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高二数学 随机事件的概率(一)


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高二数学 随机事件的概率(一)
问题提出 1. 日常生活中,有些问题是能够准确回答的. 例如: 明天太阳一定从东方升起吗? 明天上午第一节课一定是八点钟上课吗? 这些事情的发生都是必然的. 2.从辨证的观点看问题,事情发生的偶然性与必然性之间往往存在有某种内在联系. 例如: 长沙地区一年四季的变化有

着确定的、必然的规律,但长沙地区一年里哪一天最热,哪一天最 冷,哪一天降雨量最大,那一天下第一场雪等,都是不确定的、偶然的. 3.数学理论的建立, 往往来自于解决实际问题的需要.对于事情发生的必然性与偶然性, 及偶然 性事情发生的可能性有多大,我们将从数学的角度进行分析与探究. 知识探究(一) :必然事件、不可能事件和随机事件 思考 1:考察下列事件: (1)导体通电时发热; (2)向上抛出的石头会下落; (3)在标准大气压下水温升高到 100°C 会沸腾. 这些事件就其发生与否有什么共同特点? 思考 2:我们把上述事件叫做必然事件,你指出必然事件的一般含义吗? 在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件. 你能列举一些必然事件的实例吗? 思考 3:考察下列事件: (1)在没有水分的真空中种子发芽; (2)在常温常压下钢铁融化; (3)服用一种药物使人永远年轻. 这些事件就其发生与否有什么共同特点? 思考 4:我们把上述事件叫做不可能事件,能指出不可能事件的一般含义吗? 在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件 你能列举一些不可能事件的实例吗? 思考 5:考察下列事件: (1)某人射击一次命中目标; (2)马林能夺取北京奥运会男子乒乓球单打冠军; (3)抛掷一个骰字出现的点数为偶数. 这些事件 就其发生与否有什么共同特点? 思考 6:我们把上述事件叫做随机事件,你指出随机事件的一般含义吗? 在条件 S 下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件.
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你能列举一些随机事件的实例吗? 归纳:

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必然事件和不可能事件统称为确定事件, 确定事件和随机事件统称为事件, 一般用大写字母 A, B,C,?表示. 思考 7:对于事件 A,能否通过改变条件,使事件 A 在这个条件下是确定事件,在另一条件下 是随机事件? 你能举例说明吗? 知识探究(二) :事件 A 发生的频率与概率 物体的大小常用质量、 体积等来度量, 学习水平的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件, 它发生的可能性有多大,我们也希望用一个数量来反映. 思考 1:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,若某一事件 A 出现的次数为 nA,则称 nA 为事件 A 出现的频数,那么事件 A 出现的频率 fn(A)等于什么?频率的取值范围是什么?

f n ( A) ?

nA n

[0,1]

思考 2:历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验,结果如下表所示
抛掷次数 2 048 4 040 12 000 24 000 30 000 72 088 正面向上次数 1 061 2 048 6 019 12 012 14 984 36 124 频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011

在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的频率的稳定值为多少? 思考 3:某农科所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行了大量重复试验,结果如下表所 示:
130 310 700 1500 2000 3000 每批粒 2 5 10 70 数 116 282 639 1339 1806 2715 发芽的 2 4 9 60 粒数 发芽的 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 频率

在上述油菜籽发芽的试验中,每批油菜籽发芽的频率的稳定值为多少?0.9 思考 4:上述试验表明,随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试 验后,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率呈现出一定的规律性,这个规律性是如何体 现出来的? 事件 A 发生的频率较稳定,在某个常数附近摆动. 思考 5:既然随机事件 A 在大量重复试验中发生的频率 fn(A)趋于稳定,在某个常数附近摆动,
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那我们就可以用这个常数来度量事件 A 发生的可能性的大小,并把这个常数叫做事件 A 发生 的概率,记作 P(A).那么在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的概率是多少?在上述油 菜籽发芽的试验中,油菜籽发芽的概率是多少? 思考 6:在实际问题中,随机事件 A 发生的概率往往是未知的(如在一定条件下射击命中目标 的概率) ,你如何得到事件 A 发生的概率? 通过大量重复试验得到事件 A 发生的频率的稳定值,即概率. 思考 7:在相同条件下,事件 A 在先后两次试验中发生的频率 fn(A)是否一定相等?事件 A 在 先后两次试验中发生的概率 P(A)是否一定相等? 频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事件 A 发生的频率可能不相同;概率是一个确定 的数,是客观存在的,与每次试验无关. 思考 8:必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少?概率的取值范围是什么? 思考 9:概率为 1 的事件是否一定发生?概率为 0 的事件是否一定不发生? 思考 10:怎样理解“4 月 3 号长沙地区的降水概率为 0.6”的含义? 例题讲解 例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1)如果 a>b,那么 a 一 b>0; (2)在标准大气压下且温度低于 0°C 时,冰融化; (3)从分别标有数字 l,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签; (4)某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫; (5)手电筒的的电池没电,灯泡发亮; (6)随机选取一个实数 x,得|x|≥0.

例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:

射击次数n 击中靶心次数m 击中靶心的频率
m n

10 8

20 50 100 200 500 19 44 92 178 455

0.8 0.95 0.880.92 0.89 0.91

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?

课堂小结 1. 概率是频率的稳定值,根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值. 2. 随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数
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的增加,事件 A 发生的频率逐渐稳定在区间

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[0,1]内的某个常数上(即事件 A 的概率) ,这个常数越接近于 1,事件 A 发生的概率就越大, 也就是事件 A 发生的可能性就越大;反之,概率越接近于 0,事件 A 发生的可能性就越小.因 此,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量. 3. 任何事件的概率是 0~1 之间的一个确定的数,小概率(接近 0)事件很少发生,大概率(接 近 1)事件则经常发生,知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策. 作业: 《习案》 :作业二十九

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