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导数题型分析及经典例题


导数题型分析即经典例题
1. 导数 (导函数的简称) 的定义: 设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点, 如果自变量 x 在 x 0 处 有 增 量 ?x , 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ; 比 值
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函

数 y ? f ( x) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化率;如果极限 ? ?x ?x
?x?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在,则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,并把这个极限叫 ? lim ? x ? 0 ?x ?x

做 y ? f ( x) 在 x 0
lim

处 的 导 数 , 记 作

f ' ( x0 )

或 y ' | x? x0

, 即

f ' ( x0 )

=

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

注:① ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零. ②以知函数 y ? f ( x) 定义域为 A , y ? f ' ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B . 例 1、已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限: (1) lim

?h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim ?h ?0 2h h

2. 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系: ⑴ 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续是 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,那么 y ? f ( x) 点 x 0 处连续. 事实上,令 x ? x 0 ? ?x ,则 x ? x 0 相当于 ?x ? 0 . 于是 lim f ( x) ? lim f ( x 0 ? ?x) ? lim [ f ( x ? x 0 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 0 )]
x ? x0 ?x ?0 ?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ? f ( x0 )] ? lim ? lim ? lim f ( x0 ) ? f ' ( x0 ) ? 0 ? f ( x0 ) ? f ( x0 ). ? x ? 0 ?x?0 ?x?0 ?x ?x ⑵ 如果 y ? f ( x) 点 x 0 处连续,那么 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,是不成立的. ? lim[
?x?0

例: f ( x) ?| x | 在点 x 0 ? 0 处连续,但在点 x 0 ? 0 处不可导,因为
?y ?y ?y 不存在. ? 1 ;当 ?x <0 时, ? ?1 ,故 lim ?x ?0 ?x ?x ?x

?y | ?x | ,当 ?x >0 时, ? ?x ?x

注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

?x 2 例 2、 y ? f ( x) ? ? ?ax ? b

x ?1 x ?1

在 x ? 1 处可导,则 a ?

b?

3. 导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率, 也 就 是 说 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P ( x 0 , f ( x)) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ' ( x0 ) , 切 线 方 程 为
y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ).

例 3、已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 ( )

4. 求导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

5. 复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 6. 函数单调性: (1) 函数单调性的判定方法: 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ' ( x) >0, 则 y ? f ( x) 为增函数;如果 f ' ( x) <0,则 y ? f ( x) 为减函数. (2)凹凸函数判定:
y ? f ( x)

的二阶导数大于 0 为凹函数,二阶导数小于 0 为凸函数。

利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间; 解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递减区间. 7. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值,极小值同理) 当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值;

② 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进 行比较.注:函数的极值点一定有意义. 例 4、求函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

1 2 x 在[0,2]上的最大值和最小值. 4

例 5、设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? a),(a ? 1) (1)求导数 f / ( x) ; 并证明 f ( x ) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ; (2)若不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 例 6、求证: y ? x3 ? 1 在 ( ??, 0) 上是增函数。 例 7、确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 9. 几种常见的函数导数: I. C ' ? 0 ( C 为常数)

(sin x) ' ? cos x

(arcsin x) ' ?

1 1? x 2

( x n ) ' ? nxn?1 ( n ? R )

(cos x) ' ? ? sin x

(arccos x) ' ? ?

1 1? x 2

II. (ln x) ' ?

1 x

(loga x) ' ?

1 loga e x

(arctan x) ' ?

1 x ?1
1 x ?1
2

2

(e x ) ' ? e x

(a x ) ' ? a x ln a

(arccot x) ' ? ?

导数中的切线问题
例题 1:已知切点,求曲线的切线方程
, ? 1) 处的切线方程为( 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1



例题 2:已知斜率,求曲线的切线方程 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( 例题 3:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
, ? 1) 的切线方程. 求过曲线 y ? x3 ? 2 x 上的点 (1



例题 4:已知过曲线外一点,求切线方程 1 0) 且与曲线 y ? 相切的直线方程. 求过点 (2, x

函数图象及其导函数图象
注:解决此类题目主要是看导数的定义及几何意义!不要是还要考虑导数的变化情况! y 例 1.已知函数 f ( x)的导函数 f ? ( x)? ax2 ? bx ? c 的图象如右图, 则 f ( x)的图象可能是( y ) y y x o x o x o y o x o x

C B D A 例 2.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下左图所示,则导函数 y=f ?(x)的图象可能为 ( )

导数中的含参问题
例1.已知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x 在区间 (a, 2a ? 1) 上单调递减,求则 a 的取值范围 小结: 一个重要结论: 设函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内可导.若函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内单调递增 (减) , 则有 f ' ( x) ? 0( f ' ( x) ? 0) . 方法 1:运用分离参数法,如参数可分离,则分离参数→构造函数 g ( x) (可将有意义的端 点改为闭)→求 g ( x) 的最值→得参数的范围。 方法 2:如参数不方便分离,而 f ' ( x) 是二次函数,用根的分布: ①若 f ' ( x) ? 0 的两根容易求,则求根,考虑根的位置 ②若 f ( x) ? 0 不确定有根或两根不容易求,一定要考虑△和 f (a) f (b) 有时还要考虑
' ' '

对称轴
2 例 2.已知函数 f ( x ) ? x ?

a x

( x ? 0 ,常数 a ? R ) .若 f ( x) 在 x ? [ 2, ? ? ) 上为增函数,

求 a 的取值范围.

例 3.已知向量 a ? ( x2 , x ? 1), b ? (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函数, 求 t 的取值范围.

?

?

? ?

证明问题
例1. 例2. 求证 x ? 0 时, ln x ? x ? 1

x?

x2 x2 x ? (0 , ? ?) (相减) ? ln(1 ? x) ? x ? 2 2(1 ? x)
2x

例3. 例4. 例5.

sin x ?

?

x ? (0 ,

?
2

) (相除)

1 x ?1 1 ? ln ? ; x ?1 x x 1 1 1 1 1 已知: n ? N且n ? 2 ,求证: ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 。 2 3 n 2 n ?1
已知: x ? (0 ? ?) ,求证

综合问题
例 1.已知函数 f ( x ) ?

ax 在 x ? 1 处取得极值 2. x ?b
2

(1)求函数 f ( x) 的表达式;(2)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调 递增? 例 2.设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ? 例 3.已知函数 f ( x) ? x ?

1 ? 2 In2 4

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

2 例 4. 设 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处 取 得 极 值 , 且 曲 线 y ? f ( x) 在 点

(Ⅰ) 求 a , b 的值; (Ⅱ) 若函数 g ( x) ? (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 讨论 g ( x) 的单调性.

ex , f ( x)

例 5.已知函数 f ( x) ? x ln x ( . Ⅰ) 求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ) 若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 , 求实数 a 的取值范围.
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