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山东省潍坊市2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

时间:2017-03-03


2016-2017 学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x| A.{﹣1,0,1} <0},集合 B=N,则 A∩B=( B.{1} C.{0,1} D.{﹣1,0} ) C.? x∈R,x2+1≤0 D.? x )

r />
2.已知命题 q:? x∈R,x2+1>0,则?q 为( A.? x∈R,x2+1≤0 ∈R,x2+1>0 B.? x∈R,x2+1<0

3.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 4.函数 y= B.若 m⊥α,n? α,则 m⊥n D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α )



的图象大致是(

A.

B.

C.

D.

5.函数 y=x2 在 P(1,1)处的切线与双曲线 渐近线平行,则双曲线的离心率是( A.5 B. C. D. (π<α< D. ),则 )



=1(a>0,b>0)的一条

6.已知 cosα﹣sinα= A.﹣ B.

=(



C.﹣

7.已知函数 f(x)= 2)]=( ) C.9 D.16

存在最小值,则当实数 a 取最小值时,f[f(﹣

A.﹣2 B.4

8.设等比数列{an}的前 n 项为 Sn,若 a1=2,

=21,则数列{

}的前 5 项和

为( A. 或

) B. 或 C. 或 D. 或

9.近日,我辽宁舰航母与 3 艘编号不同的导弹驱逐舰艇、2 艘编号不同的护卫 舰艇开展跨海区训练和编队试验任务, 若在某次编队试验中, 要求辽宁舰航母前、 后、左、右位置均有舰艇,且同一类舰艇不在相同位置(两艘舰艇在同一位置视 为一种编队方式),则编队方式有( A.36 种 B.72 种 )

C.144 种 D.288 种 ,若存在两对关于 y 轴对称的点分别再直线 y=k )

10.已知函数 f(x)=

(x+1)(k≠0)和函数 y=f(x)的图象上,则实数 k 的取值范围是( A.(﹣∞,0) 1)∪(﹣1,0)

B.(0,+∞) C.(0,1)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某工厂生产甲乙丙三种不同型号的产品,三种产品产量之比为 1:3:5,现 用分层抽样的方法抽得容量为 n 的样本进行质量检测, 已知抽得乙种型号的产品 12 件,则 n= . ? 的最小值为 . 的

12.已知正方形 ABCD 边长为 2,E 为 AB 边上一点,则

13.已知函数 y=|x﹣1|+|x+7|的最小值为 n,则二项式(x+ )n 展开式中 系数为 (用数字作答).

14.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑 堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的表面积为 .

15.已知点 A 时抛物线 M:x2=2py(p>0)与圆 N:(x+2)2+y2=r2 在第二象限

的一个公共点,满足点 A 到抛物线 M 准线的距离为 r,若抛物线 M 上动点到其 准线的距离与到点 N 的距离之和最小值为 2r,则 p= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算 过程. 16.(12 分)设函数 f(x)=2 y=f(x)的图象的一条对称轴为 x= sin(2ωx+ . )﹣4cos2ωx+3(0<ω<2),且

(1)求 ω 的值并求 f(x)的最小值; a, b, c 分别为△ABC 的内角 A, B, C 的对边, S△ABC= (2) △ABC 中, 且 a=1, f(A)=2,求△ABC 的周长. 17.(12 分)某校高三共有男生 600 名,从所有高三男生中随机抽取 40 名测量 身高(单位:cm)作为样本,得到频率分布表与频率分布直方图(部分)如表: 分组 [150,160) [160,170) [170,180) [180,190) [190,200] (Ⅰ)求 n1、n2、f1、f2; (Ⅱ)试估计身高不低于 180cm 的该校高三男生人数,并说明理由; (Ⅲ)从抽取的身高不低于 185cm 的男生中任取 2 名参加选拔性测试,已知至 少有一个身高不低于 190cm 的学生的概率为 生人数. ,求抽取身高不低于 185cm 的男 频数 2 n1 14 n2 6 f2 f1 频率 ,

18. (12 分)如图所示,正三角形 ABC 的外接圆半径为 2,圆心为 O,PB=PC=2, D 为 AP 上一点,AD=2DP,点 D 在平面 ABC 内的射影为圆心 O. (Ⅰ)求证:DO∥平面 PBC; (Ⅱ)求平面 CBD 和平面 OBD 所成锐二面角的余弦值.

19.(12 分)已知数列{an}满足首项 a1=2,an=2an﹣1+2n(n≥2). (Ⅰ)证明:{ }为等差数列并求{an}的通项公式; ,记数列{ }的前 n 项和为 Tn,设角 B

(Ⅱ)数列{bn}满足 bn=log

是△ABC 的内角,若 sinBcosB>Tn,对于任意 n∈N+恒成立,求角 B 的取值范围. 20.(13 分)已知点 F1 为圆(x+1)2+y2=16 的圆心,N 为圆 F1 上一动点,点 M, P 分别是线段 F1N,F2N 上的点,且满足 (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)过点 F2 的直线 l(与 x 轴不重合)与轨迹 E 交于 A,C 两点,线段 AC 的中 点为 G,连接 OG 并延长交轨迹 E 于 B 点(O 为坐标原点),求四边形 OABC 的 面积 S 的最小值. ? =0, =2 .

21.(14 分)已知函数 f(x)=x2﹣x,g(x)=lnx. (Ⅰ)求函数 y=xg(x)的单调区间; 1], e]上的最小值 (Ⅱ) 若 t∈[ , 求 y=f[xg (x) +t]在 x∈[1, (结果用 t 表示) ; (Ⅲ)设 h(x)=f(x)﹣ x2﹣(2a+1)x+(2a+1)g(x),若 a∈[e,3],? x1, x2∈[1,2](x1≠x2),| |≤ 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2016-2017 学年山东省潍坊市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x| A.{﹣1,0,1} <0},集合 B=N,则 A∩B=( B.{1} C.{0,1} D.{﹣1,0} )

【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合 A,根据交集的定义写出 A∩B 即可. 【解答】解:集合 A={x| 集合 B=N, 则 A∩B={0,1}. 故选:C. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目. <0}={x|﹣1<x<2},

2.已知命题 q:? x∈R,x2+1>0,则?q 为( A.? x∈R,x2+1≤0 ∈R,x2+1>0 【考点】命题的否定;全称命题. B.? x∈R,x2+1<0

) C.? x∈R,x2+1≤0 D.? x

【分析】本题中的命题是一个全称命题,其否定是特称命题,依据全称命题的否 定书写形式写出命题的否定即可 【解答】解:∵命题 q:? x∈R,x2+1>0, ∴命题 q 的否定是“? x∈R,x2+1≤0” 故选 C. 【点评】 本题考查命题的否定, 解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规 则,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,书写时注意量词

的变化.

3.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m⊥α,n? α,则 m⊥n D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α



【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断; B.运用线面垂直的性质,即可判断; C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断; D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 【解答】解:A.若 m∥α,n∥α,则 m,n 相交或平行或异面,故 A 错; B.若 m⊥α,n? α,则 m⊥n,故 B 正确; C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n? α,故 C 错; D.若 m∥α,m⊥n,则 n∥α 或 n? α 或 n⊥α,故 D 错. 故选 B. 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的 判断与性质, 记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模 型.

4.函数 y=

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】根据函数值得正负和函数值得变化趋势即可判断. 【解答】解:当 x<0 时,y<0, 当 x>0 时,y>0 且当 x→+∞时,y→0, 故选:A 【点评】本题主要考查了函数图象的识别,关键是掌握函数值的特点,属于基础

题.

5.函数 y=x2 在 P(1,1)处的切线与双曲线 渐近线平行,则双曲线的离心率是( A.5 B. C. D. )



=1(a>0,b>0)的一条

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先根据导数求其切线的斜率,即 =2,再根据离心率公式计算即可. 【解答】解:由于 y=x2, 则 y′=2x, ∴k=y′|x=1=2, ∵函数 y=x2 在 P(1,1)处的切线与双曲线 近线平行, ∴ =2, ∴e= = 故选:B. 【点评】 本题考查了导数和几何意义以及双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心 率,考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题. = , ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐

6.已知 cosα﹣sinα= A.﹣ B.

(π<α< D.

),则

=(



C.﹣

【考点】三角函数的化简求值. 【 分 析】把已知的等 式两边平方求得 2sinαcosα= sinα+cosα,化简 【解答】解:∵cosα﹣sinα= 后代入得答案. ,平方可得 1﹣2sinαcosα= , ,结合 α 的 范围求得

∴2sinαcosα= 又 α∈ (π,

. ) , 故 sinα+cosα=﹣ =﹣ =﹣ ,



=

=

=



故选:A. 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系的应用,考查了学生的计算能力,是 中档题.

7.已知函数 f(x)= 2)]=( ) C.9 D.16

存在最小值,则当实数 a 取最小值时,f[f(﹣

A.﹣2 B.4

【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】函数 f(x)= 利用分段函数的性质即可得出. 【解答】解:∵函数 f(x)= 2. 则当实数 a 取最小值 2 时, x<1 时,f(x)=﹣x+2. ∴f(﹣2)=4. f[f(﹣2)]=f(4)=42=16. 故选:D. 【点评】本题考查了分段函数的性质及其应用、不等式的解法,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 存在最小值,∴﹣1+a≥12,解得 a≥ 存在最小值,可得﹣1+a≥12,解得 a≥2.再

8.设等比数列{an}的前 n 项为 Sn,若 a1=2, 为( A. 或 ) B. 或 C. 或 D. 或

=21,则数列{

}的前 5 项和

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】由等比数列前 n 项和公式得 q4+q2﹣20=0,从而 q=±2.由此能求出数 列{ }的前 5 项和. =21,

【解答】解:∵等比数列{an}的前 n 项为 Sn,a1=2,



=

=

=21,

整理,得 q4+q2﹣20=0, 解得 q=±2. 当 q=2 时, ,数列{ }的前 5 项和为

n﹣1 an=2× 当 q=﹣2 时, (﹣2) , 数列{

}的前 5 项和为

=



∴数列{ 故选:C.

}的前 5 项和为





【点评】本题考查等比数列的前 5 项和的求法,是中档题,解题时认真审题,注 意等比数列的性质的合理运用.

9.近日,我辽宁舰航母与 3 艘编号不同的导弹驱逐舰艇、2 艘编号不同的护卫 舰艇开展跨海区训练和编队试验任务, 若在某次编队试验中, 要求辽宁舰航母前、 后、左、右位置均有舰艇,且同一类舰艇不在相同位置(两艘舰艇在同一位置视 为一种编队方式),则编队方式有( A.36 种 B.72 种 )

C.144 种 D.288 种

【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】由题意,先安排导弹驱逐舰艇,有 =6 种方法,利用乘法原理可得结论. 【解答】解:由题意,先安排导弹驱逐舰艇,有 有 =6 种方法, =24 种方法,再安排护卫舰艇, =24 种方法,再安排护卫舰艇,有

∴编队方式有 24×6=144 种方法, 故选 C. 【点评】本题考查排列、组合知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

10.已知函数 f(x)=

,若存在两对关于 y 轴对称的点分别再直线 y=k )

(x+1)(k≠0)和函数 y=f(x)的图象上,则实数 k 的取值范围是( A.(﹣∞,0) 1)∪(﹣1,0) 【考点】函数的图象.

B.(0,+∞) C.(0,1)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣

【分析】设(x0,y0)在 y=k(x+1)上,则(x0,y0)关于 y 轴对称点为(﹣x0, y0),联立方程求出 k=﹣ ﹣1 问题得以解决. 【解答】解:设(x0,y0)在 y=k(x+1)上, 则(x0,y0)关于 y 轴对称点为(﹣x0,y0), ∴y0=k(x0+1), y0= , <0 或 x0=﹣1,再根据另一个根不为﹣1,则 k≠

∴k(x0+1)=

=

∴k=﹣

<0 或 x0=﹣1,

则 x0=﹣1 为其中一个根, 又另一个根不为﹣1,则 k≠﹣1, 故 k<0 且 k≠﹣1, 故选:D 【点评】本题考查了函数零点的问题以及函数的对称性,属于中档题.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某工厂生产甲乙丙三种不同型号的产品,三种产品产量之比为 1:3:5,现 用分层抽样的方法抽得容量为 n 的样本进行质量检测, 已知抽得乙种型号的产品 12 件,则 n= 36 .

【考点】分层抽样方法. 【分析】求出抽样比,然后求解 n 的值即可. 【解答】解:某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为 1:3:5, 分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本, 则乙被抽的抽样比为: = ,

样本中乙型产品有 12 件,所以 n=12÷ =36, 故答案为 36. 【点评】本题考查分层抽样的应用,基本知识的考查.

12.已知正方形 ABCD 边长为 2,E 为 AB 边上一点,则 【考点】平面向量数量积的运算.

?

的最小值为

3



【分析】以 B 点为原点,建立如图所示的坐标系,根据向量的坐标运算即可求出 答案. 【解答】解:以 B 点为原点,建立如图所示的坐标系, ∵正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 边上的点, 设 E(0,y),则 y∈[0,2]; 又 D(2,2),C(2,0),

∴ ∴

=(2,2﹣y), ?

=(2,﹣y),

=2×2+(2﹣y)×(﹣y)=y2﹣2y+4=(y﹣1)2+3, ? 取得最小值为 3.

当 y=1 时, 故答案为:3.

【点评】 本题考查向量数量积的计算问题, 解题时要注意数形结合法的合理运用.

13.已知函数 y=|x﹣1|+|x+7|的最小值为 n,则二项式(x+ )n 展开式中 系数为 56 (用数字作答).



【考点】二项式系数的性质. 【分析】 根据绝对值的几何意义求出 n 的值, 再利用二项式展开式的通项公式求 出展开式中 的系数.

【解答】解:由于 f(x)=|x﹣1|+|x+7|表示数轴上的 x 对应点到 1 和﹣7 对应点 的距离之和, 它的最小值为 8,故 n=8; 二项式(x+ )n 展开式的通项公式为 Tr+1= ?x8﹣r?x﹣r= ?x8﹣2r;

令 8﹣2r=﹣2,解得 r=5, 故二项式(x+ )n 展开式中 = =56. 项的系数为

故答案为:56. 【点评】 本题主要考查绝对值的意义以及利用二项展开式的通项公式求某项的系 数问题,是基础题目.

14.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑 堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的表面积为 16π .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积. 【分析】由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱,求出棱柱外接 球的半径,进而可得该“堑堵”的外接球的表面积. 【解答】解:由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱, 底面外接球的半径 r= 球心到底面的距离 d= = , =2, = ,

故该“堑堵”的外接球的半径 R=

故该“堑堵”的外接球的表面积:S=4πR2=16π, 故答案为:16π 【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积,棱锥的体积和表面积,球的 体积和表面积,简单几何体的三视图,难度基础.

15.已知点 A 时抛物线 M:x2=2py(p>0)与圆 N:(x+2)2+y2=r2 在第二象限 的一个公共点,满足点 A 到抛物线 M 准线的距离为 r,若抛物线 M 上动点到其 准线的距离与到点 N 的距离之和最小值为 2r,则 p= 【考点】抛物线的简单性质. .

【分析】求得圆的圆心和半径,运用抛物线的定义可得 A,N,F 三点共线时取 得最小值,且有 A 为 NF 的中点,设出 A,N,F 的坐标,代入抛物线的方程可得 p 【解答】解:圆圆 N:(x+2)2+y2=r2 圆心 N(﹣2,0),半径为 r, |AN|+|AF|=2r, 由抛物线 M 上一动点到其准线与到点 N 的距离之和的最小值为 2r, 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点 N 的距离之和的最小值为 2r, 可得 A,N,F 三点共线时取得最小值,且有 A 为 NF 的中点, 由 N(﹣2,0),F(0, ),可得 A(﹣1, ), 代入抛物线的方程可得,1=2p? , 解得 p= ,

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质,注意运用抛物线的定义和三点共 线和最小,考查运算能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算 过程. 16. (12 分) (2016 秋?潍坊期末)设函数 f(x)=2 (0<ω<2),且 y=f(x)的图象的一条对称轴为 x= (1)求 ω 的值并求 f(x)的最小值; a, b, c 分别为△ABC 的内角 A, B, C 的对边, S△ABC= (2) △ABC 中, 且 a=1, f(A)=2,求△ABC 的周长. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】(1)运用二倍角余弦公式和两角和的正弦公式,化简 f(x),再由正 弦函数的对称轴方程和最值,求得 ω 的值并求 f(x)的最小值; (2)由 f(A)=2,求得 A;再由三角形的余弦定理和面积公式,求得 b,c 的关 系,即可得到所求三角形的周长. 【解答】解:(1)函数 f(x)=2 sin(2ωx+ )﹣4cos2ωx+3(0<ω<2) , sin(2ωx+ . )﹣4cos2ωx+3

=2 =

( sin2ωx+

cos2ωx)﹣2(1+cos2ωx)+3 ), ,

sin2ωx+cos2ωx+1=1+2sin(2ωx+

由 y=f(x)的图象的一条对称轴为 x= 可得 2ω? + =kπ+ ,k∈Z,

即 ω=3k+1,k∈Z, 由 0<ω<2,可得 ω=1; 当 2x+ =2kπ﹣ ,k∈Z,即 x=kπ﹣ ,k∈Z,

f(x)=1+2sin(2x+

)取得最小值 1﹣2=﹣1; )=2,

(2)由 f(A)=1+2sin(2A+ 可得 sin(2A+ )= ,

由 A 为三角形的内角,可得 2A+ 即有 2A+ = ,解得 A= , ,即为 bc=1,① ,

∈(



),

由 a=1,S△ABC= 可得 bcsinA=

由 a2=b2+c2﹣2bccosA, 即为 b2+c2=2② 可得 b+c= = =2,

则△ABC 的周长为 a+b+c=3. 【点评】本题考查三角函数的恒等变换,正弦函数的图形和性质,考查解三角形 的余弦定理和面积公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

17.(12 分)(2016 秋?潍坊期末)某校高三共有男生 600 名,从所有高三男生 中随机抽取 40 名测量身高(单位:cm)作为样本,得到频率分布表与频率分布 直方图(部分)如表: 分组 频数 频率

[150,160) [160,170) [170,180) [180,190) [190,200] (Ⅰ)求 n1、n2、f1、f2;

2 n1 14 n2 6 f2 f1

(Ⅱ)试估计身高不低于 180cm 的该校高三男生人数,并说明理由; (Ⅲ)从抽取的身高不低于 185cm 的男生中任取 2 名参加选拔性测试,已知至 少有一个身高不低于 190cm 的学生的概率为 生人数. ,求抽取身高不低于 185cm 的男

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】(Ⅰ)由频率分布表得,身高在[180,190)之间的频率为 0.25,由此 能求出 n1、n2、f1、f2. (Ⅱ)身高在[190,200)的频率为 0.15,身高不低于 180cm 的频率为 0.4,由 此可估计该校高三男生身高不低于 180cm 的人数. (Ⅲ)设身高在[185,190)之间的男生有 n 人,从[185,200)中任取两人,共 有 种取法,满足条件的取法为 ,由此利用至少有一个身高不低于

190cm 的学生的概率为

,能求出抽取身高不低于 185cm 的男生人数.

【解答】解:(Ⅰ)由频率分布表得,身高在[180,190)之间的频率为 0.25, ∴f2=0.25, ∴n2=40×0.25=10(人), n1=40﹣2﹣14﹣10﹣6=8(人),

∴f1=

. ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,身高在[190,200)的频率为 身高不低于 180cm 的频率为 0.25+0.15=0.4, 故可估计该校高三男生身高不低于 180cm 的人数为: 600×0.4=240(人), 故身高不低于 180cm 的男生有 240 人. (Ⅲ)设身高在[185,190)之间的男生有 n 人, 从[185,200)中任取两人,共有 满足条件的取法为 , , 种取法,

∵至少有一个身高不低于 190cm 的学生的概率为 ∴ 解得 n=5, ∴抽取身高不低于 185cm 的男生人数为 11 人. = ,

【点评】 本题考查频率分布直方图、 茎叶图的应用, 考查概率的求法, 是基础题, 解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.

18. (12 分) (2016 秋?潍坊期末)如图所示,正三角形 ABC 的外接圆半径为 2, 圆心为 O,PB=PC=2,D 为 AP 上一点,AD=2DP,点 D 在平面 ABC 内的射影为圆 心 O. (Ⅰ)求证:DO∥平面 PBC; (Ⅱ)求平面 CBD 和平面 OBD 所成锐二面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】(Ⅰ)连结 AOL,并延长交 BC 于点 E,连结 PE,推导出 DO∥PE,由此

能证明 DO∥平面 PBC. (Ⅱ)以点 E 为坐标原点,以 EO、EB、EP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建 立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 CBD 和平面 OBD 所成锐二面角的余 弦值. 【解答】证明:(Ⅰ)连结 AO,并延长交 BC 于点 E,连结 PE, ∵O 为正三角形 ABC 的外接圆圆心, ∴AO=2OE, 又 AD=2DP,∴DO∥PE, ∵PE? 平面 PBC,DO?平面 PBC, ∴DO∥平面 PBC. 解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DO⊥平面 ABC, ∵DO∥PE,∴PE⊥平面 ABC, ∴PE⊥BC,PE⊥AE,又 AE⊥BC, ∴以点 E 为坐标原点,以 EO、EB、EP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 E(0,0,0),O(1,0,0),B(0, 0), ∴ =(0, ,0), =(﹣3,0,1), =(﹣2,0, ), = =(1, ,0),P(0,0,1),A(3,0,

0, ), ∴D(1,0, ), =(0,0, ), =(1,﹣ ,0),

设平面 CDB 的一个法向量 =(x,y,z), 则 ,取 z=1,得 =(﹣ ,0,1),

设平面 BOD 的法向量为 =(a,b,c), 则 ,取 a=1,得 =(1, ,0),

cos<

>=

=

=﹣



∴平面 CBD 和平面 OBD 所成锐二面角的余弦值为



【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

19.(12 分)(2016 秋?潍坊期末)已知数列{an}满足首项 a1=2,an=2an﹣1+2n (n≥2). (Ⅰ)证明:{ }为等差数列并求{an}的通项公式; ,记数列{ }的前 n 项和为 Tn,设角 B

(Ⅱ)数列{bn}满足 bn=log

是△ABC 的内角,若 sinBcosB>Tn,对于任意 n∈N+恒成立,求角 B 的取值范围. 【考点】数列的求和. 【分析】(Ⅰ)根据数列的递推关系,即可得到结论. (Ⅱ)通过(Ⅰ)计算可 bn=log =2n,进而利用裂项相消求和法计算可知

Tn,利用 Tn< 及二倍角公式化简可知 sin2B>Tn,结合 B∈(0,π)计算即得 结论.

【解答】解:(Ⅰ)∵an=2an﹣1+2n,两边同时除以 2n,可得

=

+1





=1,



=1,

∴数列{

}是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,



=1+(n﹣1)×1=n,

∴an=n?2n; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=n?2n,则 bn=log ∴ = = ( ﹣ ), )= (1﹣ )< . =2n,

∴Tn= (1﹣ + ﹣ + ﹣ +… ﹣

又∵sinBcosB= sin2B>Tn,对于任意 n∈N+恒成立, ∴ sin2B≥ ,即 sin2B≥ . 又 B∈(0,π),即 2B∈(0,2π), ∴ ≤2B≤ , , ].

∴B∈[

【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查裂项相消求和法,涉及三角函数 等基础知识,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属 于中档题.

20.(13 分)(2016 秋?潍坊期末)已知点 F1 为圆(x+1)2+y2=16 的圆心,N 为 圆 F1 上一动点,点 M,P 分别是线段 F1N,F2N 上的点,且满足 =2 . ? =0,

(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)过点 F2 的直线 l(与 x 轴不重合)与轨迹 E 交于 A,C 两点,线段 AC 的中 点为 G,连接 OG 并延长交轨迹 E 于 B 点(O 为坐标原点),求四边形 OABC 的 面积 S 的最小值.

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】(Ⅰ)确定动点 M 的轨迹是以 F1(﹣1,0),F2(1,0)为焦点的椭 圆,即可求动点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设直线 AC 的方程为 x=my+1,与椭圆方程联立,可得(4+3m2)y2+6my﹣ 9=0,表示出四边形 OABC 的面积,即可求出四边形 OABC 的面积 S 的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)由题意,MP 垂直平分 F2N, ∴|MF1|+|MF2|=4 所以动点 M 的轨迹是以 F1(﹣1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆,….. 且长轴长为 2a=4,焦距 2c=2,所以 a=2,c=1,b2=3, 曲线 E 的方程为 =1;

(Ⅱ)设 A(x1,y1),C(x2,y2),G(x0,y0). 设直线 AC 的方程为 x=my+1,与椭圆方程联立,可得(4+3m2)y2+6my﹣9=0, ∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ , |y1﹣y2|= ,

由弦长公式可得|AC|= 又 y0=﹣ ∴G( , ,﹣

), x,代入椭圆方程得 ,

直线 OG 的方程为 y=﹣

∴B(

,﹣

),

B 到直线 AC 的距离 d1=



O 到直线 AB 的距离 d2=



∴SABCD= |AC|(d1+d2)=6

≥3,m=0 时取得最小值 3.

【点评】本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查面积的计算,属 于中档题.

21.(14 分)(2016 秋?潍坊期末)已知函数 f(x)=x2﹣x,g(x)=lnx. (Ⅰ)求函数 y=xg(x)的单调区间; 1], e]上的最小值 (Ⅱ) 若 t∈[ , 求 y=f[xg (x) +t]在 x∈[1, (结果用 t 表示) ; (Ⅲ)设 h(x)=f(x)﹣ x2﹣(2a+1)x+(2a+1)g(x),若 a∈[e,3],? x1, x2∈[1,2](x1≠x2),| |≤ 恒成立,求实数 m 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间 即可; (Ⅱ)设 u=xlnx,x∈[1,e],得到 y=u2+(2t﹣1)u+t2﹣t,根据二次函数的性 质求出 y 的最小值即可; (Ⅲ)求出函数 h(x)的导数,问题可化为 h(x1)﹣ ≤h(x2)﹣ ,设 v

(x)=h(x)﹣ ,根据函数的单调性求出 m 的范围即可. 【解答】解:(Ⅰ)y=xlnx,x∈(0,+∞),y′=lnx+1, x∈(0, )时,y′<0,y=xlnx 递减, x∈( ,+∞)时,y′>0,y=xlnx 递增,

∴y=xlnx 在(0, )递减,在( ,+∞)递增; (Ⅱ)y=(xlnx+t)2﹣(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t﹣1)xlnx+t2﹣t, 设 u=xlnx,x∈[1,e], 由(Ⅰ)得 u=xlnx 在[1,e]递增, 故 u∈[0,e], 此时 y=u2+(2t﹣1)u+t2﹣t, 对称轴 u= t∈[ ,1],∴ , ∈[﹣ ,0],

u∈[0,e],故 u=0 时,ymin=t2﹣t; (Ⅲ)h(x)= x2﹣(2a+2)x+(2a+1)lnx, h′(x)= ,x∈[1,2],

a∈[e,3]时,2a+1∈[2e+1,7], 故 h′(x)<0 在[1,2]成立, 即 h(x)在[1,2]递减, ∵x1≠x2,不妨设 1≤x1<x2≤2, 则 h(x1)>h(x2),x1<x2, 故原不等式可化为 h(x1)﹣ 对 1≤x1<x2≤2 成立, 设 v(x)=h(x)﹣ , 则 v(x)在[1,2]递增,其中 a∈[e,3], 即 v′(x)≥0 在[1,2]恒成立, 而 v′(x)= 即 x﹣(2a+2)+ + + ≥0, ≤h(x2)﹣ ,

≥0 恒成立,

即(2x﹣2x2)a+x3﹣2x2+x+m≥0 恒成立,a∈[e,3], 由于 x∈[1,2],∴2x﹣2x2≤0, 故只需(2x﹣2x2)a+x3﹣2x2+x+m≥0,

即 x3﹣8x2+7x+m≥0, 令 k(x)=x3﹣8x2+7x+m,x∈[1,2], k′(x)=3x2﹣16x+7<0, 故 k(x)在 x∈[1,2]上递减, ∴k(x)min=k(2)=m﹣10≥0, ∴m≥10, ∴m∈[10,+∞). 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思 想,是一道综合题.


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