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2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题

时间:2013-02-17


2012 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文 字母代号填入第 1 页指定地方,答对得 6 分,答错或不答均记 0 分) 2+x x>0 1.{5 x=0 则 f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为 x 2 x< 0 (A) 8. (B) 11. (C)13·1/4 (D)15·1/2 2. 一个

锐角的正弦和余弦恰是二次三 项式 ax? +bx+c 的不同的两个根, 则 a、b、c 之间的关系是 (A) b? -4ac (B) b? +4ac =a? =a? (C) b? -2ac =a? (D) b? +2ac =a? 3.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=x? -2x,则 f(x)在 x∈[-4,-2]上的最小值为 (A)-1/9 (B)-1/3 (C)1/3 (D)1/9 + + 4. 定义在正整数集 Z 上的函数 f,对于每一个 n∈Z 和无理数 π=3.14159265358...满足 f(n)= { k? 的末位数字, (π 的小数点后第 n 位数字 k≠0) 3 (π 的小数点后第 n 位数字 k=0) 若函数 f(f(n)的值域记为 M ,则
[ 来 源 : 学 科 网 Z XXK ]

A 1

M

B

5

M

C

6

M

D

9

M

5.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,以 C 为圆心, CB 为半径作圆交 AB 边于 M,交 AC 边于 N,P 为 CM 与 BN 的交点,若 AN=1,则 S△CPN-S△BPM 等于 (A)1/8 (B)√3/8 (C)1/4 (D) √3/4

6.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足 f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当 x∈ (-1,0)时,f(x)>0,若 P=f(1/4)+f(1/5),Q= f(1/6),R=f(0);则 P,Q, R 的大小关系为 (A)R>P>Q. (B)R>Q>P. (C)P>R>Q. (D)Q>P>R. 二、填空题(满分 64 分,每小题 8 分,请将答案填入第 1 页指定地方) 1、求 log2sin(π/3) +log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值 2. 已知 f( x)是四次多项式,且满足 f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求 f(6)的值 3.若[x]表示不超过 x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012 的自 然数 n 的值
[来源:学科网 ZXXK]

4、如图,半径为 1 的两个等圆相交,在圆的公 共部分作一内接正方形 ABCD。如果圆心距 O1O 等于 1,试求正方形 ABCD 的面积.

5.求

[



源:学|科|网]

的值 6.在单位正方形 ABCD 中,分别以 A、B、C、D 四点为 圆心,以 1 为半径画弧,如右图所示.交点为 M,N,L, K,求阴影部分的面积.
[来源:Zxxk.Com]

7、已知二次函数 f(x)满足 f(-10)=9,f(-6)=7,f(2)=-9,求 f(100)的值 8、上底 BC=2,下底 AD=3 的梯形 ABCD 的对角线相交于点 O,彼此外切于 点 O 的两个圆分别切直线 AD 于点 A 和 D,交 BC 分别于点 A 和 D, BC 分别 交于点 K 和 L, 交 求 AK?+DL ?的值

答案:一、1C 2D 3A 4D 4A 6D 二、1. ? 7. ?
1 3 ? 4? 7 2. 3.2013 4. 5.1006. 6.1+ ? 3 3 2 3 2

3007 8.15 2

[来源:学科网]

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