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课时提升作业(三) 第一章 第三节


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课时提升作业(三)
一、选择题 1.(2013·太原模拟)已知命题 p:?x∈R,x>sinx,则 p 的否定形式为( (A)?x0∈R,x0<sinx0

(C)?x∈R,x≤sinx (B)?x0∈R,x0≤sinx0 (D)?x∈R,x<sinx ) )

2.命题“?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0”的否定是( (A)?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0 (B)?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0 (C)?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0 (D)?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0

3.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中 为真命题的是( (A)( p)∨q (C)( p)∧( q) ) (B)p∧q (D)( p)∨( q)

4.(2013·菏泽模拟)命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条 件是( (A)a≥4 (C)a≥5 5.已知命题
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) (B)a≤4 (D)a≤5

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p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数, p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数, 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:( p1)∨p2 和 q4:p1∧( p2)中,真命题是( (A)q1,q3 (C)q1,q4 (B)q2,q3 (D)q2,q4 )

6.(2013·邯郸模拟)给出以下命题: ①?x0∈R,sinx0+cosx0>1; ②?x∈R,x2-x+1>0; ③“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件. 其中正确命题的个数是( (A)0 (B)1 (C)2 ) (D)3

7.给出下列四个命题: ①?α ∈R,sinα +cosα >-1;
3 2 1 ③?α ∈R,sinα cosα ≤ ; 2

②?α ∈R,sinα +cosα = ;

④?α ∈R,sinα cosα = 其中正确命题的序号是( (A)①② (C)③④ 8.下列四个命题

3 . 4

)

(B)①③ (D)②④

p1:?x0∈(0,+∞), ( ) x ? ( ) x ;
0 0

1 2

1 3
3

p2:?x0∈(0,1), log 1 x 0 ? log 1 x 0;
2

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p3:?x∈(0,+∞),( )x> log 1 x ;
2

1 2

p4:?x∈(0, ),( 其中的真命题是( (A)p1,p3 (C)p2,p3

1 3

1 x ) < log 1 x . 2 3

) (B)p1,p4 (D)p2,p4 )

9.(2013·南昌模拟)下列说法中,不正确的是( (A)命题 p:?x∈R,sinx≤1,则 p:?x0∈R,sinx0>1

(B)在△ABC 中,“A>30°”是“sinA> ”的必要不充分条件 (C) 命题 p: 点 ( ,0) 为函数 f(x)=tan(2x+ ) 的一个对称中心 ; 命题 q: 如果 |a|=1,|b|=2,<a,b>=120°,那么 b 在 a 方向上的投影为 1,则( p)∨( q)为真命 题 (D)命题“在△ABC 中,若 sinA=sinB,则△ABC 为等腰三角形”的否命题为真命题 10.(能力挑战题)已知命题 P:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命题 Q:关于 x 的 函数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 P 或 Q 是真命题,P 且 Q 是假命题,则 实数 a 的取值范围是( (A)(-12,-4]∪[4,+∞) (C)(-∞,-12)∪(-4,4) 11.(能力挑战题)给出下列说法: ①命题“若α = ,则 sinα = ”的否命题是假命题; ②命题 p:?x0∈R,使 sinx0>1,则 p:?x∈R,sinx≤1; ③“ ? = +2kπ (k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+ ? )为偶函数”的充要条件;
-3-

1 2

? 8

? 4

) (B)[-12,-4]∪[4,+∞) (D)[-12,+∞)

? 6

1 2

? 2

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④命题 p:?x0∈(0,

? 1 ),使 sinx0+cosx0= ,命题 q:在△ABC 中,若 sinA>sinB, 2 2

则 A>B,那么命题( p)∧q 为真命题. 其中正确的个数是( (A)4 (B)3 (C)2 ) (D)1

二、填空题 12.命题“对任意 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是_______. 13. 命 题 p: 若 函 数 f(x)=sin(2x? ? ? )+1, 则 f( +x)=f( -x); 命 题 q: 函 数 6 3 3

g(x)=sin2x+1 可能是奇函数.则复合命题“p 或 q” “p 且 q” “非 q”中真命题的 个数为 .
5 2

14.(2013·黄冈模拟)设 p:?x0∈(1, )使函数 g(x0)=log2(tx02+2x0-2)有意义, 若 p 为假命题,则 t 的取值范围为 . ;它的否命

15.命题“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的否定是 题是 三、解答题 .

16.(能力挑战题)已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只 有一个实数 x0 满足不等式 x02+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取 值范围.

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答案解析
1.【解析】选 B.命题中“?”与“?”相对,则 p:?x0∈R,x0≤sinx0. 2.【解析】选 C.?(x,y)的否定是?(x,y),2x+3y+3<0 的否定是 2x+3y+3≥0, 故选 C. 3.【解析】选 D.不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,结合选项只有( p) ∨( q)为真命题. 4.【解析】选 C.满足命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的实数 a 即为不等 式 x2-a≤0 在[1,2]上恒成立的 a 的取值范围,即 a≥x2 在[1,2]上恒成立,即 a≥ 4,要求的是充分不必要条件,因此选项中满足 a>4 的即为所求,选项 C 符合要求. 【误区警示】这类题把“条件”放在选项中,即选项中的条件推出题干的结论, 但题干中的结论推不出选项中的条件.本题容易分不清这种关系而致误. 5.【解析】选 C.方法一:函数 y=2x-2-x 是一个增函数与一个减函数的差,故函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,p1 是真命题;
1 1 ln2=ln2×(2x- x ), x 2 2 1 x 当 x∈[0,+≦)时,2 ≥ x ,又 ln2>0,所以 y′≥0,函数单调递增;同理得当 x∈ 2

而对 p2:y′=2xln2-

(-≦,0)时,函数单调递减,故 p2 是假命题.由此可知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真. 方法二:p1 是真命题同方法一;由于 2x+2-x≥ 2 2x ? 2? x =2,故函数 y=2x+2-x 在 R 上存 在最小值,故这个函数一定不是 R 上的单调函数,故 p2 是假命题.由此可知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真. 6.【解析】选 D.由于 sinx+cosx= 2 sin(x+ )∈[- 2 , 2 ],所以一定存在实数 x0 使得 sinx0+cosx0>1,命题①正确;由于 x2-x+1=(x- )2+ >0 对任意实数 x 恒成 立,故命题②正确 ;当 x>1 时,|x|>1 一定成立,反之结论不真 ,故命题③正确.
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? 4

1 2

3 4

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7.【思路点拨】根据三角恒等变换公式首先化简三角函数式,使用三角函数的有 界性,然后根据命题是特称命题还是全称命题进行判断. 【解析】选 C.由于 sinα+cosα= 2 sin(α+ )∈[- 2 , 2 ],故命题①②均是 假命题;由于 sinαcosα= sin2α∈[- , ], 是真命题. 【变式备选】下列命题中是真命题的是( (A)?x0∈R,使得 sinx0cosx0= (B)?x0∈(-≦,0), 2 x >1
0

? 4

1 2

1 2

1 2

1 1 3 ∈[- , ],所以命题③④都 2 2 4

)

3 5

(C)?x∈R,x2≥x+1 (D)?x∈(0, ),tanx>sinx 【解析】选 D.当 x∈(0, ?
? )时,0<cosx<1,0<sinx<1, 2 ? 2

sin x >sinx,即 tanx>sinx. cos x

8.【思路点拨】根据全称命题为真的情况使用指数函数、对数函数的性质进行 判断.全称命题为假的情况只要找出反例 ,对特称命题为真的判断 ,只要找出一 个值使命题为真,特称命题为假的判断结合函数性质进行. 【解析】选 D.根据指数函数的性质,对?x∈(0,+≦),( )x>( )x,故命题 p1 是假 命题;由于 log 1 x ? log 1 x ?
2 3

1 2

1 3

lg x lg x lg x ? lg 2 ? lg 3? ,故对?x∈(0,1), log 1 x ? log 1 x , ? ? ?lg 2 ?lg 3 lg 2lg 3 2 3
1 2 1 2

故?x0∈(0,1), log 1 x 0 ? log 1 x 0 ,命题 p2 是真命题;当 x∈(0, )时,( )x<1, log 1 x >1,
2 3 2

故(
1 2

1 x 1 1 ) > log 1 x 不 成 立 , 命 题 p3 是 假 命 题 ; ? x ∈ (0, ),( )x<1, log 1 x >1, 故 2 3 2 2 3

( )x< log 1 x 恒成立,命题 p4 是真命题.故选 D.
3

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9.【解析】选 D.根据含有量词命题的否定方法,选项 A 中的结论正确;在△ABC 中,sinA> 时,30°<A<150°,可得 A>30°,但 A>30°时未必 sinA> ,如 A= 150°>30°,此时 sinA= ,故选项 B 中的结论正确;当 x= 时,2x+ = ,故点 ( ,0)是函数 f(x)=tan(2x+ )的对称中心,命题 p 是真命题,向量 b 在 a 方向上 的投影为|b|cos120°=-1,命题 q 是假命题,此时( p)∨( q)为真命题,选项 C 中 的结论正确;已知命题的否命题是“在△ABC 中,若 sinA≠sinB,则△ABC 不是等 腰三角形”,命题是假命题,如 A=90°,B=C=45°,选项 D 中的说法不正确. 10.【思路点拨】问题等价于命题 P 和 Q 一真一假,分类求解 a 的取值范围后求 其并集即可. 【解析】 选 C.命题 P 为真等价于Δ=a2-16≥0,解得 a≤-4 或 a≥4;命题 Q 为真等 价于- ≤3,a≥-12.P 或 Q 是真命题,P 且 Q 是假命题,则命题 P 和 Q 一真一假. 当 P 真 Q 假时 a<-12;当 Q 真 P 假时-4<a<4.故所求 a 的取值范围是(-≦,-12)∪ (-4,4). 11.【解析】选 B.①中命题的否命题是“若α≠ ,则 sinα≠ ”这个命题是假 命题,如α=
5? 1 时,sinα= ,故说法①正确;根据对含有量词的命题否定的方法, 6 2 ? 6 1 2 a 4 ? 8 ? 4 1 2 ? 8 ? 4 ? 2 1 2 1 2

说法②正确;说法③中函数 y=sin(2x+ ? )为偶函数?sin(-2x+ ? )=sin(2x+ ? )? cos ? sin2x=0 对任意 x 恒成立?cos ? =0? ? =kπ+ (k∈Z),所以 y=sin(2x+ ? ) 为偶函数的充要条件是 ? =kπ+ (k∈Z),说法③不正确;当 x∈(0,
? 2 ? )时,恒有 2 ? 2

sinx+cosx>1, 故命题 p 为假命题 , p 为真命题 , 根据正弦定理 sinA>sinB ? 2RsinA>2RsinB?a>b?A>B,命题 q 为真命题,故( p)∧q 为真命题,说法④正确. 12.【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题,直接写出命题的否定. 【解析】已知命题的否定是“?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3” .
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答案:?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3 13.【解析】代入易知命题 p 为真命题;g(0)=1≠0,故函数 g(x)不是奇函数,命题 q 为假命题. 所以“p 或 q” “非 q”为真命题. 答案:2
5 2 2 2 5 5 2 1 2 2 1 1 1 即 t> 2 ? 有属于(1, )的解.又 1<x< 时, < <1,所以 2 ? =2( ? )2- ∈ x x 2 2 5 x x x x 2 2 1 1 [- ,0).故 t>- . 2 2 1 答案:(- ,+≦) 2

14.【解析】 p 为假命题,则 p 为真命题,不等式 tx2+2x-2>0 有属于(1, )的解,

【变式备选】命题“?x0∈R,2x02-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 ————. 【解析】因为命题“?x0∈R,2x02-3ax0+9<0”为假命题,所以“?x∈R,2x2-3ax+9 ≥0”为真命题. ?Δ=9a2-4×2×9≤0,解得-2 2 ≤a≤2 2 . 答案:-2 2 ≤a≤2 2 15. 【解析】如果把末位数字是 0 或 5 的整数集合记为 M,则这个命题可以改写 为“?x∈M,x 能被 5 整除” ,因此这个命题的否定是“?x0∈M,x0 不能被 5 整 除” ,即“存在末位数字是 0 或 5 的整数不能被 5 整除” ;这个命题的条件是“末 位数是 0 或 5 的整数” ,结论是“这样的数能被 5 整除” ,故其否命题是“末位 数字不是 0 且不是 5 的整数不能被 5 整除” . 答案: 存在末位数字是 0 或 5 的整数不能被 5 整除 的整数不能被 5 整除
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末位数字不是 0 且不是 5

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16.【解析】由 2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0, ? x ? 或 x=-a, ?当命题 p 为真命题时,| |≤1 或|-a|≤1,?|a|≤2. 又“只有一个实数 x0 满足不等式 x02+2ax0+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ?Δ=4a2-8a=0,?a=0 或 a=2. ?当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ≧命题“p∨q”为假命题,?a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为 a>2 或 a<-2.
a 2 a 2

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