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100测评网高中数学复习解三角形


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解三角形
广州市第四中学 刘运科 一、选择题.本大题共 10 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 c ? 2, b ? 6, B ?1 2 0 等于【 A. 6

】 B.2 C. 3 D. 2 , 则a

2. 在 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 已知 A ? 【 】 B.2 C. 3 ? 1

?
3

,a ? 3,b ? 1 , 则c ?

A. 1

D. 3 】

3. 已知 △ ABC 中, a ? A. 135

2 , b ? 3 , B ? 60 ,那么角 A 等于【
C. 45

B. 90

D. 30 】

4. 在三角形 ABC 中, AB ? 5,AC ? 3,BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为【

2? 5? 3? ? A. B. C. D. 3 6 4 3 5. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B ? 【 】 1 A. 4 3 B. 4

2 C. 4


2 D. 3

6. △ABC 中,已知 tan A ? A. 135

1 1 , tan B ? ,则角 C 等于【 3 2
C. 45

B. 120

D. 30 】

7. 在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? 【 A. ?

3 2 2 3 B. ? C. D. 3 2 2 3 8. 若 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a cos A ? b cos B, 则【 】 A. △ABC 为等腰三角形 B. △ABC 为直角三角形 C. △ABC 为等腰直角三角形 D. △ABC 为等腰三角形或直角三角形 9. 若 tan A tan B > 1 ,则△ ABC 【 】
A. 一定是锐角三角形 C. 一定是等腰三角形 B. 可能是钝角三角形 D. 可能是直角三角形

2 2 10. △ABC 的面积为 S ? a ? (b ? c) ,则 tan

A.

1 2

B.

1 3

A =【 2 1 C. 4

】 D.

1 6

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二、填空题:本大题共 4 小题. 11. 在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 ,则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为 . 1 12.在 △ ABC 中,若 tan A ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? . 3 13. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若 3b ? c cos A ? a cosC , 则 cos A ? _________________。 14. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,根据下列条件判断三角形形状:

?

?

(1). (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc,且 sin A ? 2sin B cos C,则△ABC是 _______ ; (2). (a 2 ? b2 )sin( A ? B) ? (a 2 ? b2 )sin( A ? B),则△ABC是 _______.
三、解答题:本大题共 6 小题.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . ⑴.求边 AB 的长; ⑵.若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

3 ,b sin A ? 4 . 16. 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c , 且 a cos B ? ⑴.求边长 a ; ⑵.若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

, C 是三角形 ?ABC 三内角,向量 m ? ?1, 3 , n ? ? cos A, sinA 17. 已知 A, B ? ,且

?

?

m? n ?1
⑴.求角 A ; ⑵.若

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B cos 2 B ? sin 2 B

18. 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? ⑴.若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; ⑵.若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,证明: △ ABC 是直角三角形.

? . 3

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19.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . ⑴.求 B 的大小; ⑵.求 cos A ? sin C 的取值范围.

20. 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,

20 海里,当 当甲船位于 A 1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B 1 处,此时两船相距
甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距

10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

21. 【选做题】设计一种方法求 cos36 的值.

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参考答案 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C

61 】 2 3 13. 【答案: 】 3
11. 【答案:

12. 【答案:

10 】 2

14. 【答案:⑴等边三角形;⑵等腰三角形或直角三角形】

15. 【解】⑴.由题意,及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,
两式相减,得 AB ? 1 . ⑵.由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C ,得 BC ? AC ? , 2 6 3

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 由余弦定理,得 cos C ? 2 AC ? BC ?
所以 C ? 60 . 16. 【解】⑴. a cos B ? 3 , b sin A ? 4 两式相除,有:

( AC ? BC )2 ? 2 AC ? BC ? AB 2 1 ? , 2 AC ? BC 2

3 a cos B a cos B b cos B 1 ? ? ? ? 4 b sin A sin A b sin B b tan B a cos B ? 3 cos B ? 0 又 ,故 , 3 4 则 cos B ? , sin B ? , 5 5 则a ? 5. 1 ⑵.由 S ? ac sin B ,得到 c ? 5 . 2
由 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ,解得 b ? 2 5 , 2ac

故 l ? 10 ? 2 5 .

,3 ? ? cos A, sin A? ? 1 , 3 sin A ? cos A ? 1 , 17. 【解】⑴. ∵ m ? n ? 1 ∴ ?1
? 3 1? , ? ?? 1 2? A? ? ? , ? sin A ? 2 ? cos A ? 2 ? ? ? 1 sin ? 6? 2 ? ? ?

?

?

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? ∵ 0 ? A ? ?,

?

6 6 1 ? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0 , ⑵. 由题知 cos 2 B ? sin 2 B
cos B ? 0 ,∴ tan 2 B ? tan B ? 2 ? 0 ,∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 ,
而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去,∴ tan B ? 2 .
2 2

? A?

?

?

5? ? ? ? ,∴ A ? ? , A ? . 6 6 6 3

18. 【解】⑴.由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

解得 a ? 2 , b ? 2 . ?ab ? 4, ⑵.由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ? 当 cos A ? 0 时, A ? , △ ABC 是直角三角形; 2 当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ? 2sin( B ? C ) ? 2sin B cos C ? 2cos B sin C , ? ? C ? 代入上式得 sin B ? sin B ? 3cos B ,故 cos B ? 0,B ? , 3 2 △ ABC 是直角三角形. 19. 【解】⑴.由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4,

1 , 2

π . 6 ? ? ? ⑵. cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? ? ? ?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ? 由 △ ABC 为锐角三角形知, ? ? ? ? 0? A? , 0 ? C ? ? ? A ? B ? ,解得 ? A ? 2 2 3 2 2? ? ?? ? A? ? , 3 3 6 1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? 所以 sin ? A ? ? ? , ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 ? 3? 2 2 3? 2 ?
由 △ ABC 为锐角三角形得 B ? 故 cos A ? sin C 的取值范围为 ?

? 3 3? ?. ? 2 , 2? ? ?

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20. 【解】如图,连结 A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 , 60

? A1 A2 ? A2 B1 ,
又 ∠A △A1 A2 B2 是等边三角形, 1A 2 B2 ? 180 ? 120 ? 60 ,?

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A 1B 1 ? 20 , ∠B 1A 1B2 ? 105 ? 60 ? 45 , 在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ? A1B2 ? cos45

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?
? 200 .

2 2

? B1B2 ? 10 2 .
故乙船的速度的大小为

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

21. 【选做题】 【解法一】如图,在等腰△ABC 中,?BAC ? 36 ,?ABC ? ?ACB ? 72 ,

?ABC 的角平分线交 AC 于 D,设 BC=1,AB=x,利用此图来求 cos36 .

易知△ABC 与△BCD 相似,故

AB BC x 1 5 ?1 ? ,即 ? ,解得 x ? . BC CD 1 x ?1 2

△ABC 中,由余弦定理, cos36 ?

x 2 ? x 2 ? 12 5 ?1 ; ? 2 2x 4
2 2

【解法二(用二倍角公式构造方程,解方程) 】

cos144 ? 2cos 2 72 ? 1 ? 2 ? 2cos 2 36 ? 1? ? 1 ,即 ? cos36 ? 2 ? 2cos 2 36 ? 1? ? 1 ,
设 cos36 ? x ,则 ? x ? 2 2 x ? 1 ? 1 ,可化为 8 x ? 8 x ? x ? 1 ? 0 ,
2
4 2

?

?

2

? x ? 1? ?8 x3 ? 8 x 2 ? 1? ? 0 ,因 x ? 1 ? 0 ,故 8x3 ? 8x2 ? 1 ? 0 , ? 2 x ? 1? ? 4 x 2 ? 2 x ? 1? ? 0 ,因 x ?
x?
1 2 ,故 4 x ? 2 x ? 1 ? 0 , 2

? 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ? 0 舍去) (x? ,故 cos36 ? . 4 4 4

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