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3.2求直线方程的习题课


y
Ax+By+C=0

o

x

复习

直线方程的五种形式
方程的形式
已知条件
(x1,y1)是直线上 一点,k是斜率 k是斜率,b是直线 在y轴上的截距
(x1,y1),(x2,y2)是 直线上两点

名称 点斜式

/>斜截式

方程直线的局限性
不包括与x轴垂直的 直线 不包括与x轴垂直的 直线
不包括与坐标轴垂 直的直线

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

y ? kx ? b

y ? y1 x ? x1 ? 两点式 y2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) x y ? ?1 a b 1 截距式 ( a , b ? 0)
一般式

y ?xy1 y x ? x1 (x1,y1)是直线上一点, ? ?y1)是 a是直线在x轴上的 不包括与坐标轴垂 不包括与坐标轴垂 Ax+By+C=0 (x1,y1? 2, 2 ),(x 不包括与x轴垂直的 不包括与x轴垂直的 k是斜率,b是直线x A、B、C为常数 y截距,b是直线在y 11) ?任何位置的直线 y1 b (x?? ? 直的直线,不包括x y 直线上两点 x b ? y1 2 ay 直的直线 k 2 k是斜率? kx ( x (a, b,? 10? y2 ) ? x2 y )
a是直线在x轴上的 截距,b是直线在y 轴上的截距 A、B、C为常数

直线 (A、B不同时为零) 直线 在y轴上的截距 过原点的直线。 轴上的截距

不包括与坐标轴垂 直的直线,不包括 过原点的直线。

Ax+By+C=0 (A、B不同时为零)

任何位置的直线

一、尝试学习
1、求经过点A(-1,2),斜率为 2的直线方程。 ? 2、求倾斜角是 120 , 在y轴上的截距是2的直线 方程。 3、求经过点(2,1)、(0,-2)的直线方程。 4、求在y轴上的截距是-2,且与x轴平行的直线方 程。 5、求在x轴上的截距是2,且与y轴平行的直线方程。 6、求过P(3,-4),并且在两坐标轴上的截距和为 0的直线方程。
讲 课 人 : 邢 启 强

3

求经过 P(3,-4),并且在两轴上截距和为 0 的 直线方程。
解法 1:当直线在两轴上的截距都是 0 时,设直线 y 的方程为 y=kx 4 ? , ∵ 直线过 P(3,-4)点,∴-4=3k,故 k= 3

此时,直线方程为 y= ?
x 的方程为a y +? a

4 3 x.

当直线在两轴上的截距都不是 0 时,设直线 o =1
y +? 7

x P(3,-4)

∵直线过 P(3,-4)点,∴ 3+4=a,即 a=7
讲 课 人 : 邢 启 强

=1 综上可知所求直线方程为 4x+3y=0 或 x-y-7=0

x 此时,直线方程为 7

4

求经过 P(3,-4),并且在两坐标轴上截距和为 0 的直线方程。 解法 2:由图可知该直线必有斜率,所以就设直线 斜率为 k 用点斜式设方程为 y+4=k(x-3) 当 y=0 时 x=4/k +3 当 x=0 时 y=-3k-4 所以 x+y=0 解得 k=1 或 k=-4/3

可知所求直线方程为x-y-7=0或4x+3y=0

讲 课 人 : 邢 启 强

5

知识探究:一般式方程的变式探究

思考1:设A,B不同时为0,那么集合
M={(x,y)| Ax+By+C=0 }的几何意义如 何?

思考2:如何由直线的一般式方程 Ax+By+C=0,求直线的斜率及在两坐 标轴上的截距?
讲 课 人 : 邢 启 强

6

思考3:当A,B,C分别为何值时,直 线Ax+By+C=0平行于x轴?平行于y轴? 与x轴重合?与y轴重合?过原点?

思考4:过点P(x0,y0),且与直线l: Ax+By+C=0平行的直线方程如何?
讲 课 人 : 邢 启 强

7

思考5:设直线l1、 l2的方程分别为 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 在什么条件下有l1⊥l2?
A1A2+B1B2=0 思考6:设直线l1、 l2的方程分别为 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 在什么条件下有l1//l2?
讲 课 人 : 邢 启 强

A1B2-A2B1=0
8

讲 课 人 : 邢 启 强

9

讲 课 人 : 邢 启 强

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第二次尝试练习
1、求过点A(1,2),且与直线4x+y+3=0平行的直 线方程。 2、求过点B(2,0),且与直线x+2y+5=0垂直的直 线方程。 3、一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等 于直线 y ? 3 x 的倾斜角的2倍,求这条直线的 方程。 4、三角形的三个顶点是A(4,0)、B(6,7)、C (0,3) (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)求BC边上的中线所在直线的方程; (3)求BC上的垂直平分线的方程。

讲 课 人 : 邢 启 强

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例1、已知直线l:(2m2-7m+3)x+(m2-9)y+3m2=0 垂直x轴,求实数m的值及直线l在x轴上的截距。
y 解:∵直线 l 垂直于 x 轴 注意:直线l:Ax+By+C=0 l

?m 2 ? 9 ? 0 (1) ∴ ? 2m 2 ? 7m ? 3 ? 0 (2) ?

若l⊥x轴,则有B=0且A≠0

由(1),得 m=±3
由(2),得 故 m=-3
1 m≠ 2

o

x

且 m≠3

9 此时直线 l 的方程为:42x+27=0,即 x= ? 14 9 ? ∴直线 l 在 x 轴上的截距为 14

例3 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距, 并画出图形.

讲 课 人 : 邢 启 强

13

练习1 已知直线l1:ax+(a+1)y-a=0 和l2:(a+2)x+2(a+1)y-4=0,若l1//l2, 求a的值.
练习2 已知直线l1:x-ay-1=0和 l2:a2x+y+2=0,若l1⊥l2,求a的值.
讲 课 人 : 邢 启 强

14

小结:

求直线的方程常使用待定系数法。首 先要根据题目所给的条件,确定直线方程 的形式,使用时,还应注意各种直线方程 的局限性,避免漏解、错解。

讲 课 人 : 邢 启 强

15

课堂反馈
1、已知三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3)、 C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直 线的方程。

2.若直线(2m -5m+2)x-(m -4)y+5m=0 的
? 倾斜角为 4 ,则 m 的值为多少?
∵倾斜角α =45°∴斜率 k=tanα 解得:m=3,m=2(舍去)
讲 课 人 : 邢 启 强

2

2

2m 2 ? 5m ? 2 =1,即 m 2 ? 4 =1

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3、 直线 l 过 P(-6,3),且它在 x 轴上 的截距是它在 y 轴上的截距的三倍, 求直线 l 的方程。
解:当直线在两轴上的截距都是 0 时满足题意,设直线的方程为 y=kx ∵直线过 P(-6,3)点,∴3=-6k,k=? 此时直线的方程为:y=?
1 2 1 2

x,即 x+2y=0

当直线在两轴上的截距都不是 0 时,设直线的方程为
?6 3 ∵直线过 P(-6,3)点,∴ 3b ? b ? 1 ,b=1 x y 此时直线的方程为: 3 ? 1 ? 1 ,即 x+3y-3=0 x y ? ?1 3b b

讲 课 人 : 邢 启 强

所以,所求直线的方程为 x+2y=0 或 x+3y-3=0
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