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《圆与方程》复习


《圆与方程》复习
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一. 【知识梳理】 1、圆心为 A(a,b) ,半径长为 r 的圆的标准方程为 2、点 P( x0 , y0 )与圆 (x ? a) ? (y ? b) ? r 的位置关系: (1)点 P 在圆外 (2)点 P 在圆上 (3)点 P 在圆内 3、当 其圆心为 ; ; 。

/>
时,方程 x 2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 叫做圆的一般方程, 、半径为
2 2

.

4、直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 (x ? a) ? (y ? b) ? r 2 (r>0)的位置关系判断方法: (1)几何方法:圆心(a,b)到直线 L : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B2

? 直线与圆相交; ? 直线与圆相切; ? 直线与圆相离。 ? Ax ? By ? C ? 0 (2) 代数方法: 由 ? 消元, 得到的一元二次方程的判别式为△, 2 2 2 ?(x ? a) ? (y ? b) ? r ? 直线与圆相交; ? 直线与圆相切; ? 直线与圆相离。
5、判断两圆位置关系的方法: (1)几何方法: 两圆 (x ? a1) 2 ? (y ? b1) 2 ? r12 (r1>0)与 (x ?a 2) 2 ?(y ? b) 2 (r2>0)的圆心距为 d,则 2 ? 两圆外离; ? 两圆内切;
2

2

? r

2 2

? 两圆外切; ? 两圆相交; 两圆内含. ? 2 2 ? x ? y ? D1x ? E1y ? F1 ? 0 (2)代数方法:方程组 ? 2 2 ? x ? y ? D2 x ? E 2 y ? F2 ? 0 有 ? 两圆相交;有 ? 两圆相切; ? 两圆相离或内含。
6.坐标法:用“坐标法”解答平面几何问题的“三部曲” : (1) (2) (3)

命题角度 1:求圆的方程
1.一个圆与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3y ? 0 上,且在直线 y ? x 上截得的弦长为 2 7 , 求此圆的方程。

命题角度 2:利用圆的方程解决实际问题
2.有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运 回的费用是:A 地每公里的运费是 B 地每公里运费的 3 倍。已知 A、B 两地距离为 10 公里, 顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是: 包括运费和价格的总费用较低。 求 P 地居民选 择 A 地或 B 地购货总费用相等时,点 P 所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的

居民应如何选择购物地点?

命题角度 3:与圆有关的最值问题
3. 已知实数 x、y 满足方程 x 2 ? y 2 ? 4x ? 1 ? 0. (1)求

y 的最大值和最小值; x

(2)求 y ? x 的最大值和最小值; (3)求 x 2 ? y 2 的最大值和最小值。

注意: 涉及与圆有关的最值, 可借助图形性质, 利用数形结合求解。 一般地: ①形如 ? ?

的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t ? ax ? by 的最值问题,可转化为动 直线截距的最值问题;③形如 m ? ( x ? a) ? ( y ? b) 的最值问题,可转化为两点间的距离
2 2

y ?b x?a

平方的最值问题等。

命题角度 4:与圆有关的轨迹问题
4. 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x 2 ? y 2 ? 36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足 ∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程。

(1)注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别; (2) “直接法”求轨迹方程:①建系、设点;②列方程、化简;③作答. (3) “相关点”求轨迹方程:① ;② ;③ (4)建立“直角坐标系”的一般原则:



命题角度 5:直线与圆相交问题
5.圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6y ? m ? 0 和直线 x ? 2y ? 3 ? 0 交于 P、 Q 两点, 若 OP⊥OQ (O 是原点) , 求 m 的值。

命题角度 6:圆的切线问题
6.点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆

(教材 P144B,T5) x 2 ? y 2 ? 4x ? 4y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在直线的方程。

命题角度 7:直线与圆的位置关系
7.已知圆 x 2 ? y 2 ? 6mx ? 2(m ? 1)y ? 10m 2 ? 2m ? 24 ? 0(m ? R). (1)求证:不论 m 为何值,圆心在同一直线 l 上; (2)与 l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离? (3)求证:任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得弦长相等。

注意: (1)如何求“弦长”?(2)如何求“两圆的公共弦方程”? (3)过一点如何求圆的切线方程、切线段的长? 8.已知圆

C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25, l : (2m ? 1)x ? ( m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 .

(1)试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论。 (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短?并指出 m 的值及相应的最值。

命题角度 8:圆与圆的位置关系
9. 试求与圆 C1 : (x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 外切,且与直线 x ? 3y ? 0 相切于点 Q(3, ? 3 )的 圆的方程。

命题角度 9:轨迹与轨迹方程 10.已知点 M ( x , y ) 与两个定点 M 1 , M 2 距离的比是一个正数 ? , 求点 M 的轨迹 方程,并说明轨迹是什么图形?(教材 P144B,T2 或 P124B,T3)

11.已知线段 AB 的端点 B 的坐标(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上运动,若 ???? ? ???? ? AM ? 3MB ,求点 M 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么?(教材 P122,例 5)

模拟试题
1、过圆 x 2 ? y 2 ? 4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点为 A、B,则△ABP 的外接圆 方程为 2、若过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? 2y ? k 2 ? 15 ? 0 相切,则实数 k 的取值范围是 3、圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2y ? C ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=90°,则 C 的值为 .

4、若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部 分图象有交点,则 k 的取值范围是 . .

5、圆 (x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线方程中有一个是

6、过点(1, 2 )的直线 l 将圆 (x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最 小时,直线 l 的斜率 k=_____________ 7、已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为___________。 8、在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 c ? 10,

cos A b 4 ? ? , P 为△ABC 的 cos B a 3

内切圆上的动点,则点 P 到顶点 A,B,C 的距离平方和的最大值与最小值分别为_________, ___________。 (教材 P133A,T8 或 P133B,T2)
2 9.直线 y ? x ? k 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是___________;

y ? 1? 4 ? x 2 有 两 个 公 共 点 , 则 k 的 取 值 范 围 是 2 2 ___________; 设点 P ( x , y ) 是圆 x ? ( y ? 1) ? 1上任一点, 若不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立, 则 c 的取值范围是___________;
直 线 y ? k( x ? 2 ) ? 4 与曲线
2 2 1 10. 圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 到 直 线 3x ? 4y ? 1 ? 2 2 2

0 的距离等于 1 的点个数有

___________;若圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? r 上有且只有 2 个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 的距离等 于 1,则半径 r 的取值范围是___________; ? APB ? __________; 11.过 P (2, 3) 向圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 8 引切线,则切线方程是 ___________;切线长为
2 2

___________;若 A,B 是两个切点,则直线 AB 的方程是___________; 12.过 P (1, 2) 总可以作两条直线与圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 15 ? 0 相切, 则实数 k 的取
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值范围是___________;

?x ? cos ? 13、曲线 C: ? (?为参数) 的普通方程是____________,如果曲线 C 与直线 ?y ? ?1 ? sin ?

x ? y ? a ? 0 有公共点,那么实数 a 的取值范围是___________。
14.方程 x 4 ? y 4 ? 4x 2 ? 4 y 2 ? 0 表示的图形是___________。 15.圆 x 2 ? y 2 ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? a 2 sin2 ? ? 0 在 x 轴上截得的弦长为___________。 16.由直线 y ? x ? 2, y ? ?x ? 4 及 x 轴围成的三角形的内切圆的圆心坐标是___________; 其内切圆方程是___________。 17、设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1。在满 足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程。

18、已知定点 A(0,1) ,B(0,-1) ,C(1,0) ,动点 P 满足 AP ? BP ? k | PC | 2 . (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (2)当 k ? 2 时,求 | 2AP ? BP | 的最大值和最小值。

19.已知圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 , (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求 切线的方程。 (2) 从圆外 P ( x , y ) 向圆引切线 PM,M 是切点, O 为坐标原点, 且有 求使

PM ? PO ,

PM 最小时点 P 的坐标。

20、已知圆 C: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ,直线 l: mx ? y ? 1 ? m ? 0. (1)求证:对 m?R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设 l 与圆 C 交于 A、B 两点,若 | AB |? 17 ,求 l 的倾斜角; (3)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程; (4)若定点 P(1,1)分弦 AB 为

AP 1 ? ,求此时直线 l 的方程。 PB 2

, b ?1,O 为坐标原点, 21.已知圆 x ? y ? 2x ? 2y ?1? 0 ,点 A(2a ,0), B(0,2b), a ?1
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(1)当圆与直线 AB 相切时,求线段 AB 中点的轨迹方程; (2)当圆与直线 AB 相切且 ?AB 0 面积最小时,求 AB 的方程及面积的最小值。


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