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高中数学 (2.1.1 平面)示范教案 新人教A版必修2


第二章

点、直线、平面之间的位置关系

本章教材分析 本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上,以长方体为载体,使学生在直观 感知的基础上,认识空间中点、直线、平面之间的位置关系;通过大量图形的观察、实验和 说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语 言表述几何对象的位置关系,初步体验公理化思想

,培养逻辑思维能力,并用来解决一些简 单的推理论证及应用问题. 本章主要内容:2.1 点、直线、平面之间的位置关系,2.2 直线、平面平行的判定及其 性质, 2.3 直线、 平面垂直的判定及其性质.2.1 节的核心是空间中直线和平面间的位置关系. 从知识结构上看,在平面基本性质的基础上,由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、 平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力 和思维能力方面,都具有重要的作用.2.2 和 2.3 节内容的编写是以“平行”和“垂直”的 判定及其性质为主线展开,依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质;直线 和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质. “平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、 直线和平面、 平面和平面的位置关系中 起着重要作用.在本章它集中体现在:空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的 转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化. 本章教学时间约需 12 课时,具体分配如下(仅供参考) : 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2.1 2.2.3 2.2.2 2.2.4 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 平面 空间中直线与直线之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 直线与平面平行的判定 直线与平面平行的性质 平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质 直线与平面垂直的判定 平面与平面垂直的判定 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 本章复习 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时

2.1

空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 整体设计

教学分析 平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、 黑板面、 海平面等为例,对它只是加以描述 而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无 限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理, 这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言 与符号语言的转换. 三维目标
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1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质. 2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、 共线、 共面问题. 3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣. 重点难点 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(情境导入) 大家都看过电视剧《西游记》吧,如来佛对孙悟空说:“你一个跟头虽有十万八千里, 但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,孙悟空可以看作是一个 点,他的运动成为一条直线,大家说如来佛的手掌像什么?对,像一个平面,今天我们开始 认识数学中的平面. 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 1) ,你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、底面之间的关系 吗?

图1 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的,有些面是相交的;有 些棱所在的直线与面平行, 有些棱所在的直线与面相交; 每条棱所在的直线都可以看成是某 个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢?本节我们将讨论这个 问题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①怎样理解平面这一最基本的几何概念; ②平面的画法与表示方法; ③如何描述点与直线、平面的位置关系? ④直线与平面有一个公共点, 直线是否在平面内?直线与平面至少有几个公共点才能判断直 线在平面内? ⑤根据自己的生活经验,几个点能确定一个平面? ⑥如果两个不重合的平面有一个公共点,它们的位置关系如何?请画图表示; ⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言? ⑧自己总结三个公理的有关内容. 活动:让学生先思考或讨论,然后再回答, 经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬, 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下: ①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念) ,如点、直线、集合等. ②我们的桌面看起来像什么图形?表示平面和表示点、 直线一样, 通常用英文字母或希腊字 母表示. ③点在直线上和点在直线外;点在平面内和点在平面外.

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④确定一条直线需要几个点? ⑤引导学生观察教室的门由几个点确定. ⑥两个平面不可能仅有一个公共点,因为平面有无限延展性. ⑦文字语言、图形语言、符号语言. ⑧平面的基本性质小结. 讨论结果:①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的 原始概念) ,只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定义 它, 因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性, 很像如来佛的手掌(吴承恩的立体 几何一定不错). ②我们的桌面看起来像平行四边形, 因此平面通常画成平行四边形, 有些时候我们也可以用 圆或三角形等图形来表示平面,如图 2.平行四边形的锐角通常画成 45°,且横边长等于其 邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡 的部分用虚线画出来,如图 3.

图2 图3 平面的表示法有如下几种: (1)在一个希腊字母 α 、β 、γ 的前面加“平面”二字, 如平面 α 、平面 β 、平面 γ 等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图 4); (2)用 平行四边形的四个字母表示,如平面 ABCD(图 5) ; (3)用表示平行四边形的两个相对顶点 的字母来表示,如平面 AC(图 5).

图4 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表: 点 A 在直线 a 上(或直线 a 经过点 A) 点 A 在直线 a 外(或直线 a 不经过点 A) 点 A 在平面 α 内(或平面 α 经过点 A)

图5 A∈a A? a A∈α A? α 元素与 集合间 的关系

点 A 在平面 α 外(或平面 α 不经过点 A)

④直线上有一个点在平面内,直线没有全部落在平面内(图 7),直线上有两个点在平面内, 则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内. 公理 1: 如果一条直线上的两个点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图 6)描述. 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而 可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借 用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示, 点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理 1 也可以用符号
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语言表示: 若 A∈a,B∈a,且 A∈α ,B∈α ,则 a ? α .

图6 图7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交. 若 A∈a,B∈a,且 A ? α ,B∈α ,则 a ? α .如图(图 7). ⑤在生活中, 我们常常可以看到这样的现象: 三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板 仪等等. 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理. 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 如图(图 8).

图8 公理 2 刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一. ⑥我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢? 不是,因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果平 面是有限的, 那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?所以平面具有无限延展的特 征. 现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看). 问:两个平面会不会只有一个公共点?不会,因为平面是无限延展的,应当有很多公共点. 正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.那么这无数个公共点在 什么位置呢?可见,这无数个公共点在一条直线上. 这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理 3.如图(图 9) ,用符号语言 表示为:P∈α ,且 P∈β ? α ∩β =l,且 P∈l.

图9 公理 3 告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交,且 其交线一定过这个公共点.也就是说,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外 一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线. 由此看出公理 3 不仅给出了两个平面相交的依据,还告诉我们所有交点在同一条直线 上,并给出了找这条交线的方法. ⑦描述点、直线、平面的位置关系常用 3 种语言:文字语言、图形语言、符号语言. ⑧“平面的基本性质”小结: 名称 作用
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公理 1 公理 2 公理 3 应用示例

判定直线在平面内的依据 确定一个平面的依据 两平面相交的依据

思路 1 例 1 如图 10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

图 10 活动:学生自己思考或讨论,再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学 生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价. 解:在(1)中,α ∩β =l,a∩α =A,a∩β =B. 在(2)中,α ∩β =l,a ? α ,b ? β ,a∩l=P,b∩l=P. 变式训练 1.画图表示下列由集合符号给出的关系: (1)A∈α ,B ? α ,A∈l,B∈l; (2)a ? α ,b ? β ,a∥c,b∩c=P,α ∩β =c. 解:如图 11.

图 11 2.根据下列条件,画出图形. (1)平面 α ∩平面 β =l,直线 AB ? α ,AB∥l,E∈AB,直线 EF∩β =F,F ? l; (2)平面 α ∩平面 β =a,△ABC 的三个顶点满足条件:A∈a,B∈α ,B ? a,C∈β ,C ? a. 答案:如图 12.

图 12 点评:图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型: (1)根据图形,先判断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来. (2)根据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来. 例 2 已知直线 a 和直线 b 相交于点 A.求证:过直线 a 和直线 b 有且只有一个平面.
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图 13 证明:如图 13,点 A 是直线 a 和直线 b 的交点,在 a 上取一点 B,b 上取一点 C, 根据公理 2 经过不在同一直线上的三点 A、B、C 有一个平面 α , 因为 A、B 在平面 α 内,根据公理 1,直线 a 在平面 α 内, 同理直线 b 在平面 α 内,即平面 α 是经过直线 a 和直线 b 的平面. 又因为 A、B 在 a 上,A、C 在 b 上,所以经过直线 a 和直线 b 的平面一定经过点 A、B、C. 于是根据公理 2,经过不共线的三点 A、B、C 的平面有且只有一个, 所以经过直线 a 和直线 b 的平面有且只有一个. 变式训练 求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内. 证明:如图 14,直线 a、b、c、d 两两相交,交点分别为 A、B、C、D、E、F,

图 14 ∵直线 a∩直线 b=A,∴直线 a 和直线 b 确定平面设为 α ,即 a,b ? α . ∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α . 而 B、F∈c,C、E∈d,∴c、d ? α , 即 a、b、c、d 在同一平面内. 点评: 在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题, 除公理 2 外, 确定平面的依据还有: (1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线. 思路 2 例 1 如图 15,已知 α ∩β =EF,A∈α ,C、B∈β ,BC 与 EF 相交,在图中分别画出平面 ABC 与 α 、β 的交线.

图 15 活动:让学生先思考或讨论,然后再回答, 经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬, 对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解:如图 16 所示,连接 CB, ∵C∈β ,B∈β ,∴直线 CB ? β .

图 16 ∵直线 CB ? 平面 ABC,∴β ∩平面 ABC=直线 CB. 设直线 CB 与直线 EF 交于 D, ∵α ∩β =EF,∴D∈α ,D∈平面 ABC.
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∵A∈α ,A∈平面 ABC, ∴α ∩平面 ABC=直线 AD. 变式训练 1.如图 17,AD∩平面 α =B,AE∩平面 α =C,请画出直线 DE 与平面 α 的交点 P,并指出点 P 与直线 BC 的位置关系.

图 17 解:AD 和 AC 是相交直线,它们确定一个平面 ABC, 它与平面 α 的交线为直线 BC,DE ? 平面 ABC, ∴DE 与 α 的交点 P 在直线 BC 上. 2.如图 18,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 8 cm,M、N、P 分别是 AB、A1D1、BB1 的中点,

图 18 (1)画出过 M、N、P 三点的平面与平面 A1B1C1D1 的交线,以及与平面 BB1C1C 的交线. (2)设过 M、N、P 三点的平面与 B1C1 交于点 Q,求 PQ 的长. 解: (1)设 M、 N、 P 三点确定的平面为 α , 则 α 与平面 AA1B1B 的交线为直线 MP, 设 MP∩A1B1=R, 则 RN 是 α 与平面 A1B1C1D1 的交线,设 RN∩B1C1=Q,连接 PQ,则 PQ 是所要画的平面 α 与平 面 BB1C1C 的交线.如图 18. (2)正方体棱长为 8 cm,B1R=BM=4 cm,又 A1N=4 cm,B1Q= ∴B1Q=

1 A1N, 3

1 4 4 ×4= (cm).在△PB1Q 中,B1P=4 cm,B1Q= cm, 3 3 3 4 2 2 ∴PQ= B1 P ? B1Q ? 10 cm. 3
点评:公理 3 给出了两个平面相交的依据,我们经常利用公理 3 找两平面的交点和交线. 例 2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面 α 交于 P、Q、R 三点,求证:P、Q、R 三点共线. 解:如图 19,∵A、B、C 是不在同一直线上的三点,

图 19 ∴过 A、B、C 有一个平面 β .
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又∵AB∩α =P,且 AB ? β , ∴点 P 既在 β 内又在 α 内.设 α ∩β =l,则 P∈l, 同理可证:Q∈l,R∈l, ∴P、Q、R 三点共线. 变式训练 三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:这三条直线交于一点. 已知平面 α 、β 、γ 两两相交于三条直线 l1、l2、l3,且 l1、l2、l3 不平行. 求证:l1、l2、l3 相交于一点. 证明:如图 20,α ∩β =l1,β ∩γ =l2,α ∩γ =l3,

图 20 ∵l1 ? β ,l2 ? β ,且 l1、l2 不平行, ∴l1 与 l2 必相交.设 l1∩l2=P, 则 P∈l1 ? α ,P∈l2 ? γ , ∴P∈α ∩γ =l3. ∴l1、l2、l3 相交于一点 P. 点评:共点、共线问题是本节的重点,在高考中也经常考查,其理论依据是公理 3. 知能训练 画一个正方体 ABCD—A′B′C′D′,再画出平面 ACD′与平面 BDC′的交线,并且说明 理由. 解:如图 21,

图 21 ∵F∈CD′,∴F∈平面 ACD′. ∵E∈AC,∴E∈平面 ACD′. ∵E∈BD,∴E∈平面 BDC′. ∵F∈DC′,∴F∈平面 DC′B. ∴EF 为所求. 拓展提升 O1 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的上底面的中心,过 D1、B1、A 作一个截面,求证:此截面与 对角线 A1C 的交点 P 一定在 AO1 上. 解:如图 22,连接 A1C1、AC,

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图 22 因 AA1∥CC1,则 AA1 与 CC1 可确定一个平面 AC1, 易知截面 AD1B1 与平面 AC1 有公共点 A、O1, 所以截面 AD1B1 与平面 AC1 的交线为 AO1. 又 P∈A1C,得 P∈平面 AC1,而 P∈截面 AB1D1, 故 P 在两平面的交线上,即 P∈AO1. 点评:证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上. 课堂小结 1.平面是一个不加定义的原始概念,其基本特征是无限延展性. 2.通过三个公理介绍了平面的基本性质,及作用. 名称 公理 1 公理 2 公理 3 作用 判定直线在平面内的依据 确定一个平面的依据 两平面相交的依据

3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题. 作业 课本习题 2.1 A 组 5、6. 设计感想 本节的引入精彩独特, 用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征; 本节设计了较多 的语言转换题目,反复训练学生的读图、作图能力,以及用符号语言表达数学问题的能力, 因为这是学好立体几何的基础, 是本节的重点; 本节的难点是利用三个公理证明共面、 共线、 共点问题,本节设计了大量题目来突破这一难点,每个题目都精彩活泼难度适中,我相信这 是一节值得期待的精彩课例.

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