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双曲线及其标准方程(1)定稿


临 武 李 一 红 中 群 数 学 组

上课

复习引入
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

r />
O

F2? c, 0 ? X

中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆
y

中心在原点, 焦点在 y 轴上的椭圆
y

M ? x, y ?
F2

F2

M ? x, y ?
x

图形

F1

o

x

O

F1

x2 y2 标准方程 2 ? 2 ? 1 a b
焦点坐标 关系式

( a ? b ? 0) F1 ?? c,0? 、 F2 ?c,0?

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

( a ? b ? 0) F1 ?0,? c ? 、 F2 ?0, c ?

a 2 ? b2 ? c 2

复习引入
1. 椭圆的定义

平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 的点的轨迹是什么呢?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

差 等于常数

思考:我们有什么方法来探 求(画出)轨迹图形?

新知探究
思考 1 :上述试验中,曲线上的点 M 满足的几何 条件是什么?

① 如右图,当 MF ? MF 时 ∵ MF ? MF ? F F ∴ MF ? MF ? F F ? 2 a ②如右图下,当 MF ? MF 时同理可得:
1 2 1 2 1 1 2 1

MF2 ? MF1 ? 2a

1

2

由①②可得:
MF1 ? MF2 ? 2( a 差的绝对值)

上面两条曲线合起来叫做双曲线

2.2.1 双曲线 及其标准方程

归纳总结
双曲线的定义
平面内与两定点 F1 , F2 ( F1 F2
? 2 c ) 的距离的
1 2

差的绝对值等于常数 2 a (小于 F F )的点 M 的 轨迹叫做 双曲线

M ? x, y ?

其中两定点 F1 , F2 叫做
双曲线的焦点, F F ? 2 c 叫做双曲线的焦距
1 2

F1

F2

注意

(1)2a<2c ; (2)2a >0 ;

理解定义
对双曲线定义中的条件加以改变,则动点 M的轨迹是怎么样的呢?
M ? x, y ?

例如: (1) 2a ? 0 ; F F (2) 2a ? 2c ; (3) 2a ? 2c (1) 轨迹为线段 F F 的中垂线; F2B; (2) 轨迹为以 F , F 为端点的两条射线 F1A,
1

2

1

2

1

2

A

F1

F2

B

(3)轨迹不存在

双曲线的标准方程
思考 2:类比椭圆标准方程的建立过程,你认为 应怎样选择坐标系来建立 双曲线的标准方程呢? 1. 建系 取过焦点 F , F 的直线为 x 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系xOy.
1 2

y

M ? x, y ?

F1

O

F2

x

2. 写出适合条件的点M的集合; 设 M(x,y)是双曲线上任意一点, 双曲线的焦距为2c ? c ?0? , M 与 F 、F 的距离的差的 绝对值为 2a
1 2

由定义知双曲线就是集合: P ? ?M

MF ? MF ? 2a?
1 2

双曲线的标准方程
3. 用坐标表示条件,列出方程化简

? x ? c?

2

?y ?
2

? x ? c?
2 2

2

? y ? ?2a
2

y

M ? x, y ?

2 2 2 2 2 2 2 2 c ? a x ? a y ? a c ? a ? ? ?( ?

b ?c ?a

2

F1

O

F2

x

b x ?a y ? a b
2 2 2 2

2 2

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0, b ? 0)

双曲线的标准方程
思考 3 : 取过焦点 F , F 的直线为 y 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 x 轴,建立直角坐标系,双曲 线的标准方程会是怎样的呢?
1 2

M ? x, y ?

y
F2

O
F1

x

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) a b
2 2 2 2

其中焦点是 F 1 ?0, ? c ?, F 2 ?0 , c?

双曲线的标准方程
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
y
M
M F2

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

yy x x ?1 ? 2 ? 2 ?1 2 2 a b a b
F(0, ± c)
2 2

2 2

2 2

c ? a ?b
2

应用举例
例 1、已知双曲线两个焦点分别为 F1 ? ?5, 0 ? , F2 ? 5, 0 ? , 双曲线上一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6,求 双曲线的标准方程.

例 2、已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上
? 15 ? 1, ? ? ? 2 2, 3 ? P P 1 2 2 ? 两点 、 的坐标分别为 ? 、 ?

?

? ,求双曲线的

标准方程.

课堂小结
1、双曲线的定义 2、双曲线的标准方程

课堂练习
1、教材第 48 页练习 1,2;
x y ? 2 、如果方程 2 ? m 1 ? m ? 1 表示双曲线,求 m 的
2 2

取值范围.

课外作业
教材第 54 页习题 1,2

谢谢各位老师的 指导!


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