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江苏省苏州市五市四区2013-2014学年高一数学上学期期末统考试题苏教版

时间:2014-01-26


苏州市五市四区 2013—2014 学年第一学期期末调研测试高一数学
2014.1 注意事项: 1. 本试卷共 160 分,考试时间 120 分钟; 2. 答题前,务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的密封线内。 一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题卡 ... 相应的位置 上。 ..... 一、填空题: 1、函数

f ( x) ? sin 2 x 的最小正周期是
x



2、函数 f ( x ) ? 1 ? 2 的定义域为___ ▲ _____. 3、已知向量 a ? (k ,1), b ? (6, ?2) ,若 a 与 b 平行,则实数 k = 4、函数 y ? tan x ? x ? ? ?

?

?

?

?





? ?

? ? ? ?? , ? 的值域是__ ▲ ? 4 3? ??
2

____

5、已知 tan ? ? 2 ,则 cos ? ? __ ▲

___ ▲ .

6、已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? x ? 2 的零点在区间 ? n, n ? 1?? n ? Z ? 内,则 n ? 7、已知 f ? x ? ? a sin x ? x
2

? a ? R ? , f ? 2 ? ? 3 ,则 f ? ?2 ? ? _
?
2



____

8、如图是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 析式是______▲ ______.

) 在一个周期内的图象,则其解
y 3

π 6

O

π 3

5π 6

x

-3

9、已知 f ? n ? ? ?

? ? n ? 3, n ? 10, 则 f ?8? ? _ ?f ? ? f ? n ? 5?? ? , n ? 10. ?



10、已知 f(x)是定义在 (??, ??) 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,若函数 f(x)
2

在区间[-1,t]上的最小值为-1,则实数 t 的取值范围是



.

1

11、已知向量 a ? ?1,3 ? , a ? a ? 2b , a ? b ? 2 6 ,则 a ? b ? 12、如图, 在等腰三角形 ABC 中, 底边 BC ? 2 , AD ? DC , AE ?

?

?

??

?

?

?

?

?

?





??? ?

??? ? ???? 1 BD ? AC ? ? , 则 CE ? AB =___▲__. 2

? 1 ??? EB , 若 2

13、如图,过原点 O 的直线与函数 y ? 2 的图象交于 A, B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数
x

y ? 4 x 的图象于点 C ,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是

▲_



14、 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

x ? 2a x ? 2a

在区间 ?1, 4 ? 上的最大值等于

1 , 则 a 的值为 2





二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。 15、 (本题满分 14 分) 已知 sin ? ? cos ? ? ? . (1) 求 sin ? ? cos ? 的值; (2) 若

1 5

?
2

? ? ? ? ,求

1 1 ? 的值; sin ? cos ?? ? ? ?

2

16、 (本题满分 14 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b , CE ? (1)用 a , b 表示 EF ;
? (2)若 a ? 1 , b ? 4 , ?DAB ? 60 ,分别求 EF 和 AC ?FE 的值。

??? ?

?

????

?

??? ?

? ?
?

??? ?
?

? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? CB , CF ? CD 。 3 3

??? ?

???? ??? ?

17、 (本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 9 ? x 的定义域为集合 A .
2

(1) 若函数 g ? x ? ? log 2 x ? 2 x ? 3 的定义域也为集合 A ,g ? x ? 的值域为 B , 求 A? B ;
2

?

?

(2)已知 C ? {x

a?2 ? 1} ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围. x ? a ?1

3

18. (本题满分 16 分) 某厂生产某种产品 x (百台) ,总成本为 C ? x ? (万元) ,其中固定成本为 2 万元, 每

1 2 1 ? ?4 x ? x ? , 0 ? x ? 4, 生产 1 百台,成本增加 1 万元,销售收入 R ? x ? ? ? (万元) ,假 2 2 ? x ? 4. ?7.5,
定该产品产销平衡。 (1)若要该厂不亏本,产量 x 应控制在什么范围内? (2)该厂年产多少台时,可使利润最大? (3)求该厂利润最大时产品的售价。

19.(本题满分 16 分) 已知点 A?x1 , f ?x1 ?? , B?x2 , f ?x2 ?? 是函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0)

图象上的任意两点,且角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的 最小值为

? . 3

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (3)当 x ? ?0,

? ?? 时,不等式 mf ? x ? ? 2m ? f ? x ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 6? ?

4

20. (本题满分 16 分) 函数 f n ( x) ? x ? bx ? c(n ? Z , b, c ? R) .
n

(1)若 n ? ?1 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 2, ?? ? 上是单调递增函数,求实数 b 的取值范围; (2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? [?1,1], f 2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立,求 b 的取值范围.

2013—2014 学年第一学期期末调研测试 高一数学参考答案和评分标准 一、填空题: 1、 ? ; 2、? ??, 0? ; 3、?3 ; 4、? ?1, 3 ? ; 5、 2014.1

1 ? ; 6、 1; 7、 5; 8、y ? 3sin(2 x ? ) 5 3 4 2 3 9、7; 10、 t ? 1 ; 11、2; 12、 ? ; 13、 (1,2) 14、 或 。 3 3 2
? ?
二、解答题: 15、 (本题满分 14 分) 解: (1)? sin ? ? cos ? ? ?

1 1 2 ①,? (sin ? ? cos ? ) ? , 5 25

5

1 , 25 12 ? sin ? ? cos ? ? ? 25
即 1 ? 2sin ? cos ? ? (2)由(1)得, (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 又

…………………..3 分 …………………….5 分

?
2

49 25

…………..7 分

? ? ? ? ,?sin ? ? cos ? ? 0 ,…………………………………8 分 7 5
②. ………………………………………….10 分

? sin ? ? cos ? ?

1 1 1 1 ? ? ? …………………………………..12 分 sin ? cos ?? ? ? ? sin ? cos ?

?

cos ? ? sin ? 35 ? ………………………………..14 分 sin ? cos ? 12

16、 (本题满分 14 分) 解(1) :

??? ? ??? ? ??? ? EF ? CF ? CE …………………………………….2 分
………….4 分

? 1 ??? ? ? 1 ???? 2 ??? 2 ??? 2? 1? ? CD ? CB ? ? AB ? AD ? ? a ? b 3 3 3 3 3 3 ? ? ? (2): ? a ? 1 , b ? 4 , ?DAB ? 60 ,
? ? ? ? ? a ?b ? a ? b ? cos 60? ? 2
….6 分

2 ??? ? 4 ?2 4 ? ? 1 ?2 2 3 ? 2 ? 1 ?? ? EF ? ? ? a ? b ? ? a ? a? b? b ? …………….8 分 3 ? 9 9 9 3 ? 3

由(1) ,得, AC ?FE ? a ? b ?

???? ??? ?

2? 1 ? a ? b ? ………….10 分 ? ? ?? 3 ? ?3

?

?

?

2 ?2 1 ? ? 1 ?2 a ? a? b ? b ………….12 分 3 3 3 2 2 16 ………….14 分 ? ? ? ? ?4 3 3 3

17、 (本题满分 14 分) 解: (1)由 9 ? x ? 0 ,得 ?3 ? x ? 3 ,? A ? ? ?3,3? ,…………………2 分
2

u ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2 ,…………………………………3 分
2

当 x ? A 时, 2 ? u ? 18 ,于是 1 ? g ? x ? ? log 2 18 ,即 B ? ?1, log18? ,…5 分

? log 2 18 ? 3 ,? A ? B ? ?1,3? 。……………………………………7 分
6

(2) ) 由 分

a?2 a?2 a ?1 ) ?? x ?( 2 a? 1 ) 得 即?x ? ( ? 1, ?1 ? 0 , x ? a ?1 x ? a ?1

? 0?

. ........8

当 a ? ?2 时, C ? ? ,满足 C ? A ;……………………………………9 分 当 a ? ?2 时, C ? (a ? 1, 2a ? 1) , 因为 C ? A ,所以 ?

? a ? 1 ? ?3, 解得 ?2 ? a ? 1 ,………………………11 分 ? 2a ? 1 ? 3,

又 a ? ?2 ,所以 ?2 ? a ? 1 ; 当 a ? ?2 时, C ? (2a ? 1, a ? 1) , 因为 C ? A ,所以 ?

?2a ? 1 ? ?3, 解得 ?2 ? a ? 4 , ?a ? 1 ? 3,

又 a ? ?2 ,所以此时无解;…………………………………………………13 分 综上所述,实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 1 .……………………………14 分 18、 (本题满分 16 分) 解:由题意得,成本函数为 C ? x ? ? 2 ? x , 从而利润函数

?3 x ? 0.5 x 2 ? 2.5, 0 ? x ? 4, L ? x? ? R ? x? ? C ? x? ? ? 。……………………2 分 x ? 4. ?5.5 ? x,
(1)要使不亏本,只要 L ? x ? ? 0 , 当 0 ? x ? 4 时, L ? x ? ? 0 ? 3x ? 0.5 x ? 2.5 ? 0 ? 1 ? x ? 4 ,…………4 分
2

当 x ? 4 时, L ? x ? ? 0 ? 5.5 ? x ? 0 ? 4 ? x ? 5.5 , 综上, 1 ? x ? 5.5 , ……………………6 分 答:若要该厂不亏本,产量 x 应控制在 100 台到 550 台之间。…………7 分 (2)当 0 ? x ? 4 时, L ? x ? ? ?0.5 ? x ? 3? ? 2 ,
2

故当 x ? 2 时, L ? x ?max ? 2 (万元)……………………9 分 当 x ? 4 时, L ? x ? ? 1.5 ? 2 ,……………………10 分 综上,当年产 300 台时,可使利润最大。…………………11 分 (3)由(2)知 x ? 3 ,时,利润最大,此时的售价为

7

P?

R ? 3? 3

? 2.33 (万元/百台)=233 元/台。…………14 分

19. (本题满分 14 分) 解: (1)角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) , tan ? ? ? 3 ,…………………2 分

??

?
2

? ? ? 0 ,?? ? ?

?
3

. …………………………………………………3 分

由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的最小值为 得T ?

2? 2? 2? ,即 ,?? ? 3 …………………………………………..5 分 ? 3 ? 3

? , 3

∴ f ( x) ? 2sin(3x ? (2) ?

?

?
2

? 2k? ? 3x ?

?
3

?

?

3

) …………………………………………………………6 分 ? 2k? ,即 ?

?
18

2

?

2k? 5? 2k? ,……………8 分 ?x? ? 3 18 3

? ? 2k? 5? 2k? ? , ? k ? z ………………9 分 ?函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ? ? 3 18 3 ? ? 18 ?

(3 ) 当 x ? ?0,

? ?? 时, ? 3 ? f ? x ? ? 1 ,……………………………………11 分 ? 6? ?

于是, 2 ? f ? x ? ? 0 , mf ? x ? ? 2m ? f ? x ?

等价于 m ?

2 ? f ? x?

f ? x?

? 1?

2 …………………………………12 分 2 ? f ? x? f ? x?
的最大值为

由 ? 3 ? f ? x? ? 1 , 得

2 ? f ? x?

1 ………………13 分 3

所以,实数 m 的取值范围是 m ? 注:用别的方法求得 m ? 20. (本题满分 16 分) 解: (1) n ? ?1 时, f ? x ? ?

1 。……………………………14 分 3

1 ,只要正确就给 3 分。 3 1 ? bx ? c x
1 1 ? bx1 ? c ? ( ? bx2 ? c) x1 x2

任设 x1 ? x2 ? 2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

8

?

? x1 ? x2 ?? bx1 x2 ? 1? ………………………………………………..2 分
x1 x2

? x1 ? x2 ? 2, ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,
因为函数 f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 上是单调递增函数,故恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,..3 分 从而恒有 bx1 x2 ? 1 ? 0 ,即恒有 b ?

1 ,…………………………….4 分 x1 x2

当 x1 ? x2 ? 2 时, x1 x2 ? 4 ,?
2

1 1 1 ? ,? b ? ……………………..6 分 x1 x2 4 4

(2)当 n ? 2 时 f 2 ( x) ? x ? bx ? c 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 有 f 2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上的最大值与 最小值之差 M ? 4 ……………………..7 分 当?

b ? ?1 ,即 b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递增, 2

所以 f 2 ( x)min ? f 2 (?1) ? 1? b ? c , f 2 ( x) max ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c ,所以 M ? 2b ? 4 , 与题设矛盾;……………………………..9 分 当 ?1 ? ?

b b b ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减,在 x ? [? ,1] 上 2 2 2
b 2 b2 ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c , 4

单调递增,所以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?
2

?b ? 所以 M ? ? ? 1 ? ? 4 恒成立,所以 0 ? b ? 2 ;……………………………..11 分 ?2 ?
当0 ? ?

b b b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减,在 x ? [? ,1] 上 2 2 2
b 2 b2 ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (?1) ? 1 ? b ? c , 4

单调递增,所以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?
2

?b ? 所以 M ? ? ? 1? ? 4 恒成立,所以 ?2 ? b ? 0 ;……………………………….13 分 ?2 ?
当?

b ? ?1,即 b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递减, 2

所以 f 2 ( x)min ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (?1) ? 1 ? b ? c ,所以 M ? ?2b ? 4 ,

9

与题设矛盾.……………………………………………………………………………….15 分 综上所述,实数 b 的取值范围是 ?2 ? b ? 2 .………………………………16 分

10


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