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江苏省盐城市2013届高三第二次模拟考试数学试题 Word版含答案


江苏省盐城市 2013 届高三 3 月第二次模拟考试 数学试卷
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分。不需写出解题过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上。 ⒈若集合 A ? {1, m ? 2} ,且 A ? B ? {2} ,则实数 m 的值为 ⒉若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2 (

为虚数单位) ,则 z ? 。 。

⒊现有在外观上没有区别的 5 件产品,其中 3 件合格,2 件不合格, 从中任意抽检 2 件,则一件合格,另一件不合格的概率为 。 ⒋已知正六棱锥的底面边长是 3,侧棱长为 5,则该正六棱锥的体积 是 。 ⒌若 e1 , e2 是两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 ,b ? 5e1 ? 4e2 ,且 a ⊥

b ,则 e1 , e2 的夹角为
? ?

。 。 。

⒍如图,该程序运行后输出的结果为 ⒎函数 f ( x) ? 2 sin ? x ?

??

? , x ? ?? ? ,0? 的单调递增区间为 4?

2 ⒏ 若 等 比 数 列 ?a n ? 满 足 a m ?3 ? 4 且 a m a m ? 4 ? a 4 ( m ? N * 且 m ? 4 ) 则 a1 a5 的 值 ,





⒐过点 ( 2,3) 且与直线 l1 : y ? 0 和 l 2 : y ?

3 x 都相切的所有圆的半径之和为 4
2 2



⒑设函数 y ? f (x) 满足对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 9 。已知当

? 2013 ? x ? [0,1] 时,有 f ( x) ? 2 ? 4 x ? 2 ,则 f ? ? 的值为 ? 6 ?
⒒椭圆



x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F,直线 x ? m 与椭圆相交于 A,B 两点,若 a2 b2


?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积为 ab ,则椭圆的离心率为

⒓定 义运算 , 则关于非零实 数 x 的不等 式 为 。 ⒔若点 G 为 ?ABC 的重心,且 AG⊥BG,则 sin C 的最大值为 ⒕若实数 a 、 b 、 c 、 d 满足

的解 集 。

a 2 ? 2 ln a 3c ? 4 ? ? 1 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值 b d

为 。 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。 ⒖(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 4 sin x cos? x ? ⑴求 f (x) 的最小正周期; ⑵求 f (x) 在区间 ??

? ?

??

?? 3。 3?

? ? ?? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值。 , ? 4 6? ?

⒗(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E 为的 PC 中点。 ⑴求证:PA∥平面 BDE; ⑵求证:平面 PBC⊥平面 PDC。

⒘(本小题满分 14 分)如图,在海岸线一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游 客,在上设立了 A、B 两个报名点,满足 A、B、C 中任意两点间的距离为 10 千米。公司拟 按以下思路运作:先将 A、B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的 中转点 D 处 (点 D 异于 A、 两点) 然后乘同一艘游轮前往 C 岛。 B , 据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车 每千米耗费 2 元,游轮每千米耗费 12 元。设∠ CDA ? ? ,每批 游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本 S 元。 ⑴写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; ⑵问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

x2 y2 3 ⒙(本小题满分 16 分)如图,圆 O 与离心率为 的椭圆 T: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 a b
相切于点 M (0,1) 。 ⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程; ⑵过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l 2 与两曲线分别交 于点 A、C 与点 B、D(均不重合) 。 ①若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1 、

d 2 ,求 d12 ? d 22 的最大值;
②若 3MA ? MC ? 4 MB ? MD ,求 l1 与 l 2 的方程。

⒚(本小题满分 16 分)设函数 f n ( x) ? ? x n ? 3ax ? b ( n ? N * , a, b ? R ) 。 ⑴若 a ? b ? 1 ,求 f 3 ( x) 在 ?0,2? 上的最大值和最小值; ⑵若对任意 x1 , x 2 ? [?1,1] ,都有 f 3 ( x1 ) ? f 3 ( x 2 ) ? 1 ,求 a 的取值范围; ⑶若 f 4 ( x) 在 [?1,1] 上的最大值为

1 ,求 a, b 的值。 2

⒛(本小题满分 16 分)设 S n 是各项均为非零实数的数列 ?a n ? 的前 n 项和,给出如下两个 命题上: 命题 p : ?a n ? 是等差数列;命题 q :等式 ( n ? N * )恒成立,其中 k, b 是常数。 ⑴若 p 是 q 的充分条件,求 k, b 的值; ⑵对于⑴中的 k 与 b ,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由; ⑶ 若 p 为 真 命 题 , 对 于 给 定 的 正 整 数 n ( n ? 1 ) 和 正 数 M , 数 列 ?a n ? 满 足 条 件
2 a12 ? a n ?1 ? M ,试求 S n 的最大值。

1 1 1 kn ? b 对任意 n ? ??? ? a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 a1 a n ?1

盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试 数学附加部分 (本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21.[选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分。请把答案写 在答题纸的指定区域内。 A. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,AB 是⊙O 的直径,C、E 为⊙O 上的点,且 CA 平分∠BAE,DC 是⊙O 的切线,交 AE 的延长线于点 D。求证:CD⊥AE。

B. (选修 4-2:矩阵与变换) 求曲 线 2 x ? 2 xy ? 1 ? 0 在矩 阵 MN 对应的变 换作用下得 到的曲线方 程,其中
2

?1 0 ? ?1 0? M ?? ? , N ? ?? 1 1 ? 。 ?0 2 ? ? ?

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 ? y ? sin ? ? 2

立极坐标系,直线的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ,求直线截圆 C 所得的弦长。

D. (选修 4-5:不等式选讲) 若 x ???

? 1 2? , ? ,证明 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 x ? 3 2 ? 2 3?

[必做题]第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分。请把答案写在答题纸的指定区域内。 22. (本小题满分 10 分) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 4,D 为的 CC1 中点。 (1)求证: AB1 ⊥平面 A1 BD ; (2)求二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值。

23. (本小题满分 10 分)
n 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ?1 ? (n ? 1) 。

(1)证明: a n ? n ( n ? 3 ) ; (2)证明: 2 ? 3 ? 4 4 ? ? ? n n ? 2 。
3

盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. 4 8.16 9. 42 14. 10. 2. 2 3.

3 5
11.

4. 18 3

5.

2? 3

6. 16

7. ? ? , 0 ? ? 4 ?

? ?

?

5

2 2

12.

? ??, 0 ? ? ? 0, ?
?

1? ? ? ? 2, ?? ? 2?

13.

3 5

2 2 ?1 ? ln 2 ? 5

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明, 计 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15 . 解 : ( Ⅰ )

? ?? ? f ? x ? ? 4sin x ? cos x cos ? sin x sin ? ? 3 ? 2sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 3 3? ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ……………………………………2 分 ?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? …………………………………………………………4 分 3? ? 2? 所以 T ? ? ? ………………………………………………7 分 2 ? ? ? ? 2? (Ⅱ )因为 ? ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? …………………………9 分 4 6 6 3 3 ? ? ? 1 ?? ? 所 以 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 所 以 ?1 ? f ? x ? ? 2 , 当 2 x ? ? ? , 即 x ? ? 时 , 3 6 4 2 3? ? f ? x ?min ? ?1 ,
当 2x ?

?

3

?

?

2

,即x ?

?

12

时, f ? x ?min ? 2 ,…………………………14 分

16.证明(1)连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO, PO ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ O 是 AC 中点, ……………………………2 分

又 E 为 PC 中点.∴ PA ∥ EO …………………………………………4 分 又 EO ? 面BDE , PA ? 面BDE ∴ PA ∥平面 BDE ……………………………7 分 (2)在△ PAC 中,易得 AO ? CO ? PO ? 3 ∴ ?APC ? 90 ? ,∴ PC ? 2 2 ………9 分
∴在△ PDC 中可求得 DE ?

2 ,同理在△ PBC 中可求得 BE ? 2

∴在△ BDE 中可得 ?BED ? 90 ? ,即 BE ⊥ DE ………………………11 分 又 PB ? BC , E 为 PC 中点, ∴ BE ⊥ PC …………………………12 分

BE ⊥面 PDC ,又 BE ? 面 PBC ∴平面 PBC ? 平面 PDC ……………………14 分

17.解: (1)由题在 ?ACD 中, ?CAD ? 由 正 弦 定 理 知

?
3

, ?ADC ?

?
3

, AC ? 10, ?ACD ?

2? ?? . 3
, 得

CD sin

?
3

?

AD 10 ? ? 2? ? sin ? sin ? ?? ? ? 3 ?

? 2? ? 60 3 ? 40sin ? ?? ? ? 3 ? ? 80 ? S ? 4 AD ? 8 BD ? 12CD ? 12CD ? 4 AD ? 80 ? sin ? 3 ? cos ? ? 2? ? ? ? 20 3 ? 60 ? ? x ? ? ………………………………………………………… sin ? 3 ? ?3
…………7 分

? 2? ? 10 sin? ?? ? 5 3 ? 3 ? ……………3 分 CD ? , AD ? sin ? sin

1 ? 3cos ? 1 ,令 S ' ? 0 ,得 cos ? ? ………………………………10 分 2 sin ? 3 1 1 1 当 cos ? ? 时 , S ' ? 0 ; 当 cos ? ? 时 , S ' ? 0 , ? 当 cos ? ? 时 S 取 得 最 小 3 3 3
(2) S ' ? 20 3 值………………12 分

2 2 5 3 cos ? ? 5sin ? 5 6 , , AD ? ? 5? 3 sin ? 4 20 ? 5 6 千米时,运输成本 S 最小…………………………14 分 ? 中转站距 A 处 4
此时 sin ? ? 18.解: (1)由题意知:

c 3 ? , b ? 1, c 2 ? b 2 ? a 2 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 可知: a 2

x2 椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 与圆 O 的方程 x 2 ? y 2 ? 1 ……………………………4 分 4
2 2 (2)设 P ( x 0 , y 0 ) 因为 l1 ⊥ l 2 ,则 d12 ? d 2 ? PM 2 ? x 0 ? ( y 0 ? 1) 2 因为

2 x0 2 ? y0 ? 1 4

2 2 所以 d12 ? d 2 ? 4 ? 4 y 0 ? ( y 0 ? 1) 2 ? ?3( y 0 ? ) 2 ?

因 为 ? 1 ? y0 ? 1

16 ,……………………………7 分 3 1 16 2 2 所 以 当 y 0 ? ? 时 d1 ? d 2 取 得 最 大 值 为 ,此时点 3 3

1 3

P(?

4 2 1 ,? ) …………9 分 3 3

(3)设 l1 的方程为 y ? kx ? 1 ,由 ?

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? y ? 1

解得 A(?

2k 1 ? k 2 , ); k 2 ?1 1? k 2

? y ? kx ? 1 8k 1 ? 4k 2 ? 由 ? x2 解得 C (? , ) …………………………11 分 2 4k 2 ? 1 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4
把 A, C 中的 k 置换成 ?

2k k 2 ? 1 8k k 2 ? 4 1 可得 B ( 2 , 2 ) , D( 2 , ) ………………12 分 k k ?1 k ?1 k ? 4 k2 ? 4

所以 MA ? (?

2k ? 2k 2 8k ? 8k 2 , ) , MC (? 2 , ) k 2 ?1 1? k 2 4k ? 1 1 ? 4k 2

MB ? (

2k ?2 8k ?8 , 2 ) , MD ? ( 2 , 2 ) k ?1 k ?1 k ?4 k ?4
2

由 3MA ?MC ? 4 MB ? MD 得

???? ? ?????

???? ???? ?

3k 2 4 解得 k ? ? 2 ……………………15 分 ? 2 2 1 ? 4k k ?4
2 x ?1 2

所以 l1 的方程为 y ?

2 x ? 1 , l2 的方程为 y ? ?

或 l1 的方程为 y ? ? 2 x ? 1 , l2 的方程为 y ?

2 x ? 1 ………………………16 分 2

19.解(1) f 3 ? x ? ? ? x 3 ? 3 x ? 1 ? f 3' ? x ? ? ?3 x 2 ? 3 ………………………………… 2 分 ∴在 ?0,1? 内, f 3' ? x ? ? 0 ,在 ?1,2 ? f 3' ? x ? ? 0 ∴在 ?0,1? 内, f 3 ? x ? ? ? x 3 ? 3 x ? 1 为增函数,在 ?1,2 ? 内 f 3 ? x ? ? ? x 3 ? 3 x ? 1 为减函数 ∴ 函 数

f 3 ?x ? ? ? x 3 ? 3x ? 1 的 最 大 值 为

f 3 ?1? ? 3 , 最 小 值 为

f 3 ?2 ? ? ?1 ………………………………4 分
(2)∵对任意 x1 , x 2 有 | f 3 ? x1 ? ? f 3 ? x 2 ? |? 1 ,∴ | f 3 ?1? ? f 3 ?? 1? |? 1 从而有 | 6a ? 2 |? 1 ∴

1 1 ? a ? ……………………………6 分 6 2

又 f 3' ? x ? ? ?3 x 2 ? 3a ∴ f 3 ? x ? 在 ? 1,? a , 函数,只需 | f 3

?

? ? a ,1?内为减函数, f ?x ? 在 ??
3

a , a 内为增

?

? a ? ? f ?? a ? |? 1 ,则 4a
3

a ?1

∴ a 的取值范围是 (3)由 | f 4 ? x ? |?

1 1 …………………………10 分 ?a?3 6 16

1 1 1 1 1 知 ? ? f 4 ?1? ? ① ? ? f 4 ?? 1? ? ②, 2 2 2 2 2

①加②得 将b ?

1 3 1 1 1 1 1 ? b ? 又∵ ? ? f 4 ?0 ? ? ∴ ? ? b ? ∴ b ? …………………14 分 2 2 2 2 2 2 2

1 代入①②得 0 ? a ? 0 ∴ a ? 0 ………………………………………16 分 2 20.解: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,则原等式可化为

1? 1 1 1 1 1 1 ? kn ? b 1 nd kn ? b , 所以 ? , ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? d ? a1 a2 a2 a3 an an ?1 ? a1an ?1 d a1an ?1 a1an ?1


? k ? 1? n ? b ? 0





n? N?













k ? 1, b ? 0. …………………………………………………4 分 ( 2 ) 当 k ? 1, b ? 0 时 , 假 设 p 是 否 为 q 的 必 要 条 件 , 即 “ 若 1 1 1 n ①对于任意的 n ? n ? N ? ? 恒成立,则 ?an ? 为等差数列”. ? ?? ? ? a1a2 a2 a3 an an ?1 a1an ?1 1 1 当 n ? 1 时, 显然成立.……………………………………………6 分 ? a1a2 a1a2 1 1 1 n ?1 当 n ? 2 时, ②,由①-②得, ? ?? ? ? a1a2 a2 a3 an ?1an a1an ?1

1 1? n n ?1 ? ? ? ? ? ,即 nan ? ? n ? 1? an ?1 ? a1 ③. an an ?1 a1 ? an ?1 an ? 当 n ? 2 时, a1 ? a3 ? 2a2 ,即 a1 、 a2 、 a3 成等差数列,

当 n ? 3 时, ? n ? 1? an ?1 ? ? n ? 2 ? an ? a1 ④,即 2an ? an ?1 ? an ?1 .所以 an ? 为等差数列,即

?

p 是否为 q 的必要条件. ………………………………………………………………………10

2 (3)由 a12 ? an ?1 ? M ,可设 a1 ? r cos ? , an ?1 ? r sin ? ,所以 r ?

M. r sin ? ? r cos ? 设 ?an ? 的公差为 d ,则 an ?1 ? a1 ? nd ? r sin ? ? r cos ? ,所以 d ? , n ? a1 ? an ? n ? ? n ? 1? cos ? ? ? n ? 1? sin ? r r sin ? ? r cos ? 所以 an ? r sin ? ? , Sn ? 2 2 n
?

? n ? 1? ? ? n ? 1?
2

2

2

? M ?

2 M ? n 2 ? 1? 2







Sn











2 M ? n 2 ? 1? ……………16 分 2
D D

附加题答案 21. A、 【证明】连结 OC,所以∠OAC=∠OCA, 又因为 CA 平分∠BAE,所以∠OAC=∠EAC, 于是∠EAC=∠OCA,所以 OC//AD. 又因为 DC 是⊙O 的切线,所以 CD⊥OC, CD⊥AE………………… 10 分 B.解:MN= ?

E A

C

O

B

?1 0? ? 1 0 ? ? 1 0 ? = ,…………………………………4 分 0 2? ? ?1 1 ? ? ?2 2 ? ? ? ? ? ? ?

设 P x?, y ?) 是曲线 2 x ? 2 xy ? 1 ? 0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 (
2

, P? x, y) ( 则有 ? ? ? ?
2

? x? ? y?

x? ? 1 0? ? x '? ? ? y ? ??? ? y' ? ,于是 x? ? x , y? ? x ? 2 .…………………8 分 ? ?2 2 ? ? ? ? ?2 x? ? 2 y??

代入 2 x? ? 2 x?y? ? 1 ? 0 得 xy ? 1 , 所 以 曲 线 2 x 2 ? 2 xy ? 1 ? 0 在 MN 对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 的 曲 线 方 程 为

xy ? 1 ………………………10 分
C.圆 C 的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 ;直线的方程为 x ? y ? 1 .
2 2

故所求弦长为 d ?

0 ? 2 ?1 2

? 2 .………………………………………………10 分

D.证明:由柯西不等式可得

18 ? ??1 ? 2 x ? ? ? 3 ? x ? ? ? 2 ? 3 x ? ? ?1 ? 1 ? 1? ? ? ?
……………7 分 又 x ?? ?

?

1 ? 2 x ?1 ? 3 ? x ?1 ? 2 ? 3 x ?1

?

2

……

? 1 2? , ? ,所以 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 x ? 3 2 .…………………10 分 ? 2 3?

22. 解:取 BC 中点 O,连 AO,∵ ?ABC 为正三角形, ∴ AO ? BC , ∵在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 平面 ABC ? 平面 BCC 1 B1 , ∴ AD ? 平面 BCC 1 B1 , 取 B1 C 1 中点为 O1 ,以 O 为原点,OB , OO1 , OA 的方向为

x, y , z 轴 的 正 方 向 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

B(2,0,0), D(?2,2.0), A1 (0,4,2 3 ), A(0,0,2 3 ), B1 (2,4,0) .
∴ AB1 ?(2,4,?2 3 ), BD ? (?4,2,0), BA1 ? (?2,4,2 3 ) , ∵

AB1 ? BD ? ?8 ? 8 ? 0 ? 0 , AB1 ? BA1 ? ?4 ? 16 ? 12 ? 0 .
∴ AB1 ? BD , AB1 ? BA1 ,∴ AB1 ? 面 A1 BD …………………………………5 分 (2)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , AD ? (?2,2,?2 3 ), AA1 ?(0,4,0) 。

? n ? AD ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 2 3 z ? 0 ?y ? 0 ? ,∴ ? ,? ? ,令 n ? AD , n ? AA1 ,∴ ? ? n ? AA1 ? 0 ?4 y ? 0 ? x ? ? 3z ?

z ? 1 ,得 n ? (? 3 ,0,1) 为平面 A1 AD 的一个法向量,由(1)知 AB1 ? 面 A1 BD ,
∴ AB1 为平面 A1 AD 的法向量, cos ? n, AB1 ??

n ? AB1 n AB1

?

?2 3?2 3 2? 4 2

??

6 , 4

∴二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值为 ?

6 ………………………………………10 分 4

3 23.(1)因为 a1 ? 2, a2 ? 2, 所以 a3 ? a2 ? 3 ? 5 ? 3. k 假设当 n ? k ? 1 时,因为 ak ?1 ? k k ?1 ? k 2 ? k ? 9k ? 2k ? 2 , k ak ?1 ? ak ?1 ? k ? 1 ? k ? 1. 由 数 学 归 纳 法 知 , 当 n ? 3 时

所 以 ,

an ? n .………………………………5 分
n n (2)由(1)知, an ? an ?1 ? n ? 0, 得 an ?1 ? n ,

所以 an ?1 ?

n

n? n? n . 所以 an ?1 ? ? n ? 1? ? n n , 即 an ?1 ? ? n ? 1? ? n n , 2 2

所 以 an ? 2 ?

n ?1

n ? 1 ? n n , 以 此 类 推 , 得 2 ? a1 ? 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? n n , 问 题 得

证. …………10 分

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