? ?1,即 a ? 6 时,函数 h (x ) 在区间 (??,? ) 内单调递增,在区间 (? ,? ) 内 6 2 2 6 a 单 调 递 减 , 在 区 间 (? ,?1] 上 单 调 递 增 , 又 因 6 a 1 1 h(? ) ? h(?1) ? 1 ? a ? a 2 ? (a ? 2) 2 ? 0. 所以 h (x ) 在区间 (?? ,?1] 上的最大值为 2 4 4 a h(? ) ? 1. ?????13 分 2
21、 (本题满分 14 分)

4 4 (1) ? a ? ? f ( x) ? x ? ln(1 ? x 2 ) 5 5 4 2x 4 x 2 ? 10 x ? 4 ? f ?( x) ? ? ? 5 1? x2 5(1 ? x 2 ) 1 由f ?( x) ? 0 得x1 ? , x 2 ? 2 2 1 1 ? f ( x)在(0 , ) ? , , 2 ) ? , , ?) ? ( (2 + 2 2 1 2 5 8 f ( x)极大值=f ( ) ? ? ln , f ( x)极小值=f (2) ? ? ln 5????????????5分 2 5 4 5 (2)令g ( x) ? x ? ln(1 ? x 2 ) 2x ( x ? 1) 2 g ?( x) ? 1 ? ? ?0 1? x2 1? x2 ? g ( x)在(0,+?) ?? g ( x) ? g (0) ? 0 ? ln(1 ? x 2 ) ? x ????????????????????????????9分 (3)由(2)得 ln( x 2 ? 1) ? x 1 1 1 取x ? 2 , 2 , ? 2 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? 4 ) ? ln(1 ? 4 ) ? ?ln(1 ? 4 ) ? 2 ? 2 ? ?+ 2 ? ? ?? ? 1? ? 1 n(n ? 1) n 2 3 n 2 3 n 1? 2 2 ? 3 1 1 1 1 (1 ? 4 )(1 ? 4 )(1 ? 4 ) ?(1 ? 4 ) ? e ??????????????????14分 2 3 4 n

第 8 页 共 8 页


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