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2014年高中数学(入门答疑+思维启迪+状元随笔)1.2.2 函数的表示法第1课时同步课堂讲义课件 新人教A版必修1


1.2.2 函数的表示法

某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公 里按5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里,设里程为y,票价 为 x, [问题1] x与y是否具有函数关系? [问题2] 函数的定义域和值域各是什么? [问题3] x与y之间有何

特点?

[提示] 设票价为 y 元, 里程为 x 公里, x 与 y 具有函数关系, 由题意可知,自变量的取值范 围是(0,20],值域为 {2,3,4,5}, 由票价制定规则,可得到以下 函数解析式:
?2, 0<x≤ 5, ? ?3, 5<x≤ 10, y=? ?4, 10<x≤ 15, ? ?5, 15<x≤ 20.

1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、 列表法.(重点) 2.会求函数解析式,并正确画出函数的图象.(难 点、易错点) 3.掌握简单的分段函数,并能简单应用.(重点) 4.了解映射概念及它与函数的联系.(难点、易混 点)

函数的表示法

函数的三种表示方法的优缺点比较

分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间 ,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分 段函数.

理解分段函数应注意的问题 (1)研究分段函数的性质时,应根据“先分后合”的 原则,尤其是在作分段函数的图象时,可先将各段 的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象. (2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其 值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间端 点需不重不漏. (3)求分段函数的函数值时,关键是看自变量的取值 属于哪一段,就用哪一段的解析式.

映射
映射 非空 集合,如果按某一个确 设 A、B 是两个________ 任意 对应关系 ,使对于集合 A 中的________ 定的____________ 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y f:A→B 为从集合 A 与之对应,那么就称对应__________ 到集合 B 的一个映射.

映射的特征 (1)任意性:A 中任意元素 x 在 B 中都有元素 y 与之 对应,如图 (1)所示的对应不是映射; (2)唯一性:A 中任意元素 x 在 B 中都有唯一元素 y 与之对应,如图 (2)所示的对应不是映射; (3)方向性: f: A→B 与 f: B→A 一般是不同的映射, 如图(3)与图 (4)所示的对应不是同一映射.

1.已知 f(x)是反比例函数,且 f(-3)=-1,则 f(x) 的解析式为( ) 3 3 A.f(x)=- B.f(x)= x x C.f(x)=3x D.f(x)=-3x

k 解析: 设 f(x)= , x k 由 f(3)=- 1 得 =-1,∴k=3. -3 3 ∴ f(x)= . x 答案: B

?x2, x<0 2.下列图形是函数 y=? 的图象的是 ?x- 1, x≥0

(

)

解析: 由于f(0)=0-1=-1,所以函数图象 过点(0,-1);当x<0时,y=x2,则函数是开口 向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有图形 C符合. 答案: C

?3x,-1≤x≤1 3.已知函数 f(x)=? 2 ,则 ?x -4x+6,1<x<5

f(f(1))________.

解析: 因为1∈[-1,1],所以f(1)=3×1=3.又 3∈(1,5),所以f(3)=32-4×3+6=3.即f(f(1))=3. 答案: 3

4. 下面 8 个对应, 其中哪些是集合 A 到 B 的映射?

解析: 答案:

紧扣映射的定义. (2)(4)(5)(6)(8)

第1课时

函数的三种表示法

换元法求函数解析式 求下列函数解析式.
(1)已知 f(2x-1)=x2+x+1,求 f(x); (2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x). [思路点拨] (1)将变量式 2x-1 以 t 来替换,按此规 则将 x2+x+1 以 t 表示出来即可.
(2) 令 x+1=t → x=?t-1?2 → 求f?t? → 改写成f?x?

t+ 1 (1)设 2x-1= t,则 x= 2分 2 ? ? t+ 1 t + 1 ? ?2 ∴ f(t)=? +1 ? + 2 ? 2 ? 2 t 7 = + t+ 4 分 4 4 1 2 7 即 f(x)= x +x+ .6 分 4 4

(2)方法一(换元法):令 x+ 1=t(t≥1), 则 x=(t- 1)2, 8 分 ∴ f(t)= (t- 1)2+2 ?t- 1?2= t2-1, 10 分 ∴ f(x)= x2-1(x≥1).12 分 方法二(配凑法 ): ∵x+2 x= ( x+1)2- 1, 8 分 ∴ f( x+ 1)= ( x+1)2- 1.10 分 又∵ x+1≥1,∴ f(x)= x2-1(x≥1).12 分

换元法就是直接将式子左边括号内的表达式换作 字母“t”,然后从中解出x,代入原式中,求出 关于“t”的函数关系式,即为所求的函数解析式, 这种方法要注意自变量取值范围的变化情况,否 则易弄错函数定义域. ,

1.(1)已知 g(x-1)=2x+6,则 g(3)=________. (2)已知 f(x-1)=(x-1)2,则 f(x)的解析式为 ________. ?1 ? x ? ? (3)已知 f? ?= 2,求 f(x). ?x ? 1- x

解析: (1)方法一:∵g(x-1)= 2x+6, 令 x-1= t,则 x= t+1, ∴g(t)= 2(t+ 1)+6=2t+ 8,即 g(x)= 2x+8, ∴g(3)= 2×3+8=14. 方法二:∵g(x-1)= 2x+6, ∴g(3)= g(4-1)= 2×4+6=14. (2)设 x-1= t,则 x= t+1 ∴ f(t)= t2,即 f(x)= x2.

?1 ? 1 1 x ? ? (3)方法一: 设 t= , 则 x= (t≠0), 代入 f? ?= , x t ?x ? 1-x2 1 t t 得 f(t)= ?1? = t2- 1, ? ?2 1-? ? ?t? x 故 f(x)= 2 (x≠0 且 x≠± 1). x -1 1 ?1 ? x x ? ? 方法二:∵f? ?= , 2=? ? ?x ? 1-x ?1?2 ? ? -1 ?x ? x ∴f(x)= 2 (x≠0 且 x≠± 1). x -1

答案:

(1)14

(2)f(x)=x2

待定系数法求函数解析式
已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)- f(x)=2x,求f(x)的解析式. [思路点拨] 先设出f(x)的解析式,代入列出方程 ,求得待定系数.

设所求的二次函数为 f(x)= ax2+bx+ c(a≠0). ∵ f(0)= 1,∴c=1, 2 则 f(x)= ax +bx+1. 又∵f(x+ 1)- f(x)= 2x, ∴a(x+1)2+ b(x+1)+ 1- (ax2+bx+1)= 2x. 即 2ax+a+b=2x, ?2a= 2 ?a= 1 由恒等式性质,得? ,∴? . ?a+ b= 0 ?b=- 1 ∴所求二次函数为 f(x)= x2-x+1.

待定系数法是求函数解析式的常用方法: 若已知函数类型,可用待定系数法求解,若f(x) 是一次函数,可设f(x)=kx+b(k≠0),若f(x)是二 次函数,可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),然后利用 题目中的已知条件,列出待定系数的方程组,进 而求出待定的系数.

2.(1)一次函数 y=f(x),f(1)= 1 , f(- 1)=- 3, 则 f(3)=________. (2)已知函数 f(x)=x2,g(x)为一次函数,且一次 项系数大于零, 若 f(g(x))=4x2-20x+25, 则 g(x) 的表达式为________.

解析: (1)设一次函数 f(x)= ax+b(a≠0), ∵ f(1)= 1, f(-1)=-3, ?a+ b= 1 ?a= 2 ∴? ,解得? . ?- a+ b=- 3 ?b=- 1 ∴ f(x)= 2x- 1, ∴ f(3)= 2×3-1=5. (2)由 g(x)为一次函数,设 g(x)= ax+b(a>0), ∵ f(g(x))=4x2-20x+ 25, ∴ (ax+b)2= 4x2-20x+25, 2 2 2 2 即 a x +2abx+ b =4x - 20x+25, 解得 a=2,b=-5,故 g(x)= 2x-5, (x∈R). 答案: (1)5 (2)g(x)=2x-5(x∈R)

函数图象的作法
作出下列函数的图象: (1)y=1+x(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈[0,3)); 1 (3)y= . x [思路点拨] (1)函数的定义域是整数集,因此函数 的图象是一些点;(2)只需画出二次函数在区间[0,3) 上的图象即可;(3)根据函数解析式,函数是反比 例函数.

解析: (1)这个函数的图象由一些点组成,这些点 都在直线 y=1+ x 上,如图(1)所示. (2)因为 0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线 y =x2-2x 介于 0≤x<3 之间的一部分, 如图(2)所示. (3)函数图象如图 (3)所示.

作函数图象时应注意的事项: (1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定 义域内作图; (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用 虚线来衬托整个图象; (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、 与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点 还是空心点.

3.画出下列函数的图象: (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y=x2-2x(-1≤x<2).

解析: (1)当 x= 0 时,y=1; 当 x=2 时, y=5. 所画图象如图 1 所示.

(2)y= x2-2x= (x-1)2- 1, 当 x=-1 时,y=3. 当 x=0 时, y=0. 当 x=1 时, y=-1. 当 x=2 时, y=0.所画图象如图 2 所示.

◎已知f(x2+2)=x4+4x2,求f(x)的解析式. 【错解】 ∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 设t=x2+2,则f(t)=t2-4.∴f(x)=x2-4.

【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定 义域.上面的解法,似乎是无懈可击,然而从其结 论,即f(x)=x2-4来看,并未注明f(x)的定义域, 那么按一般理解,就应认为其定义域是全体实 数.但是f(x)=x2-4的定义域不是全体实数. 事实上,任何一个函数都由定义域、值域和对应关 系f三要素组成.所以,当函数f(g(x))一旦给出,则 其对应关系f就已确定并不可改变,那么f的“管辖 范围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此,我们 由f(g(x))求f(x)时,求得的f(x)的定义域就理应与 f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥.

【正解】 ∵f(x2+ 2)=x4+ 4x 2= (x 2+ 2)2- 4, 令 t=x2+ 2(t≥2), 2 则 f(t)= t - 4(t≥2), ∴ f(x)= x2-4(x≥2).


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